1、A组河北中考题组1.(2017河北,11,2分)如图是边长为10 cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是() 答案答案 A由勾股定理得正方形的对角线的长是10,因为1015,所以正方形内部的每一个点到正方形的顶点的距离都小于15,故选A.222.(2015河北,16,2分)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则()A.甲、乙都可以 B.甲、乙都不可以C.甲不可以,乙可以 D.甲可以,乙不可以 答案答案 A将甲纸片拼成如图1所示的正方形,其面积与原来矩形的面积相等,将乙纸片
2、拼成如图2所示的正方形,其面积与原来矩形的面积相等,故选A. 图1图2思路分析思路分析 根据图形可得题图甲中的图形可以拼成一个边长为的正方形,题图乙中的图形可以拼成一个边长为的正方形.25解题关键解题关键 本题考查了图形的剪拼,解答本题的关键是根据题意作出图形.3.(2014河北,8,3分)如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n()A.2 B.3 C.4 D.5答案答案 A若n=2,则只能沿矩形的对角线剪开,这样每个三角形的三边长分别为1,2,显然不能拼成面积为2的正方形,故选A.54.(2019河北,19,4分)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并
3、标示了A,B,C三地的坐标,数据如图(单位:km).笔直铁路经过A,B两地.(1)A,B间的距离为 km;(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等,则C,D间的距离为 km.答案答案 (1)20(2)13解析解析 (1)由点A和点B的坐标可知,ABx轴,A,B间的距离=12-(-8)=20 km.(2)如图,由点C的坐标可知点C在y轴的负半轴上且OC=17 km,设y轴与直线AB的交点为E,易得AE=12 km,OE=1 km,所以CE=18 km,设CD=AD=x km,则DE=(18-x)km,在RtADE中,AD2=DE2+AE2,即x2
4、=(18-x)2+122,解得x=13,所以C,D间的距离为13 km. 思路分析思路分析 (1)根据点A与点B的坐标特点求出A,B间的距离;(2)首先确定直角坐标系,设y轴与直线AB的交点为E,易得AE=12 km,CE=18 km,设CD=AD=x km,根据勾股定理列出含x的方程,求解即可.解题关键解题关键 正确画出平面直角坐标系,准确运用勾股定理得出方程是解决本题的关键.5.(2013河北,26,14分)一透明的敞口正方体容器ABCD-ABCD装有一些液体,棱AB始终在水平桌面上,容器底部的倾斜角为(CBE=,如图1所示).图1探究 如图1,液面刚好过棱CD,并与棱BB交于点Q,此时液
5、体的形状为直三棱柱,其三视图及尺寸如图2所示.解决问题:图2(1)CQ与BE的位置关系是 ,BQ的长是 dm;(2)求液体的体积;(参考算法:直棱柱体积V液=底面积SBCQ高AB)(3)求的度数.拓展在图1的基础上,以棱AB为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出,图3或图4是其正面示意图.若液面与棱CC或CB交于点P,设PC=x,BQ=y.分别就图3和图4,求y与x的函数关系式,并写出相应的的范围.33:sin49cos41,tan3744 注 图3图4延伸在图4的基础上,于容器底部正中间位置,嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计),得到图5,隔板高NM=1 dm,BM=CM,NMB
6、C.继续向右缓慢旋转,当=60时,通过计算,判断溢出容器的液体能否达到4 dm3. 图5备用图解析解析 探究 (1)CQBE;3.(2)V液=344=24(dm3).(3)在RtBCQ中,tanBCQ=,=BCQ=37.拓展 当容器向左旋转时,如图1,037.图1液体体积不变,(x+y)44=24.y=-x+3.123412当容器向右旋转时,如图2,同理得y=.图2当液面恰好到达容器口沿,即点Q与点B重合时,如图3,由BB=4,且PBBB4=24,得PB=3.124x12图3由tanPBB=,得PBB=37,=BPB=53,此时3753.注:本问的范围中,“”为“”不影响得分延伸 当=60时,
7、如图4所示,设FNEB,GBEB.过点G作GHBB于点H.在RtBGH中,GH=MB=2,GBB=30,HB=2.MG=BH=4-24(dm3).溢出的液体可以达到4 dm3.123312311 3611 3862233思路分析思路分析 (1)根据液面与水平面平行可以得到CQ与BE平行,利用勾股定理即可求得BQ的长;(2)液体正好是一个以BCQ为底面的直棱柱,据此即可求得液体的体积;(3)根据液体体积不变即可列方程求解.延伸:当=60时,如图4所示,设FNEB,GBEB,过点G作GHBB于点H,此时容器内液体形成两层液面,液体的形状分别是以RtNFM和直角梯形MBBG为底面的直棱柱,求得棱柱的
8、体积,即可求得溢出的液体的体积,据此即可作出判断.评析评析 本题属于几何知识综合题,主要考查了几何体的三视图、体积计算公式、直角梯形的性质、锐角三角函数及函数的确定等知识.本题的难点在于当=60时,容器内液体形成两层液面容易被学生忽略.考点一勾股定理1.(2019辽宁大连,9,3分)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF.若AB=4,BC=8,则DF的长为()A.2 B.4 C.3 D.25B组20152019年全国中考题组答案答案 C四边形ABCD为矩形,AB=4,BC=8,AD=BC=8,CD=AB=4,D=90,由折叠可得AD=CD=4,D=D=90,FD=FD,设F
9、D=x,则FD=FD=x,AF=AD-FD=8-x,在RtADF中,AD2+FD2=AF2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3.FD=3,故选C.2.(2018山东青岛,6,3分)如图,三角形纸片ABC,AB=AC,BAC=90,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F,已知EF=,则BC的长是()A. B.3 C.3 D.3 323 2223答案答案 B沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,B=EAF=45,AFB=90,点E为AB中点,EF=AB,EF=,AB=AC=3,BAC=90,BC=3,故选B.1232223323.(2017陕西,6,3分)如
10、图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与点A重合,点C落在边AB上,连接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为()A.3 B.6 C.3 D. 3221答案答案 A由题意得ABC与ABC全等且均为等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3,AB=3,在ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC=3.22223(3 2)34.(2017吉林长春,13,3分)如图,这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,ABF、BCG、CDH、DAE是四个全等的直角
11、三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为 . 答案答案 10解析解析 四边形EFGH为正方形,EH=EF=2,又DE=8,DH=6,DHC BFA AED,AF=DE=8,BF=DH=6,AB=10.22BFAF2268思路分析思路分析 利用正方形和全等三角形的性质求出RtABF的边AF和BF的长,再利用勾股定理求得AB的长.5.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为 . 答案答案 192解析解析 连接DE,在等边ABC中,D、E分别是AB、BC的中点,DEAC,DE=EC=AC=2.D
12、EB=C=60.EFAC,EFC=90.FEC=30,EF=.DEG=180-60-30=90.123G是EF的中点,EG=.在RtDEG中,DG=.3222DEEG22322192思路分析思路分析 连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角形,再根据勾股定理即可求解DG的长.疑难突破疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长.6.(2018湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32
13、 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计). 答案答案 20解析解析 如图,将圆柱侧面展开,延长AC至A,使AC=AC,连接AB,则线段AB的长为蚂蚁到蜂蜜的最短距离.过B作BBAD,垂足为B.在RtABB中,BB=16,AB=14-5+3=12,所以AB=20,即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20 cm.22B BA B221612考点二锐角三角函数1.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为()A.3 B.
14、C. D. 1310103 1010答案答案 AAC=1,BC=3,C=90,tan A=3.BCAC2.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tanBAC的值为()A. B.1 C. D. 12333答案答案 B如图,连接BC.在ABD和BCE中,ABD BCE(SAS),90 ,ADBEADBBECBDCE AB=BC,ABD=BCE.BCE+CBE=90,ABD+CBE=90,即ABC=90,tanBAC=1,故选B.BCAB3.(2016福建福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是上一点(不与A,B
15、重合),连接OP,设POB=,则点P的坐标是()A.(sin ,sin ) B.(cos ,cos )C.(cos ,sin ) D.(sin ,cos )AB答案答案 C过P作PQOB,交OB于点Q,在RtOPQ中,OP=1,POQ=,sin =,cos =,即PQ=sin ,OQ=cos ,点P的坐标为(cos ,sin ).故选C.PQOPOQOP评析评析 熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键.4.(2017广东广州,14,3分)如图,RtABC中,C=90,BC=15,tan A=,则AB= . 158答案答案 17解析解析 在RtABC中,tan A=,BC=15,AC=8,AB
16、=17.BCAC15822ACBC228155.(2018山东泰安,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A处,若EA的延长线恰好过点C,则sinABE的值为 . 答案答案 1010解析解析 由折叠知BAE=A=90,AE=AE,AB=AB=6,故在RtABC中,由勾股定理,得AC=8,设AE=AE=x,则CE=x+8,DE=10-x,在RtCDE中,由勾股定理,得(x+8)2=62+(10-x)2,解得x=2.在RtABE中,BE=2,所以sinABE=.22BCA B22106222610AEBE22 101010考点三解直角三角形1.
17、(2018江苏苏州,8,3分)如图,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为()A.40海里 B.60海里C.20 海里 D.40 海里33答案答案 D由题意可知APB=30,A=90,AB=20,BC=40,在RtPAB中,PB=2AB=40,PBA=60,PA=20,PB=BC,BPC=C=30,PC=2PA=40,海监船与岛屿P之间的距离是40 海里.故选D.3332.(2016重庆,1
18、1,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,再沿水平方向行走6米至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=1 2.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin 360.59,cos 360.81,tan 360.73)()A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米答案答案 A作BFAE于F,如图所示,易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF,斜面AB的坡度i=1 2.4,AF=2.4BF,设BF=x米,则AF=2.4x米,在RtABF中,
19、x2+(2.4x)2=132,解得x=5,DE=BF=5米,AF=12米,AE=AF+FE=18米,在RtACE中,CE=AEtan 36180.73=13.14米,CD=CE-DE=13.14-58.1米,故选A.3.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距10 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53,观测旗杆底部B的仰角为45,则旗杆AB的高度约为 m.(结果取整数.参考数据:sin 530.80,cos 530.60,tan 531.33) 答案答案 3解析解析 BDC=45,BCD=90,DBC=180-BCD-BDC=180-90-45=45,BDC=
20、DBC,BC=DC=10 m.在RtADC中,tanADC=,tan 53=,AC=10tan 53101.33=13.3 m.AB=AC-BC=13.3-10=3.33 m.故答案为3.ACCD10AC思路分析思路分析 因为BDC=45,BCD=90,所以可得BC=DC=10 m,解直角三角形可求出AC13.3 m,进一步可求出AB的长度.4.(2018广西,16,3分)如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45.已知甲楼的高AB是120 m,则乙楼的高CD是 m(结果保留根号). 答案答案 40 3解析解析 由题意知BDA=45,AB=AD
21、=120 m,又CAD=30,在RtADC中,tanCAD=tan 30=,CD=40 m.CDAD3335.(2019江西,20,8分)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线BAO表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8 cm,CD=8 cm,AB=30 cm,BC=35 cm.(结果精确到0.1)(1)如图2,ABC=70,BCOE.填空:BAO= ;求投影探头的端点D到桌面OE的距离;(2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,求
22、ABC的大小.(参考数据:sin 700.94,cos 200.94,sin 36.80.60,cos 53.20.60)解析解析 (1)160.如图1,延长OA交BC于点F,图1AOOE,AOE=90.BCOE,AOE=BFO=90,在RtABF中,AB=30 cm,sinB=,AF=ABsinB=30sin 70300.94=28.20(cm).AFABAF-CD+AO=28.20-8+6.8=27.0(cm).答:投影探头的端点D到桌面OE的距离为27.0 cm.(2)如图2,过点B作DC的垂线,交DC的延长线于点H.图2在RtBCH中,HC=28.2+6.8-6-8=21(cm).si
23、nHBC=,sinHBC=0.6.sin 36.80.60,HBC36.8,HCBC2135ABC=70-36.8=33.2.答:当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,ABC为33.2.解后反思解后反思 解决此类解直角三角形问题的一般思路:将实际问题抽象成解直角三角形问题.弄清题目中各量之间的关系,如果题目中有直角三角形,则根据边角的关系进行计算,若图中没有直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.6.(2018江西,19,8分)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=
24、120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变(所有结果保留小数点后一位).(1)若OBC=50,求AC的长;(2)当点C从点A向右运动60 cm时,求O在此过程中运动的路径长.参考数据:sin 500.77,cos 500.64,tan 501.19,取3.14. 解析解析 (1)如图,过点O作ODAB于点D,在RtOBD中,BD=OBcosOBD=60cos 50600.64=38.4(cm).OC=OB,BC=2BD.AC=AB-BC=120-238.4=43.2(cm).(2)如图,AB=120 cm,AC=60 cm,BC
25、=AB-AC=60 cm.OC=OB=60 cm,BC=OC=OB,OBC为等边三角形,OBC=60.点O的运动路径为,点O运动的路径长为=20=62.8(cm).OC6060180思路分析思路分析 (1)过点O作ODAB于点D,先根据OBC的余弦求出BD,然后根据等腰三角形的性质求得BC,进而求得AC的长;(2)点O的运动路径是以点B为圆心,OB为半径的圆弧,先确定当点C从点A向右运动60 cm时OBC的大小,进而利用弧长公式求出结果.解题关键解题关键 解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确理解点O的运动路径.7.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子
26、体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4,高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin
27、 80.30.983,cos 80.30.168,tan 80.35.850)解析解析 在RtCAE中,AE=20.7.(3分)在RtDBF中,BF=40.(6分)EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151.四边形CEFH为矩形,CH=EF=151.即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm.(9分)tanCECAE155tan82.41557.500tanDFDBF234tan80.32345.850思路分析思路分析 根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+AB+BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案
28、.方法总结方法总结 解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助边角关系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案答案.考点一勾股定理1.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分别以点B,D为圆心,大于BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC的长度是()A.2 B.3 C. D. 1235C组教师专用题组答案答案 D由作图叙述可知CEAB,AE=2,BE=1,AB=AC=3
29、,在RtACE中,CE=,故选D.223252.(2019陕西,6,3分)如图,在ABC中,B=30,C=45,AD平分BAC,交BC于点D,DEAB,垂足为E.若DE=1,则BC的长为()A.2+ B.+ C.2+ D.32233答案答案 A过点D作DFAC,垂足为F.AD平分BAC,DEAB,DE=DF=1.B=30,BD=2DE=2.C=45,DC=DF=,BC=BD+CD=2+,故选A.2223.(2017浙江绍兴,6,3分)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离
30、地面2米.则小巷的宽度为()A.0.7米 B.1.5米C.2.2米 D.2.4米答案答案 C设梯子斜靠在右墙时,底端到右墙角的距离为x米,由勾股定理可得:梯子的长度=,可解得x=1.5,则小巷的宽度为0.7+1.5=2.2(米).故选C.22(0.7)(2.4)222x 4.(2016湖南株洲,8,3分)如图,以直角三角形a、b、c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案答案 D(1)S1=a2,S2=b2,S3=c2,a2+b2=c2,a2+b2=c2,S1+S2=S3.(2)S1=a2
31、,S2=b2,S3=c2,a2+b2=c2,a2+b2=c2,S1+S2=S3.(3)S1=a2,S2=b2,S3=c2,a2+b2=c2,a2+b2=c2,S1+S2=S3.343434343434444444141414141414(4)S1=a2,S2=b2,S3=c2,a2+b2=c2,S1+S2=S3.综上,面积关系满足S1+S2=S3的图形有4个.故选D.5.(2017浙江杭州,10,3分)如图,在ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x,tanACB=y,则()A.x-y2=3 B.2x-y2=9C.3x-y2=15 D.
32、4x-y2=21答案答案 B如图,过A作AMBC于M,过E作ENBC于N,连接ED.E为AC的中点,AMEN,EN=,MN=,AB=AC,AMBC,CM=6,MN=3,tanACB=y,AM=6y,EN=3y,直线DF是线段BE的垂直平分线,ED=BD=x,DE2=DN2+EN2,x2=(9-x)2+(3y)2,即2x-y2=9,此题选B.2AM2CM2BC6AM6.(2018湖南湘潭,15,3分)九章算术是我国古代最重要的数学著作之一,在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,ABC中,ACB=90,AC+AB=
33、10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方程为 . 答案答案 x2+32=(10-x)2 解析解析 AC=x,AC+AB=10,AB=10-x.在RtABC中,ACB=90,AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2.故可列方程为x2+32=(10-x)2.7.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB=,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 .34答案答案 1或9解析解析 分两种情况讨论:BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D.在RtABD中,AB=,AD=3,BD=5.在RtACD中,AC=5,AD=3,CD=4.BC=BD+CD=9.BC边上的
34、高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=1.综上,BC的长为1或9.3422ABAD22ACAD思路分析思路分析 根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.易错警示易错警示 本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解.8.(2018福建,15,4分)把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD= . 2答案答案 -13解析解析 由题意知ABC,ADE均为等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=,由勾股定理得BC=AD=2.过A作AF
35、BC于F,则FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD=,故CD=FD-FC=-1.233考点二锐角三角函数1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()A.2 B.3 C. D. 22432832答案答案 DAC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平分线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又AD=4,DE=EF,AE=AD= ,故选D.212223832思路分析思路分析 首先利用AC的长及
36、C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及含30角的直角三角形的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.2.(2017山东滨州,7,3分)如图,在ABC中,ACBC,ABC=30,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tanDAC的值为()A.2+ B.2 C.3+ D.3 3333答案答案 A设AC=a,则AB=2a,BC=a,BD=AB=2a,tanDAC=2+.sin30atan30a3(23)aa33.(2019内蒙古包头,17,3分)如图,在ABC中,CAB=55,ABC=25.在同一平面内,将ABC绕点A逆时针旋转70得到ADE,连接EC,则tanDEC的值是 .
37、答案答案 1解析解析 在ACB中,ACB=180-55-25=100,由旋转的性质可得AED=ACB =100,CAE=70,AE=AC,AEC=55,DEC=100-55=45,tanDEC=1.180702解题关键解题关键 抓住旋转的性质得出AEC是等腰三角形且CAE=70是解答本题的关键.4.(2018浙江宁波,18,4分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,B是锐角,AEBC于点E,M是AB的中点,连接MD,ME.若EMD=90,则cos B的值为 . 答案答案 312解析解析延长DM交CB的延长线于点H,连接DE.四边形ABCD是菱形,AB=BC=AD=2,ADCH,ADM=H,AM=
38、BM,AMD=HMB,ADM BHM,DM=HM,AD=HB=2,EMDH,EH=ED,设BE=x,AEBC,AEAD,AEB=EAD=90,AE2=AB2-BE2=DE2-AD2,22-x2=(2+x)2-22,x=-1或-1(舍去),cos B=.33BEAB3125.(2018黑龙江齐齐哈尔,16,3分)四边形ABCD中,BD是对角线,ABC=90,tanABD=,AB=20,BC=10,AD=13,则线段CD= .34答案答案 或1789解析解析 如图1,作AE直线BD于点E,CF直线BD于点F,图1ABD+DBC=90,BCF+DBC=90,ABD=BCF,tanABD=,tanBC
39、F=.3434在RtAEB中,设AE=3x,BE=4x,则(3x)2+(4x)2=202,解得x=4,AE=12,BE=16,在RtBCF中,设BF=3y,CF=4y,则(3y)2+(4y)2=102,解得y=2,BF=6,CF=8,在RtADE中,DE=5,BD=BE-DE=11,FD=BD-BF=5,在RtDCF中,CD=.如图2,同理,BE=16,ED=5,BF=6,CF=8.22ADAE22CFFD89图2BD=BE+ED=21,FD=BD-BF=15,在RtDCF中,CD=17.综上所述,线段CD的长为或17.22CFFD89解题关键解题关键 考虑问题要全面,正确画出图形,通过作垂线
40、,构造直角三角形,然后利用勾股定理求出线段BD、FD的长度是关键.6.(2016江苏盐城,17,3分)已知ABC中,tan B=,BC=6,过点A作BC边上的高,垂足为点D,且满足BD CD=2 1,则ABC面积的所有可能值为 .23答案答案 8或24解析解析 如图1所示,BC=6,BD CD=2 1,BD=4,图1ADBC,tan B=,=,AD=BD=,SABC=BCAD=6=8.如图2所示,23ADBD232383121283图2BC=6,BD CD=2 1,BD=12,ADBC,tan B=,=,AD=BD=8,SABC=BCAD=68=24.综上,ABC面积的所有可能值为8或24.2
41、3ADBD23231212考点三解直角三角形1.(2019吉林长春,6,3分)如图,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为,则梯子顶端到地面的距离BC为()A.3sin 米 B.3cos 米C.米 D.米3sin3cos答案答案 A因为sin =,所以BC=ABsin =3sin (米).BCAB2.(2019重庆A卷,10,4分)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活动.如图,在一个坡度(或坡比)i=1 2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古
42、树顶端D的仰角AED=48(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为()(参考数据:sin 480.74,cos 480.67,tan 481.11)A.17.0米 B.21.9米C.23.3米 D.33.3米答案答案 C延长DC交EA于点F.i=,设CF=5x米,AF=12x米,且x0.在RtACF中,AC=13x=26,x=2,CF=10米,AF=24米.AE=6米,EF=EA+AF=6+24=30米.在RtEDF中,tanAED=tan 48=,DF=EFtan 48301.11=33.3米,CD=DF-CF=33.3-10=23.3米,
43、故选C.CFAF12.451222CFAFDFEF思路分析思路分析 延长DC交EA于点F.由题意可得=,则设CF=5x米,AF=12x米.在RtACF中,由勾股定理得AC=13x=26,求得CF=10米,AF=24米,从而可得EF=30米.在RtDEF中,由tanAED=,可求出DF的长,从而进一步求出DC的长.CFAF51222CFAFDFEF3.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i=1 0.75,坡长CD=2米,若旗杆底
44、部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为()(参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.6)A.12.6米 B.13.1米C.14.7米 D.16.3米答案答案 B如图,延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J.则四边形BMJC是矩形.在RtCJD中,=,设CJ=4k,DJ=3k,k0,已知CD=2,则有9k2+16k2=4,解得k=,BM=CJ=,DJ=,又BC=MJ=1,EM=MJ+DJ+DE=,CJDJ10.7543258565465在RtAEM中,tanAEM=,tan 58=1.6,解得AB13.1(米),故选B.AMEM85465AB思路
45、分析思路分析 延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J,则四边形BMJC是矩形.在RtCJD中求出CJ、DJ的长,再根据tanAEM=即可解决问题.AMEM方法总结方法总结 解直角三角形的实际应用问题的关键是根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找到直角三角形.根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题,画出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系,若图中有直角三角形,根据边角关系进行计算即可;若图中没有直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.4.(2018山东潍坊,18,3分)如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上
46、,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速,若以75海里/小时的速度继续航行,则 小时即可到达.(结果保留根号) 答案答案 186 35解析解析 过点P作PQAB,垂足为Q,过点M作MNAB,垂足为N.AB=601.5=90海里,设PQ=MN=x海里,由点P在点A的东北方向可知,PAQ=45,AQ=PQ=x海里,BQ=(x-90)海里,在RtPBQ中,PBQ=90-30=60,tan 60=,解得x=135+45.经检验,x=135+45是分式方程的解,且符合题意.在Rt
47、BMN中,MBN=90-60=30,BM=2MN=2x=2(135+45)=(270+90)海里,航行时间为=小时.90 xx3333327090 375186 355.(2019山西,20,9分)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整). 课题测量旗杆的高度成员组长:组员:,测量工具测量角度的仪器,
48、皮尺等测量示意图说明:线段GH表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5 m,测点A,B与H在同一条水平直线上,A,B之间的距离可以直接测得,且点G,H,A,B,C,D都在同一竖直平面内.点C,D,E在同一条直线上,点E在GH上.测量数据测量项目第一次第二次平均值GCE的度数25.625.825.7GDE的度数31.230.831A,B之间的距离5.4 m5.6 m 任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是 m;任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度;(参考数据:sin 25.70.43,cos 25.70.90,tan 25.70.48,si
49、n 310.52,cos 310.86,tan 310.60)任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)解析解析 任务一:5.5.(1分)任务二:由题意可得四边形ACDB,四边形ACEH都是矩形,EH=AC=1.5,CD=AB=5.5.(2分)设EG=x m.在RtDEG中,DEG=90,GDE=31,tan 31=,DE=.(3分)在RtCEG中,CEG=90,GCE=25.7,tan 25.7=,CE=.(4分)CD=CE-DE,-=5.5.(5分)x=13.2.(6分)EGDEtan
50、31xEGCEtan25.7xtan25.7xtan31xGH=GE+EH=13.2+1.5=14.7.(7分)答:旗杆GH的高度为14.7 m.(8分)任务三:答案答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.(9分)解题关键解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立教学模型.6.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰
