1、考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三考点一考点一 矩形的定义、性质和判定矩形的定义、性质和判定1 1定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2 2性质：性质：(1)(1)矩形的四个角都是直角；矩形的四个角都是直角；(2)(2)矩形的对角线矩形的对角线_；(3)(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，它的对称中心是对角线的交点有两条对称轴，它的对称中心是对角线的交点3 3判定：判定：(1)(1)有有 的平行四边形的平行四边形是矩形；是矩形；(2)(2)有三个角是直角的四边形是矩形；有三个角是直角的
2、四边形是矩形；(3)(3)对对角线相等的角线相等的 是矩形是矩形互相平分且相等互相平分且相等一个角是直角一个角是直角平行四边形平行四边形考点二考点二 菱形的定义、性质和判定菱形的定义、性质和判定1 1定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2 2性质：性质：(1)(1)菱形的四条边菱形的四条边 ，对角线互，对角线互相相 ，并且每条对角线平分一组对角，并且每条对角线平分一组对角; ;(2)(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形菱形既是轴对称图形又是中心对称图形3 3判定：判定：(1)(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱有一组邻边相等的平行四边形是菱形；形；(
3、2)(2)四条边都相等的四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；(3)(3)对角线对角线 的平行四边形是菱形；的平行四边形是菱形；(4)(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形都相等都相等垂直平分垂直平分互相垂直互相垂直考点三考点三 正方形的定义、性质和判定正方形的定义、性质和判定1 1定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形的矩形是正方形2 2性质：性质：(1)(1)正方形四个角都是正方形四个角都是 ，四条边都，四条边都 ；(2)(2)正方形两条对角线正方形两条对角线 ，并且互相，并且互
4、相 ，每条对，每条对角线平分一组对角角线平分一组对角(3)(3)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形正方形既是轴对称图形又是中心对称图形3 3判定：判定：(1)(1)有一个角是直角的菱形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；(2)(2)有一组邻有一组邻边相等的矩形是正方形边相等的矩形是正方形( (正方形的判定可借助平行四边形、矩形、正方形的判定可借助平行四边形、矩形、菱形来判定菱形来判定) )直角直角相等相等相等相等垂直平分垂直平分考点四考点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系温馨提示：温馨提示：1.1.矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质矩形、
5、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质. .2.2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想做到准确而不混淆就要从做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、对称性边、角、对角线、对称性”这四这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别及联系，把握它们的特征是关键们的区别及联系，把握它们的特征是关键. . (1)(2011 (1)(2011温州温州) )如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中中 ，对，对角线角线ACAC，BDBD交于点交于点O.O.已知已知AOBAOB6
6、060，ACAC1616，则图，则图中长度为中长度为8 8的线段有的线段有( () )A A2 2条条 B B4 4条条C C5 5条条 D D6 6条条(2)(2011(2)(2011佛山佛山) )依次连接菱形的各边中点，得到依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是的四边形是( () )A A矩形矩形 B B菱形菱形 C C正方形正方形 D D梯形梯形DA (3)(2011 (3)(2011芜湖芜湖) )如图所示，从边长为如图所示，从边长为(a(a4) cm4) cm的的正方形纸片中剪去一个边长为正方形纸片中剪去一个边长为(a(a1) cm1) cm的正方形的正方形(a(a0)0)，剩，剩余部
7、分沿虚线又剪拼成一个矩形余部分沿虚线又剪拼成一个矩形( (不重复无缝隙不重复无缝隙) )，则矩形的，则矩形的面积为面积为( () )DA A(2a(2a2 25a) cm5a) cm2 2 B B(3a(3a15) cm15) cm2 2C C(6a(6a9) cm9) cm2 2 D D(6a(6a15) cm15) cm2 2【点拨点拨】本组题综合考查矩形、菱形、正方形的本组题综合考查矩形、菱形、正方形的性质和判定性质和判定 (2011(2011南京南京) )如图，将如图，将 ABCDABCD的边的边DCDC延长到点延长到点E E，使，使CECEDCDC，连接连接AEAE，交，交BCBC于
8、点于点F.F.(1)(1)求证：求证：ABFABFECFECF；(2)(2)若若AFCAFC2D2D，连接，连接ACAC、BEBE，求证：四边形求证：四边形ABECABEC是矩形是矩形【点拨点拨】(1)(1)证明两三角形全等的方法主要有证明两三角形全等的方法主要有“SSS”“SAS”“ASA”“SSS”“SAS”“ASA”和和“AAS”“AAS”四种四种(2)(2)对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形 (2011(2011南京南京) )如图，将如图，将 ABCDABCD的边的边DCDC延长到点延长到点E E，使，使CECEDCDC，连接连接A
9、EAE，交，交BCBC于点于点F.F.(1)(1)求证：求证：ABFABFECFECF；(2)(2)若若AFCAFC2D2D，连接，连接ACAC、BEBE，求证：四边形求证：四边形ABECABEC是矩形是矩形(1)(1)证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形， ABDC ABDC，ABABDC.DC. ABF ABFECF.ECF. EC ECDCDC， AB ABEC.EC. 在在ABFABF和和ECFECF中，中， ABF ABFECFECF，AFBAFBEFCEFC，ABABECEC ABFABFECF.ECF.(2)(2)证法一：证法一：ABABECEC，A
10、BECABEC，四边形四边形ABECABEC是平行四边形是平行四边形FAFAFEFE，FBFBFC.FC.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ABCABCD.D.又又AFCAFC2D2D，AFCAFC2ABC.2ABC.AFCAFCABFABFBAFBAF，AFCAFC2D2D，ABFABFBAF.BAF.FAFAFB.FB.FAFAFEFEFBFBFC.FC.AEAEBC.BC. ABECABEC是矩形是矩形证法二：证法二：ABABECEC，ABECABEC，四边形四边形ABECABEC是平行四边形是平行四边形四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ADB
11、CADBC，DDBCE.BCE.又又AFCAFC2D2D，AFCAFC2BCE.2BCE.AFCAFCFCEFCEFECFEC，FCEFCEFEC.DFEC.DFEC.FEC.AEAEAD.AD.又又CECEDCDC，ACDEACDE，即，即ACEACE9090. . ABECABEC是矩形是矩形 (2011(2011宁波宁波) )如图，在如图，在 ABCDABCD中，中，E E、F F分别分别为边为边ABAB、CDCD的中点，的中点，BDBD是对角线，过是对角线，过A A点作点作AGDBAGDB交交CBCB的延长线于点的延长线于点G.G.(1)(1)求证：求证：DEBFDEBF；(2)(2)
12、若若GG9090，求证：四边形求证：四边形DEBFDEBF是菱形是菱形【点拨点拨】(1)(1)一组对边平行且相等的四边形是平行一组对边平行且相等的四边形是平行四边形四边形(2)(2)一组邻边相等的平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形1 1下列命题中是真命题的是下列命题中是真命题的是( () )A A对角线互相垂直且相等的四边形是正方形对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B B有两边和一角对应相等的两个三角形全等有两边和一角对应相等的两个三角形全等C C两条对角线相等的平行四边形是矩形两条对角线相等的平行四边形是矩形D D两边相等的平行四边形是菱形两边相等的平行四边形是菱形CA3 3将
13、一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线叠的纸片沿虚线( (直角三角形的中位线直角三角形的中位线) )剪去上面的小直剪去上面的小直角三角形将留下的纸片展开，得到的图形是角三角形将留下的纸片展开，得到的图形是( () )A4 4如图，已知矩形如图，已知矩形ABCDABCD，一条直线将该矩形，一条直线将该矩形ABCDABCD分割成两个多边形分割成两个多边形( (含三角形含三角形) )，若这两个多边形的内，若这两个多边形的内角和分别为角和分别为m m和和n n，则，则m mn n不可能是不可能是( () )A A360360 B B540540
14、C C720720 D D630630D5 5将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则上，则1122 . .90906 6如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABCABC中，点中，点D D是是BCBC边的中点边的中点，以，以ADAD为边作等边三角形为边作等边三角形ADE.ADE.(1)(1)求求CAECAE的度数；的度数；(2)(2)取取ABAB边的中点边的中点F F，连接，连接CFCF、CECE，试证明四边形，试证明四边形AFCEAFCE是矩形是矩形答案：
15、答案：(1)30(1)30(2)(2)利用定义判定四边形利用定义判定四边形AFCEAFCE为为矩形矩形矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形训练时间：训练时间：6060分钟分钟 分值：分值：100100分分一、选择题一、选择题( (每小题每小题4 4分，共分，共4040分分) )1 1(2011(2011哈尔滨哈尔滨) )如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，对角中，对角线线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，AOBAOB6060，ABAB5 5，则，则ADAD的的长是长是( () )B2 2(2010(2010中考变式题中考变式题) )如图，菱形如图，菱形ABCDABCD中，中，A
16、BAB5 5，BCDBCD120120，则对角线，则对角线ACAC的长是的长是( () )A A2020B B1515C C1010D D5 5【解析解析】在菱形在菱形ABCDABCD中，中，ABABBCBC5.5.BCDBCD120120，ACAC平分平分BCDBCD，BCABCA6060，ABCABC是等边三角形，是等边三角形，ACACABAB5.5.D3 3(2010(2010中考变式题中考变式题) )下列说法不正确的是下列说法不正确的是( () )A A一组邻边相等的矩形是正方形一组邻边相等的矩形是正方形B B对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形C C对角线互相垂直的平行四
17、边形是正方形对角线互相垂直的平行四边形是正方形D D有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形【解析解析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形C4 4(2012(2012中考预测题中考预测题) )如图，点如图，点P P是矩形是矩形ABCDABCD的的边边ADAD上的一个动点，矩形的两条边上的一个动点，矩形的两条边ABAB、BCBC的长分别的长分别为为3 3和和4 4，那么点，那么点P P到矩形的两条对角线到矩形的两条对角线ACAC和和BDBD的距的距离之和是离之和是( () )A【解析解析】5 5(2010(2010中考变式题中考变式题) )如
18、图，已知矩形纸片如图，已知矩形纸片ABCDABCD，点点E E是是ABAB的中点，点的中点，点G G是是BCBC上的一点，上的一点，BEGBEG6060，现，现沿直线沿直线EGEG将纸片折叠，使点将纸片折叠，使点B B落在纸片上的点落在纸片上的点H H处，连处，连接接AHAH，则与，则与BEGBEG相等的角的个数为相等的角的个数为( () )A A4 4个个 B B3 3个个 C C2 2个个 D D1 1个个B【解析解析】由题意知，由题意知，BEGBEGHEGHEG，则，则BEBEHEHE；BEGBEGHEGHEG，BEHBEH2 2BEGBEG. .点点E E是是ABAB的中点，的中点，A
19、EAEBEBE，AEAEHEHE. .EAHEAHEHAEHA. .BEHBEHEAHEAHEHAEHA2 2EAHEAH. .BEGBEGEAHEAHEHAEHAHEGHEG. .则与则与BEGBEG相等相等的角有的角有3 3个个【答案答案】B BB7 7(2012(2012中考预测题中考预测题) )如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，ABAB3 3，BCBC5 5，过对角线交点，过对角线交点O O作作OEOEACAC交交ADAD于于E E，则，则AEAE的长是的长是( () )A A1.6 B1.6 B2.5 C2.5 C3 D3 D3.43.4DA A矩形矩形 B B菱形菱形
20、C C正方形正方形 D D等腰梯形等腰梯形【解析解析】由作图方法可知由作图方法可知ACACADADBCBCBDBD，所以四边形所以四边形ADBCADBC一定是菱形一定是菱形B9 9(2012(2012中考预测题中考预测题) )顺次连接对角线互相垂直顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是的四边形的各边中点，所得图形一定是( () )A A矩形矩形 B B直角梯形直角梯形C C菱形菱形 D D正方形正方形【解析解析】顺次连接四边形各边中点得平行四边形顺次连接四边形各边中点得平行四边形，另外由对角线垂直可得到平行四边形有一个角是，另外由对角线垂直可得到平行四边形有一个角是直角，所以
21、得到的是矩形直角，所以得到的是矩形【答案答案】A AA1010(2011(2011杭州杭州) )在矩形在矩形ABCDABCD中，有一个菱形中，有一个菱形BFDEBFDE( (点点E E，F F分别在线段分别在线段ABAB，CDCD上上) )，记它们的面积分别为，记它们的面积分别为S S矩形矩形ABCDABCD和和S S菱形菱形BFDEBFDE，现给出下列命题：现给出下列命题：A A是真命题，是真命题是真命题，是真命题B B是真命题，是假命题是真命题，是假命题C C是假命题，是真命题是假命题，是真命题D D是假命题，是假命题是假命题，是假命题二、填空题二、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，
22、共1616分分) )1111(2011(2011铜仁铜仁) )已知菱形的两条对角线长分已知菱形的两条对角线长分别为别为2 cm2 cm，3 cm3 cm，则它的面积是，则它的面积是_cm_cm2 2. .【答案答案】3 31212(2011(2011山西山西) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形，添加一个条件：，添加一个条件：_ _ _，可使它成为，可使它成为矩形矩形【解析解析】对角线相等的平行对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形直角的平行四边形是矩形ABC90(或或ACBD等等)1313(2011(2011潍坊
23、潍坊) )如图所示，已知长方形如图所示，已知长方形ABCDABCD，ABAB3 3 cmcm，ADAD4 cm4 cm，过对角线，过对角线BDBD的中点的中点O O作作BDBD的垂直平分线的垂直平分线EFEF，分别交分别交ADAD、BCBC于点于点E E、F F，则，则AEAE的长为的长为_1414(2010(2010中考变式题中考变式题) )如图，在边长为如图，在边长为2 cm2 cm的的正方形正方形ABCDABCD中，点中，点Q Q为为BCBC边的中点，点边的中点，点P P为对角线为对角线ACAC上一动点，连接上一动点，连接PBPB、PQPQ，则，则PBQPBQ周长的最小值为周长的最小值为
24、_cm(_cm(结果不取近似值结果不取近似值) )15 三、解答题三、解答题( (共共4444分分) )1515(10(10分分)(2010)(2010中考变式题中考变式题) )如图，如图，O O为矩形为矩形ABCDABCD对角线的交点，对角线的交点，DEDEACAC，CECEBDBD. .(1)(1)试判断四边形试判断四边形OCEDOCED的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；(2)(2)若若ABAB6 6，BCBC8 8，求四边形，求四边形OCEDOCED的面积的面积【答案答案】解：解：(1)(1)四边形四边形OCEDOCED是菱形是菱形DEDEACAC，CECEBDBD，四边形四边形O
25、CEDOCED是平行四边形是平行四边形又又在矩形在矩形ABCDABCD中，中，OCOCODOD. .四边形四边形OCEDOCED是菱形是菱形(2)(2)连接连接OEOE，由四边形，由四边形OCEDOCED是菱形得，是菱形得， CDCDOEOE. . OEOEBCBC. .又又CECEBDBD，四边形四边形BCEOBCEO是平行四边形，是平行四边形，OEOEBCBC8 8，1616(8(8分分)(2011)(2011广州广州) )如图所示，如图所示，ACAC是菱形是菱形ABCDABCD的对角线，点的对角线，点E E、F F分别在边分别在边ABAB、ADAD上，且上，且AEAEAFAF. .求证：
26、求证：ACEACEACFACF. .【答案答案】证明：证明：ACAC是菱形是菱形ABCDABCD的对角线，的对角线，CAECAECAFCAF. .在在ACEACE和和ACFACF中，中，AEAEAFAF，CAECAECAFCAF，ACACACAC，ACEACEACFACF(SAS)(SAS)1717(12(12分分)(2012)(2012中考预测题中考预测题) )如图，在如图，在ABCABC中，点中，点O O是是ACAC边上的一个动点，过点边上的一个动点，过点O O作直线作直线MNMNBCBC，设，设MNMN交交BCABCA的平分线于点的平分线于点E E，交，交BCABCA的的外角平分线于点外
27、角平分线于点F F. .(1)(1)求证：求证：EOEOFOFO；(2)(2)当点当点O O运动到何处时，四边形运动到何处时，四边形AECFAECF是矩形？是矩形？并证明你的结论并证明你的结论(3)(3)在在(2)(2)的条件下，当的条件下，当ABCABC满足什么条件时满足什么条件时，四边形，四边形AECFAECF是正方形？是正方形？【答案答案】证明：证明：(1)(1)MNMNBCBC，FECFECBCEBCE. .CECE平分平分ACBACB，ECBECBACEACE，FECFECACEACE，OEOEOCOC. .同理可证同理可证OFOFOCOC，OEOEFOFO. .(2)(2)当当O
28、O运动到运动到ACAC中点时，四边形中点时，四边形AECFAECF是矩形是矩形CECE平分平分ACBACB，CFCF平分平分BCABCA的外角，的外角，由由(1)(1)得得OEOEOFOF，又又O O为为ACAC的中点，的中点，AOAOCOCO. .四边形四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形又又ECFECF9090，四边形四边形AECFAECF是矩形是矩形(3)(3)当当ABCABC是直角三角形，即是直角三角形，即ACBACB9090时，时，在在(2)(2)的条件下，四边形的条件下，四边形AECFAECF是正方形是正方形1818(14(14分分)(2011)(2011河北河北) )如
29、图所示，四边形如图所示，四边形ABCDABCD是正方形，点是正方形，点E E，K K分别在分别在BCBC，ABAB上，点上，点G G在在BABA的延长的延长线上，且线上，且CECEBKBKAGAG. .(1)(1)求证：求证：DEDEDGDG；DEDEDGDG；(2)(2)尺规作图：以线段尺规作图：以线段DEDE，DGDG为边作出正方形为边作出正方形DEFGDEFG( (要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明) )；(3)(3)连接连接(2)(2)中的中的KFKF，猜想并写出四边形，猜想并写出四边形CEFKCEFK是怎样的是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；特
30、殊四边形，并证明你的猜想；（1 1）证明：）证明：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，DCDCDADA，DCEDCEDAGDAG9090. .又又CECEAGAG，DCEDCEDAGDAG. .EDCEDCGDAGDA，DEDEDGDG. .又又ADEADEGDAGDA9090. .DEDEDGDG. .(2)(2)解：如图所示解：如图所示( (注：如图或其他画法正确的相应给分注：如图或其他画法正确的相应给分) )(3)(3)解：四边形解：四边形CEFKCEFK为平行四边形为平行四边形证明：设证明：设CKCK，DEDE交于交于M M点点四边形四边形ABCDABCD和四边形和四边形D
31、EFGDEFG都是正方形，都是正方形，ABABCDCD，ABABCDCD，EFEFDGDG，EFEFDGDG. .BKBKAGAG，KGKGABABCDCD. .四边形四边形CKGDCKGD为平行四边形为平行四边形CKCKDGDGEFEF，CKCKDGDG，KMEKMEGDEGDEDEFDEF9090. .KMEKMEDEFDEF180180，CKCKEFEF，四边形四边形CEFKCEFK为平行四边形为平行四边形考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
