1、23.1向量数量积的物理背景与向量数量积的物理背景与定义定义向量a与b的夹角 同向 反向 垂直 正射影 |a|cos |a| |a| 3向量的数量积(内积)(1)叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab(2)两向量的数量积不是向量而是 ，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异(3)向量数量积的几何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的正射影的数量|b|cos的乘积，或看作是与 的乘积|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b数量b的长度|b|a在b方向上的正射影的数量|a|cosa，b4向量数量积的性质(1)
2、如果e是单位向量，则aeea(2)ab；(3)aa|a|2或|a|；(4)cos(a0，b0)；(5)|ab| .|a|cosa，eab0|a|b|重点：平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角难点：平面向量数量积的定义及性质的理解，平面向量数量积的应用1两向量的数量积是一个实数，而不是向量要注意两向量数量积的书写为ab，要与代数中的a，b的乘积ab区分开来当a0时，ab0不能推出b一定为零向量，这是因为对任一与a垂直的非零向量b，都有ab0.2若a、b、c为实数，当b0时，abbcac，但对于向量的数量积，该推理不正确，即abbc/ ac.由图很容易看出，虽然abbc
3、，但ac.3向量数量积的性质的应用及证明(1)如果e是单位向量，则aeea|a|cos.证明：ae|a|e|cos|a|cos，ea|e|a|cos|a|cos，aeea|a|cos.abab0.证明：已知ab，若a、b中至少有一个为零向量，则符合条件ab，ab0；若a0，b0，由已知90，ab|a|b|cos0.因此，abab0.已知ab0，若a、b中至少有一个为零向量，满足ab0，根据定义知ab；若a0，b0，则ab|a|b|cos0，即cos0.又因为0180，90，ab.因此，ab0ab；综上所述，abab0.(2)性质(1)可以帮助理解数量积的几何意义；性质(2)可以解决有关垂直的问
4、题；性质(3)可以求向量的长度；性质(4)可以求两向量的夹角；性质(5)可以解决有关不等式的问题，当且仅当ab时，等号成立五条性质，均可由向量数量积的定义推出例1已知向量a与轴l.则下列命题a在l上的射影为正数；a在l上的射影为非负数；a在l上的射影为向量；a在l上的数量为非负数；a在l上的数量为实数；a在l上的数量为向量；分析利用射影、射影的数量以及向量夹角的定义解题解析a在l上的射影为向量这个向量的坐标叫做数量故不正确，正确，不正确，正确，由向量夹角的范围可知不正确故选.答案(2010江西)已知向量a，b满足|b|2，a与b的夹角为60，则b与a上的投影是_答案1例2已知|a|2，|b|5
5、.(1)若ab，求ab；(2)若ab，求ab；(3)若a，b夹角为60，求ab.分析已知|a|与|b|，只需确定其夹角，特别需注意ab时有0和180两种可能解析(1)当ab时，若a，b同向，则它们的夹角为0，所以ab|a|b|cos010；若a，b反向，则它们的夹角为180.所以ab|a|b|cos18010.(2)当ab时，夹角为90，所以ab|a|b|cos900.(3)当a，b夹角为60时，ab|a|b|cos605.点评(1)用定义求数量积一定要注意两个向量的夹角；(2)当ab时，要注意夹角为0和180两种情况若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为120，则aaab_.例3已知ABC中， a， b，B是ABC中的最大角，若ab0，试判断ABC的形状答案正三角形误解、中式子全部正确，故选D. 正解0a0,0a0|ab|a|b|cos|，都不正确；故应选B.答案C解析ab|a|b|cos21cos601.2下列四个命题：若abac，则bc；若ab0，则|a|b|0；若ab，则ab0；若ab，则|ab|a|b|.其中正确命题的个数是()A4个 B3个C2个 D1个答案C解析命题中，若a0，bc，也有abac0，所以错命题中，若a，b的夹角为90，则由定义知ab0，但|a|b|0，所以错答案A二、填空题4已知ab12，且|b|5，则向量a在向量b的方向上的正射影的数量为_
