1、1数学期望数学期望方差方差协方差、相关系数协方差、相关系数 其它数字特征其它数字特征第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2在一些实际问题中，我们需要了解随机变在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。某些特征。问题的提出：问题的提出：3 例：例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离均长度，又需要注意纤维长度与平均长
2、度的偏离程度；程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。4,甲乙两个射手 他们的某次射击成绩分别为试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例: 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击击中中环环数数次数1098206515甲射手甲射手击中环数击中环数次数10981080105 解：计算甲的平均成绩：解：计算甲的平均成绩： 计算乙的平均成绩：计算乙的平均成绩： 所以甲的成绩好于乙的成绩。所以甲的成绩好于乙的成绩。 8 10 9 80 10 101080
3、1089109100100100100 8 209 65 10 1520651589108.95100100100100 6定义：设离散型随机变量定义：设离散型随机变量X的分布律为的分布律为若级数若级数 则称级数则称级数 的值为的值为X的的数学期望数学期望，记为，记为E(X)，即，即4.1 4.1 数学期望数学期望() 1,2,kkP Xxpk1,kkkxp 1()kkkE Xx p1kkkx p( (一一) ) 数学期望定义数学期望定义7定义：设连续型随机变量定义：设连续型随机变量X的概率密度的概率密度函数为函数为f(x)，若积分，若积分则称积分则称积分 的值为的值为X的的数学期望数学期望，
4、记为记为E(X)，即，即数学期望简称数学期望简称期望期望，又称，又称均值均值。+( ),x f x dx +( )xf x dx+()( )E Xxf x dx8例例1.1 澳门赌场猜大小游戏中有买澳门赌场猜大小游戏中有买4点的点的游戏，游戏规则如下，掷游戏，游戏规则如下，掷3颗骰子，点数颗骰子，点数之和为之和为4赌场输，赌场赔率赌场输，赌场赔率1赔赔50,否则其否则其押金归赌场所有押金归赌场所有,问此规则对赌场还是赌问此规则对赌场还是赌客更有利客更有利?9解：显然赌客猜中解：显然赌客猜中4点的概率为点的概率为3/216=1/72.设一赌客押了设一赌客押了1元元,那么根据规则那么根据规则,他赢
5、他赢50元的概元的概率为率为1/72, 输输1元的概率为元的概率为71/72. 因此经过一次因此经过一次赌博赌博,他能他能期望期望得到的金额为得到的金额为:所以对赌场有利所以对赌场有利.17149( 1)0.305607272 10132(-1),1,2,.3kkkP Xkk 111322|,3kkkkkkkxpkk 例例1.2 1.2 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为证明证明X不存在数学期望不存在数学期望. .证明证明: :由于由于 即该无穷级数是发散的，由数即该无穷级数是发散的，由数学期望定义知，学期望定义知，X不存在数学期望不存在数学期望. .1121( ),(1)f xxx
6、，( )x f x dx-21(1)xdxx-202(1)xdxx201ln(1)x 例例1.3 1.3 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为证明证明X不存在数学期望不存在数学期望. .证明证明: :由于由于 由数学期望定义知，由数学期望定义知，X不存在数学期望不存在数学期望. .121.4( )(),()XPE X。例设 泊松分布 求() 0,1, 0!keXP Xkkk解： 的分布律：X的数学期望为：0()!kkeE Xkk11(1)!kkekee ()E X即1300011 |.xxxxeedxe 0 ()( )xE Xxf x dxxedx1.5(0)().XE X
7、例设 服从参数为的指数分布，求, 0,( ) 0, 0.xexXf xx解： 的密度函数为141.6, 0,1, 0,( )( )0, 0.0, 0.min(, ),max(, ),(),().xxXYexexf xF xxxNX YMX YE NE M例设 与 独立同分布，密度函数与分布函数为令求2( )1 (1( ) ,NNFxF x 解： 的分布函数为22, 0,( )0, 0.xNexfxx因此，密度函数为1()(min(, ).2E NEX Y由上例，152( )( ( ) ,MMFxF x的分布函数为222, 0,( )0, 0.xxMeexfxx因此，密度函数为0()( )ME
8、Mxfx dx由上例，20022xxx edxxedx321.2216例例1.7 某厂生产的电子产品某厂生产的电子产品,其寿命其寿命(单位单位:年年)服从指服从指数分布数分布,概率密度函数为概率密度函数为若每件产品的生产成本为若每件产品的生产成本为350元元,出售价格为出售价格为500元元,并向顾客承诺并向顾客承诺,如果售出一年之内发生故障如果售出一年之内发生故障,则免费则免费调换一件调换一件;如果在三年之内发生故障如果在三年之内发生故障,则予以免费维则予以免费维修修,维修成本为维修成本为50元元.在这样的价格体系下在这样的价格体系下,请问请问:该厂该厂每售出一件产品每售出一件产品,其平均净收
9、入为多少其平均净收入为多少? /31, 0,3( ) 0, 0,xexf xx171/31/303/31/311/3131200011,3110013,311503.3xxxP YPXedxeP YPXedxeeP YP Xedxe 解：解：记某件产品寿命为记某件产品寿命为X(年年),售出一件产品的净收入为售出一件产品的净收入为Y(元元)，则，则500350 2,01,50035050,13,500-3503XYXX 若 若, 若.由于由于X服从指数分布，那么服从指数分布，那么181/31/3111/31( )200 (1) 100 () 15033.35().E Yeeeeee 200+30
10、050元即即Y的分布律为的分布律为Y -200 100 150 p1/31 e1/31ee1e因此售出一件产品的平均净收入为因此售出一件产品的平均净收入为191()kkkg xp ，则有(1)(), 1,2,kkXP Xxpk是离散型随机变量，分布律为：( (二二) ) 随机变量函数的随机变量函数的数学期望数学期望(),Yg X定理：设连续函数1( ) ()();kkkE YE g Xg xp(2)( ),Xf x是连续型随机变量，密度函数为( )( )g xf x dx ，则有( )( ()( ) ( ).E YE g Xg x f x dx20 定理的重要意义在于，求定理的重要意义在于，求
11、E(Y)时，不必时，不必算出算出Y的分布律或概率密度函数，只利用的分布律或概率密度函数，只利用X的分布律或概率密度函数的分布律或概率密度函数; 可以将定理推广到两个或两个以上随机可以将定理推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况变量的函数的情况.21,X Y(3)二元离散型随机变量的分布律为：(, ),Zh X Y定理(续)：设连续函数(,), ,1,2,ijijP Xx Yypi j( )E Z 存在，则有11( ) (, )( ,);ijijijE ZE h X Yh x yp,( , )X Yf x y(4)二元连续型随机变量的密度函数为，( )E Z 存在，则有( )( (, )( ,
12、 ) ( , ).E ZE h X Yh x y f x y dxdy 221.8,X Y例设二维随机变量的联合分布律为01200.10.250.1510.150.20.15XY()sin2XYZ求随机变量的数学期望。23()( )sin2(00)(1 0)sin0.1 sin0.1522(0 1)(1 1)sin0.25sin0.222(02)(12)sin0.15sin0.15220.25XYE ZE解：24 例例1.9 1.9 设随机变量设随机变量( (X,Y) )的联合密度函数为：的联合密度函数为： 求求E( (X),),E( (XY).). (1)e, 0,0,( , ) 0, xy
13、xxyf x y其他,()( , )E Xxf x y dydx 解：(1)00exyx xdydx 00e ed dxxyxxyx0e d1,xxx25 例例1.9 1.9 设随机变量设随机变量( (X,Y) )的联合密度函数为：的联合密度函数为： 求求E( (X),),E( (XY).). (1)e, 0,0,( , ) 0, xyxxyf x y其他,()( , )E XYxyf x y dydx 解：(1)00exyxy xdydx 00e ed dxxyxy xyx001ede d1.xxxxxx26例例1.10 1.10 某商店经销某种商品，每周进货量某商店经销某种商品，每周进货量
14、X与与需求量需求量Y是相互独立的随机变量，都是相互独立的随机变量，都U10,20.商店每售出一单位商品可获利商店每售出一单位商品可获利1万元，若需求万元，若需求量超过进货量，商店可从其他处调剂供应，此量超过进货量，商店可从其他处调剂供应，此时每单位商品获利时每单位商品获利0.5万元；求商店经销该商万元；求商店经销该商品每周所获利润的数学期望品每周所获利润的数学期望.27, ,(, )0.5(), ,YYXZg X YXYYX若若Z解：设 表示该种商品每周所得的利润，则(, )1 100,1020,1020( , )0,XYX Yxyf x y和 相互独立，因此的概率密度为，其他，( )( ,
15、) ( , )E Zg x y f x y dxdy 2020201010101 1000.5() 1 1001 42(xxdxydydxxydy.万元）28例例1.11 设按季节出售的某种应时产品的销售设按季节出售的某种应时产品的销售量量X(单位单位:吨吨) 服从服从5,10上的均匀分布上的均匀分布.若销售出一吨产品可盈利若销售出一吨产品可盈利C1 = 2万元万元;但若在销售季节未能售完但若在销售季节未能售完,造成积压造成积压,则每吨产则每吨产品将会净亏损品将会净亏损C2=0.5万元万元.若该厂家需要提前生产该种商品若该厂家需要提前生产该种商品,为使厂家能获为使厂家能获得最大的期望利润得最大
16、的期望利润,问问:应在该季生产多少吨产应在该季生产多少吨产品最为合适品最为合适?29112,(, )(),c aXaYg X ac Xc aXXa 若 若( )( (, )( , )( )XE YE g X ag x a fx dx则解：设应在该季生产解：设应在该季生产a吨产品吨产品 ，所获，所获利润为利润为Y万元，则万元，则Y依赖于销售量依赖于销售量X及产量及产量a， (510)a210512925(2.50.5 ).55424aaaaaxadxdx 30d( )0,dE Yaa令得 =9,22d1( )0,d29( )E YaaE Y 又由于此时所以时，达到最大值.310011()()nn
17、iiiiiiE cc Xcc E X( (三三) ) 数学期望数学期望的性质的性质1.设设C是常数，则有是常数，则有E(C)=C,2.设设X是随机变量是随机变量, C是常数是常数,则有则有E(C X)=CE(X),3.设设X,Y是随机变量是随机变量, 则有则有E(X+Y)=E(X)+E(Y), 合起来为合起来为E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y) +c. 推广到任意有限个随机变量线性组合：推广到任意有限个随机变量线性组合：3211()(),1,.,nniiiiiEXE XXin 其中，相互独立.4.设设X,Y是相互独立随机变量是相互独立随机变量, 则有则有 E(XY)=E(X) E(Y
18、), 推广到任意有限个相互独立随机变量之积：推广到任意有限个相互独立随机变量之积：333. ()() ( , ) ( , )( , )()( )E XYxy f x y dxdyxf x y dxdyyf x y dxdyE XE Y 1. ()1,()( )1CP XCE XE CCC 是常数，2. ()( )( )()E CXCxf x dxCxf x dxCE X下面仅对连续型随机变量给予证明3. ()() ( , ) ( , )( , )()( )E XYxy f x y dxdyxf x y dxdyyf x y dxdyE XE Y 证明：证明：344. ()( , )E XYxy
19、f x y dxdy ( )( )XYxyfx fy dxdy ( )( )XYxfx dxyfy dy() ( ).E X E Y351.120 91,2,.,( ).iXiinnYE Y例计算机程序随机产生中的数字.记为第 次产生的数字，将这个数依次排列，得到一数，记为求361,2, , 1/10,0,1,9.iiXinP Xkk解：由题意知，独立同分布，其分布律为901()4.5.10ikE Xk故1110,niiiYX又从而11( )10()niiiE YE X111014.510.2nnii37例例1.13 1.13 一专用电梯载着一专用电梯载着1212位乘客从一层上升，位乘客从一层
20、上升，最高最高1111层层. .假设中途没有乘客进入，每位乘客假设中途没有乘客进入，每位乘客独立等概率地到达各层独立等概率地到达各层. .如果没有乘客到达某如果没有乘客到达某层楼，电梯在该层就不停层楼，电梯在该层就不停. .记电梯停留次数为记电梯停留次数为X，求，求E( (X).). ( (设电梯到达设电梯到达1111层后乘客全部下完层后乘客全部下完) )380 2,3,11,1 iiXii第 层没有人到达,，第 层有人到达,2311 XXXX易知：231112()()()() 101 (0.9) 7.176().E XE XE XE X次()(1)iiE XP X()Pi第 层有人到达121
21、 (0.9) 解：引入随机变量：解：引入随机变量：39 本题是将本题是将X分解成数个分解成数个随机变量之和随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。种处理方法具有一定的普遍意义。40 1.4(),1,2,3,4.iE Xi i解：根据例，泊松分布期望123412341.14,( ),1,2,3,4,( ).iXXXXXP iiXXYXXE Y例设随机变量相互独立，求行列式的数学期望1423YX XX X14234( )()()E YE X XE X X由性质
22、 ，1423() ()() ()1 42 32.E X E XE XE X 410()()nXE XP Xn定理：若 是取值非负整数的随机变量，则 42001()()(1)nnnE XP Xnpp解：1(01)()(1),1,2,.,().nXppP Xnpp pE X例：设 服从参数为 的几何分布，即计算43( )0,( |)(|),A.P AXXXPAE XAX定义：设是一随机变量 。记关于条件概率的期望为称为在 发生的条件下 的条件期望44(),(|0),(|1).XYE XE X YE X Y例：设某班级有3名男生，数学成绩分别为70,80,90分，有两名女生，数学成绩分别为80,10
23、0分。从该班中任取一学生，用 表示此人的数学成绩， 表示此人的性别(0表示男，1表示女）.计算：4512(70)(90)(100),(80)551()=(7090100280)845P XP XP XP XE X解：1(|0),70,80,9031(|0)(708090)803P Xi YiE X Y1(|1),80,10021(|1)(80100)902P Xi YiE X Y为全班平均分为男生平均分为女生平均分()(0) (|0)(1(|1)E XP YE X YP YE X Y）46全期望公式：1,.,()0,1,., .niBBSP BinX设是样本空间 的一个划分，且设 是一随机变量
24、，则1()() (|)niiiE XP B E XB47X以 为离散型随机变量为例证明：(),1,2,.kkXP Xxp k设 的分布律为1()() (|)nkikiiP XxP B P XxB由全概率公式，1()()() (|)kkknkikikiE Xx P XxxP B P XxB 1()(|)nikkiikP Bx P XxB1() (|)niiiP B E XB4812121,1,BXBXB BS解：令，则是 的一组划分.(01)().XppE X例：设 服从参数为 的几何分布，计算11(), (|)1,P BpE XB2()1, P Bp221(1|)(),BXpE XBE X在发
25、生条件下，仍然服从参数为 的几何分布，所以22(|)1(1|)1()E XBE XBE X因此1122()() (|)() (|)(1)(1()()1/.E XP B E XBP B E XBppE XE Xp所以491.YYp解：令 为首次出现反面的时刻.则 服从参数为的几何分布.,01.().ppXE X例：独立重复地抛一枚硬币直到连续出现2次正面为止设每次出现正面的概率为令 表示抛硬币的次数，计算1,2,(|)()iE X YiiE X 对(|2)2E X Y 而21()() (|)(2) (|2)iE XP Yi E X YiP YE X Y2121()(1)()2iiE Xpp iE
26、 Xp21()pE Xp50设设一一打打斗斗游游戏戏只只有有两两关关卡卡, ,通通过过这这两两个个关关卡卡就就是是通通关关. .游游戏戏规规例例: :则则如如下下：1(1)0.ap 先先攻攻打打第第一一关关, ,需需花花 元元钱钱购购买买相相应应的的装装备备, ,攻攻打打成成功功进进入入第第二二关关, ,攻攻打打成成功功概概率率为为如如攻攻打打第第一一关关失失败败, ,则则需需重重新新攻攻打打, ,且且已已买买的的装装备备失失效效, ,需需重重新新购购买买. .2(3)0.bp 攻攻打打第第二二关关时时, ,需需花花 元元钱钱购购买买装装备备. .攻攻打打成成功功概概率率为为如如攻攻打打第第二
27、二关关失失败败, ,则则需需重重头头开开始始，即即从从攻攻打打第第一一关关开开始始, ,且且已已买买的的装装备备失失效效. .平平均均通通关关费费用用问问题题：为为多多少少？51失失败败1q概概率率为为a打打第第一一关关花花费费 元元b打打第第二二关关花花费费 元元通通关关成成功功1p概概率率为为成成功功2p概概率率为为失失败败2q概概率率为为Z用用 表表示示解解: :通通关关费费用用. .123BBB=令令“第第一一次次攻攻打打第第一一关关失失败败”“第第一一次次攻攻打打第第一一关关成成功功，但但接接下下来来攻攻打打第第二二关关失失败败”“第第一一次次攻攻打打第第一一关关成成功功，且且接接下
28、下来来攻攻打打第第二二关关成成功功”11221,1.qp qp 令令1(|)( )E Z BaE Z则则2(|)( )E Z BabE Z3(|)E Z Bab52失失败败1q概概率率为为a打打第第一一关关花花费费 元元b打打第第二二关关花花费费 元元通通关关成成功功1p概概率率为为成成功功2p概概率率为为失失败败2q概概率率为为31( )() (|)iiiE ZP B E Z B由由全全期期望望公公式式：11212( )( )()q aE Zp q abE Zp p ab122( ).abp ppE Z +所所以以平平均均通通关关费费用用为为534 4.2 2 方差方差设有一批灯泡寿命为：一
29、半约设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约小时，另一半约1050小时小时平均寿命为平均寿命为10001000小时；小时； 另一批灯泡寿命为：另一批灯泡寿命为：一半约一半约1300小时，另一半约小时，另一半约700小时小时平均寿命为平均寿命为10001000小时；小时；问题：哪批灯泡的质量更好？问题：哪批灯泡的质量更好？ 单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命寿命X与均值与均值10001000小时的偏离程度。小时的偏离程度。方差方差正是体现这种意义的数学特征。正是体现这种意义的数学特征。54()Var XX( ),2( )( )Var
30、 XE XE X( (一一) ) 方差的定义方差的定义定义定义 设设X是随机变量，若是随机变量，若 存在，存在，则称其为则称其为X的的方差方差，记为，记为Var( (X) )或或D( (X),),即即2()EXE X将将 记为记为 称为称为X的的标准差标准差或均方差，或均方差，它与它与X有相同的量纲有相同的量纲.方差方差Var( (X) )刻画了刻画了X取值的分散程度，取值的分散程度，若若 X取值比较集中，则取值比较集中，则Var( (X) )较小较小，反之，反之，若若X取值比较分散，则取值比较分散，则Var( (X) )较大较大. .因此因此Var( (X) )是衡量是衡量X取值分散程度的一
31、个指标取值分散程度的一个指标. .55对于对于离散型离散型随机变量随机变量X，(), 1,2,iiP Xxpi其分布律为：21()()iiiVar XxE Xp( ),f x其密度函数为2()()( ).Var XxE Xf x dx对于对于连续型连续型随机变量随机变量X，5622()() ()Var XE XE X222() ()E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22() ()E XE X 此外，利用数学期望的性质，可得方差的此外，利用数学期望的性质，可得方差的计算公式：计算公式：2()()Var XEXE X57例例2.12.1设随机变量设随机变量X
32、具有具有0-10-1分布，其分布律为：分布，其分布律为：解：解：(0)1(1)()P XpP XpVar X 。，求()E X0 (1) 1pp p2()E X220(1) 1ppp()Var X所以 22() ()E XE X2pp(1)pp58() 0,1, 0!keXP Xkkk解： 的分布律为：1.4(),E X由例已算得2 ()E X而22 ()() ()Var XE XE X所以即泊松分布的均值与方差相等，都等于参数(1)()E X XE X(1)E X XX222(2)!kkek0(1)!kkek kk22e e2.2( )()XPVar X。例设，求 592.3( , )()
33、XU a bVar X。例设，求22()( )E Xx f x dx22()() ()Var XE XE X1 ( )0 axbbaf x其它21(),22bbaaxxabE Xdxbaba21baxdxba333()baba223abab2222234abababab2()12ba解：解：X的密度函数为：的密度函数为：60例例2.4 2.4 设随机变量设随机变量X服从指数分布，其密度服从指数分布，其密度函数为：函数为： 0( ) 0()0 0 xexf xVar Xx，求.1.5()1/ ,E X解：由前面的例知22()( )E Xx f x dx20 xxedx2200|22/,xxx e
34、xedx 22()() ()Var XE XE X于是 2222/1/1/.61( (二二) )方差的性质：方差的性质：22, ,()()( )X Ya b cVar aXbYca Var Xb Var Y综合上述三项，设相互独立，是常数，则( )0CVar C 1. 设 是常数，则2()()XCVar CXC Var X2. 设 是随机变量， 是常数，则有,()( )( ) 2( )( ),()( )( ).X YVar X YVar XVar YE XE XYE YX YVar X YVar XVar Y3. 设是两个随机变量，则有 特别,若相互独立,则有624. ()0()1, ().V
35、ar XP XCCE X且推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况2011()()nniiiiiiVar cc Xc Var X63证明：证明：21. ( )( )0Var CECE C222. ()() ()Var CXE CXE CX2222() ()C E XCE X2222() ()()CE XE XC D X6423. ()()()Var XYEXYE XY4. 证略。,()( )()( )() ( )0,()()( ).X YXE XYE YEXE XYE YE XE XE YE YVar XYVar XVar Y当相互独立时，与相互独立
36、,故所以2()( )EXE XYE Y22()( )2()( )EXE XEYE YEXE XYE Y()( )2()( )Var XVar YEXE XYE Y652.5( , )(),()XB n pE X Var X。例设，求1, 1,2,0, kAkXknAk在第 次试验发生,在第 次试验不发生,Xkp011-pp121 nniiXXXXX易知：( )XnAP Ap解：随机变量 是 重伯努利试验中事件 发生的次数，设. 引入随机变量：12,0 1nX XX于是相互独立，服从同一分布：6611()()()nniiiiE XEXE Xnp故知：()()(1).E XnpVar Xnpp即，
37、11()()()(1),nniiiiVar XVarXVar Xnpp,0 1n pnp以为参数的二项分布变量，可分解为 个相互独立且都服从以 为参数的分布的随机变量之和。6722.6( ,)(),()XNE X Var X 。例设，求XZ先求标准正态变量的数学期望和方差221( )2tZte的概率密度为：221( )0,2tE Ztedt于是 2( )()Var ZE Z22212tt edt222211|1.22ttteedt 22()(),()()( ).XZE XEZVar XVarZVar Z因为，故2, 即正态分布的两个参数分别是该分布的数学期望和方差。( )0,( )1,E ZV
38、ar Z69表表1 1 几种常见分布的均值与方差几种常见分布的均值与方差数学期望数学期望 方差方差 分布率或 密度函数 分布 01分布 p p(1-p)二项分布B(n,p) npnp(1-p)泊松分布 均匀分布U(a,b)指数分布正态分布1()(1)0,1kkP Xkppk1()(1)0,1,.,kkknP XkC ppkn( )P()!0,1,.,kP Xkekk1 (),( )0,baaxbf x其它2ab2( - )12b a( )E,0( )0,xexf x其它1212( ,)N 22()21( )2xf xex 2201122222222011112212(,) 1,2, (,) ,
39、iiinnnnnnnXNinCC XC XC XN CCCCCCC CC 若且它们相互独立则它们的线性组合：是不全为0的常数 (1,3)(2,4),23如:，且相互独立，则XNYNX YZXYn独立的 个正态变量的线性组合仍服从正态分布：( 4,48)N71222.7(22.40,0.03 ),(22.50,0.04 ),).XNYNXYP XY例设且 和 相互独立，计算（()P XY解：2( 0.10,05 ) 0.XYN由于()(0)P XYP XY故有0( 0.10)()0.05 (2)0.9772. (0)P XY72 定义：设随机变量定义：设随机变量X X具有数学期望具有数学期望()
40、E X*()0()1E XVar XX显然，且无量纲.*11()() ()0,E XE XE X证：2*()0XVar XX方差，记2*222222 ()() ()() 1() 1.XVar XE XE XEE X *XX则称为 的标准化变量.734.3 4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数()( )(, )EXE XYE YXYCov X Y定义称为随机变协量 与 的，记为：方差，即.(, )()( )Cov X YEXE XYE Y协方差的计算公式：协方差的计算公式：(, )()() ( )Cov X YE XYE X E Y方差性质的补充：方差性质的补充：()()( )2(, )Va
41、r XYVar XVar YCov X Y74协方差的性质：协方差的性质：1212(, )( ,);(,)();(,)(, ),(, )(, )(, )1. 2.3.4. ; Cov X YCov Y XCov X XVar XCov aX bYab Cov X Ya bCov XXYCov X YCov XY其中为两个实数；2()( )0(, )()( ),()1.5.Var X Var YCov X YVar X Var YXYa bP YabX当时，有 其中等号当且仅当 与 之间有严格的线性关系,即存在常数，使751(1)(,)? (2)()?(3)()?niiCov aXbY cXdY
42、Var aXbYcVarX2211()( )()(, ),(2)()( )2(, ),(3)()2(,).niijiij nacVar XbdVar Yadbc Cov X Ya Var Xb Var YabCov X YVar XCov XX 答案：(1)思考题：思考题：761,()1 0.102 1XYXYXYa bP YabXbb 存在常数，使 特别的，时，；时，1. 1XY定义定义 称为称为X与与Y的的相关系数相关系数. 它无量纲的量它无量纲的量.相关系数的性质相关系数的性质:(, )()( )XYCov X YVar X Var Y()( ),()( )XYXE XXE YCovVa
43、r XVar Y772,( , )()( , )XabXYe a bEYabXabXYe a babXY证明：考虑以 的线性函数来近似表示 以均方误差 来衡量用近似表达 的好坏程度, 越小，与 的近似程度越好。00,(,)( , )a be a bmine a b下面来求最佳近似式：续7800,(,)( , )a be a bmine a b下面来求最佳近似式：2222( , )()()2()2()2( )e a bE Yb E XabE XYabE XaE Y计算得: 续2( , )22()2 ( )0( , )2()2 ()2()0e a babE XE Yae a bbE XE XYaE
44、 Xb000( )()(, )()aE Yb E XCov X YbVar X7920000(,)()e a bEYab X此时20000()()Var Yab XE Yab X0()Var Yb X200( )()2(, )Var Yb Var Xb Cov X Y2(, )( )()Cov X YVar YVar X2(1)( )XYVar Y000(, )( )(),()Cov X YaE Yb E XbVar X已得：80001(,)0.e a b 由00(, )0(, )00() 0(, )00特别，当时，当时，XYXYCov X YCov X YbD XCov X Yb20000(
45、,)()e a bEYab X2(1)( )XYVar Y210XY 1XY2001(2.) 0 XYEYab X 0000()0()0Var Yab XE Yab X且00()01P Yab X000(, )( )(),()Cov X YaE Yb E XbVar X81,是一个用来表征之间相关系数线性关系紧密程度的量XYX Y00(,),XYe a bX Y当较大时，较小，表明线性关系的程度较好；001 (,)0,XYe a bX Y当时， ，表明之间以概率1存在线性关系；00(,),XYe a bX Y当较小时，较大，表明线性关系的程度较差；00XYXYXYXY当时，称 与 为；当正相关
46、时，称 与 为负相关；820XYXY ，称 与 不相关或定义：零相关.0XYXY随机变量 与 不相关，即的等价条件有：1. (, )0Cov X Y 2. ()() ( )E XYE X E Y3. ()()( )Var XYVar XVar YXYXYXYXY从而可知，当 与 相互独立与 一定不相关反之，若 与 不相关， 与 却不一定相互独立83例例3.1 3.1 设设X, ,Y服从同一分布，其分布律为：服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1 -1 0 1 p 1/4 1/2 1/4 1/4 1/2 1/4 0P XY 已知已知 , 判断判断X和和Y是否不相关？是否不相关？是否独立？是
47、否独立？ 84,10111 401 211 41 41 21 4jiX YX Ypp解： 先求的联合分布律：000001 41 41 41 4()( 1) 1 40 1 2 1 1 40,E X ()0,E XY (, )0,ovYCX YX所以，与即不相关.(1,1)0,P XY (1) (1)1 4 1 4P XP Y (1,1)(1) (1)P XYP XP YXY 所， 与以不独立。8521222112222212123.2(, )1 ( , )21()()()()1exp22(1)X Yf x yxxyyXYXYXY 例设服从二元正态分布，它的概率密度函数为：求 和 的相关系数，并证
48、明 与 相互独立与 不相关.86,X Y解：由于的边际概率密度函数为：2121()211( ) 2xXfxex ；2222()221( ) 2yYfyey 续221122(),()( ),( )E XVar XE YVar Y所以；8712(, )()()Cov X YEXY而12()() ( , )xyf x y dxdy 2121()21221222212212()()2211()2(1)xxyedxexpyxdy 882121()21221211()()2xxexdx 2121()222111() 2xxedx 221121 (, ).()( )XYCov X YVar XVar Y于是
49、89(, ),X YX YX Y即二元正态变量的概率密度中的参数就是的相关系数，因而二元正态变量的分布完全可由各自的均值、方差以及它们的相关系数所确定。 (, )0 (, )XYXYXYX YXYX Y若服从二元正态分布，那么和 相互独立现在知道，从而和 不相知：对于二元正态变量来关，与说相互独立904.4 4.4 其它数字特征其它数字特征 XY定义：设 和 是随机变量() 1,2, () kkE XkX若存在，则阶 原它为 的点称矩；() 1,2,kkEXE XkX若存在， 则称它为 的 阶中心矩；,1,2,klE X Yk lYklX若存在 存在， 则阶混合(原称它为 和 的点)矩；()
50、( ) ,1,2,klEXE XYE YkklXlY若存在， 阶 则称它为的混合中心矩；显然，最常用到的是一、二阶矩91( )( ), 1()( )xXF xf xP XxF xf x dxxX 定义： 为连续型随机变量，其分布函数和概率密度函数分别为和称满足条件的实数为随机变量（或此分布）的上（侧） 分位数.92z0,1 ,01XNzP Xzz设若满足条件则称点为标准正态分布的上 分位数.1zz 1/21/43/41/2 1/4 3/4xXxXxX特别地，当时，称为 的；当时，称中位数为 的；当时，称为上1 4分位数上3的4分位数.1/20zExcel中NORM.S.INV用于查询标准正态分
