1、2 2.3 3.1 1圆的标准方程圆的标准方程一二三一、圆的定义【问题思考】 1.填空:平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆,定点是圆心,定长是圆的半径.设M(x,y)是C上的任意一点,点M在C上的条件是|CM|=r,r为C的半径.2.平面内到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是什么?提示:是一个以定点为圆心,以定长为半径的圆面.一二三二、圆的方程【问题思考】 1.在平面直角坐标系中,圆是函数的图象吗?提示:根据函数知识,对于平面直角坐标系中的某一曲线,如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图象,否则,不是函数的图象.对于平面直角坐标系中的圆,垂直于x轴的直
2、线与其至多有两个交点,因此圆不是函数的图象.2.填空:(1)圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为x2+y2=r2.(2)圆心坐标为(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.一二三答案:A 一二三三、点与圆的位置关系【问题思考】 1.用数形结合的思想方法说明直线y=k(x-3)与圆x2+y2=16的位置关系怎样?提示:相交.因为直线y=k(x-3)恒过定点(3,0),又点(3,0)在圆x2+y2=16的内部,故直线与圆是相交的.2.填空:设点P(x0,y0)和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,则:点P在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2|PC|=r;点
3、P在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2|PC|r;点P在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2|PC|4,所以a1或a0)的图象是以(a,b)为圆心,半径为r的位于直线y=b下方的半圆弧. ()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思想方法直接法求圆的标准方程直接法求圆的标准方程【例1】 (1)圆心是C(-3,4),半径长为5的圆的方程为()A.(x-3)2+(y+4)2=5B.(x-3)2+(y+4)2=25C.(x+3)2+(y-4)2=5D.(x+3)2+(y-4)2=25(2)已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程为.解析:(1)因为圆心是C
4、(-3,4),半径长为5,所以圆的方程为(x+3)2+(y-4)2=25.(2)AB的中点坐标即为圆心坐标C(1,-3),又圆的半径r=|AC|= ,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=29.答案:(1)D(2)(x-1)2+(y+3)2=29探究一探究二探究三思想方法反思感悟通过以上例题可总结出以下规律:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可知,圆心为(a,b),半径为r,它体现了圆的几何性质;圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有三个参数a,b,r,只要求出a,b,r,圆的方程也就确定了,因此确定圆的方程需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的
5、定形条件.(2)几种特殊形式的圆的标准方程探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法变式训练变式训练1圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 ()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2解析:圆的半径r= ,圆心坐标为(1,1),所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.答案:D探究一探究二探究三思想方法待定系数法求圆的标准方程待定系数法求圆的标准方程【例2】 求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切于点(2,-1);(2)圆心C(3,0),且截直线y=x
6、+1所得的弦长为4.(3)已知一个圆关于直线2x+3y-6=0对称,且经过点A(3,2),B(1,-4).思路分析:利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解.解:(1)设圆心为(a,-2a),半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y+2a)2=r2.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. 探究一探究二探究三思想方法(2)设圆的半径为r,则圆的方程为(x-3)2+y2=r2,利用点到直线的距离公式可以求得所以所求圆的方程为(x-3)2+y2=12. 探究一探究二探究三思想方法即x+3y+1=0.因为圆心在弦AB的垂直平分线上,也在对称轴上,探究一探究二探究三思想方法
7、反思感悟1.待定系数法求圆的标准方程,需求出圆心和半径,即列出关于a,b,r的方程组,求出a,b,r.一般步骤如下:(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组;(3)解方程组,求出a,b,r,代入圆的方程中,求出圆的标准方程.2.有时求圆的方程时,用上初中所学圆的几何性质往往使问题容易解决.圆的常用几何性质如下:(1)圆心在过切点,且与切线垂直的直线上;(2)圆心必是两条不平行的弦的中垂线的交点;(3)不过圆心的弦,弦心距d,半弦长m及半径r满足r2=d2+m2;(4)直径所对的圆周角是90,即圆的直径的两端点与圆周上
8、异于端点的任意一点的连线互相垂直.探究一探究二探究三思想方法变式训练变式训练2求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.解:设点C为圆心,因为点C在直线l:x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).又因为该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|.解得a=-2.所以圆心坐标为C(-1,-2),半径r= .故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.探究一探究二探究三思想方法点与圆的位置关系点与圆的位置关系【例3】 已知在平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一个圆上,为
9、什么?思路分析:先确定出过其中三点的一个圆的方程,再验证第四个点是否在这个圆上,即可得出答案.解:设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.把A,B,C的坐标分别代入,得所以,经过A,B,C三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5.把点D的坐标(-1,2)代入上述圆的方程,得(-1-1)2+(2-3)2=5.所以,点D在经过A,B,C三点的圆上,即A,B,C,D四点在同一个圆上.探究一探究二探究三思想方法反思感悟判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法和代数法两种:(1)对于几何法,主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小
10、;(2)对于代数法,主要把点的坐标代入圆的标准方程,左端与r2比较.探究一探究二探究三思想方法试求过三点A(0,1),B(2,1),C(3,4)的圆的方程,并且判断点(3,6)与所求圆的关系.解:所求方程同例题中的结论(x-1)2+(y-3)2=5.经判断,因为点(3,6)代入圆方程左边可得(3-1)2+(6-3)2=135,因此点(3,6)在该圆外.探究一探究二探究三思想方法利用数形结合思想求有关圆的最值问题【典例】 如图所示,圆C:(x-8)2+(y-6)2=1,点A(0,-1),B(0,1).设P是圆上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值和最小值.思路点拨:本题考查点与圆的
11、位置关系及数形结合思想,可先列出函数关系式,再借助图形特点解决问题.解:设点P的坐标为(x0,y0),所以d=|PA|2+|PB|2因为原点O在圆外,点C的坐标为(8,6),圆的半径为1,所以|OP|max=|CO|+1=10+1=11,|OP|min=|CO|-1=10-1=9.所以dmax=2112+2=244,dmin=292+2=164.探究一探究二探究三思想方法方法点睛如图所示,点P(x0,y0)是圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)外一点,则圆上到点P距离最近的点为点P与圆C的圆心的连线与圆的交点A,圆上离点P最远的点为点P与圆C的圆心的连线的延长线与圆的交点B.探究一探
12、究二探究三思想方法变式训练变式训练实数x,y满足x2+y2=4(y0),试求m= x+y的取值范围.解:作出半圆:x2+y2=4(y0)和动直线l:y=- x+m.如图知,在l与半圆有公共点的前提下,当l与半圆相切时,纵截距最大.设这时切点为B,l与y轴相交于A,则OBAB,|OB|=2,OAB=30.|OA|=4.当l通过半圆与x轴的负半轴的交点C时,纵截距最小.设这时l与y轴相交于D点.|OC|=2,CDO=30.1234561.圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是() 答案:B 1234562.以点A(-5,4)为圆心,且与x轴相切的圆的标准方程为 ()A.(x+5)2+(y-4)
13、2=16B.(x-5)2+(y+4)2=16C.(x+5)2+(y-4)2=25D.(x-5)2+(y+4)2=25解析:因为圆与x轴相切,所以半径r=4.所以圆的标准方程为(x+5)2+(y-4)2=16.答案:A1234563.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为 ()A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析:求圆关于某点或某直线的对称图形的方程,主要是求圆心关于点或直线的对称点.易求得圆心(-2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0),则所求的圆的方程为(x-2)2+y2=5.答案:A123456A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆答案:D1234565.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为.解得a=2,所以圆心为(2,0),半径为 .所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.答案:(x-2)2+y2=101234566.一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.解:(方法一)因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2,因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,123456
