1、姓名：报考专业：准考证号码：密封线内不要写题2018年全国硕士研究生招生考试初试自命题试题科目名称：高等代数（A卷 B卷）科目代码：601考试时间：3小时 满分150 分可使用的常用工具：无 计算器 直尺 圆规（请在使用工具前打）1. 注意：所有答题内容必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上的一律无效；考完后试题随答题纸交回。一、 填空题(共 6 小题，每小题 5 分，共30 分)1、，则的虚根为_.2、设是实对称阵的两个不同的特征值，为它们对应的特征向量，则=_.3、设有向量组线性相关，则_.4、设矩阵不是可逆矩阵，则_.5、已知3阶矩阵A的特征值为1，1，2，设矩阵，则_.6、已知设则_.二
2、、选择题(共6小题，每小题 5 分，共30 分)1、设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ）时B=C. （A） A =0 （B）BC且A=0 （C） A0且B=C （D）|A|02、设是方阵，则（ ）（A） （B） （C） （D）3、设是阶方阵，且，是非齐次方程的两个不同的解，则的通解是（ ）（A） （B）（C） （D） 4、设是 () 阶可逆矩阵，是的伴随矩阵，则（ ） （A） （B） （C） ( D) 5、设是矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是( )（A）的行向量组线性无关 （B） 的列向量组线性无关（C）的行向量组线性相关 (D ) 的列向量组线性相关6、设矩阵的秩
3、为r，则中（ ） （A）所有r-1阶子式都不为0 （B）所有r-1阶子式全为0 （C）至少有一个r阶子式不等于0 (D) 所有r阶子式都不为0三、计算与解答题(共8小题，每小题 10 分，共80 分)1、（本题满分10分）求多项式的根2、(本题满分10分)已知向量可由向量组线性表出，但不能被线性表出。（1）在被向量组线性表出的表出式中，前的系数是否为零？ （2）向量组与向量组的秩是否相等？ 3、(本题满分10分)设线性方程组与方程有公共解， 求的值及所有公共解. 4、（本题满分10分）用非退化线性替换将二次型 化为标准型，并确定其秩和符号差。5、（本题满分10分）设三阶实对称矩阵的秩为2，是的
4、二重特征值.若 都是的属于6的特征向量. (1) 求的另一个特征值及所有对应特征向量 （2）求矩阵.6、（本题满分10分）设二维线性空间中的线性变换在基底下的矩阵为，且求该变换在下的矩阵表示。7、（本题满分10分） 已知矩阵均可逆，且 求.8、（本题满分10分）在 中，设（1）求 的维数与一组基；（2）求维数与一组基。四、证明题(共2小题，每小题 5 分，共10 分)1、已知矩阵均是可逆矩阵，证明矩阵必可逆.2、（1）叙述一个与乘积矩阵相关的秩的结论（无需证明）（2）设为阶实方阵，已知，求证。2018年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案科目名称：高等代数（A卷 B卷）科目代码：601考试时间：
5、3小时 满分150 分一、填空题(共 6 小题，每小题 5 分，共30 分)1、 2、 3、4 4、1/2 5、-288 6、二、选择题(共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1、（ D ）2、（ B ）3、( A) 4、 ( C ) 5、 ( D ) 6、 ( C )三、解答与证明题(共8 小题，每小题 10 分，共80 分)1、解： 3分 3分 2分 2分2、解：（1）前的系数不为零， 2分事实上：设 若，则可以被线性表出，矛盾 3分（2）向量组与向量组的秩相等。 2分事实上： 可以被线性表出.又由“（1）”知：从而可被线性表出，故向量组与向量组等价，所以他们的秩相等 3分3、解：两
6、个方程组有公共解，合起来的大方程组有,. 当或时有公共解 3分 （1）当时，对应的方程组的通解为 3分（2）当时，对应的方程组的唯一解为. 4分4、解：的矩阵为 ， 2分 。 ， 4分则 ，作非退化线性替换 ,则 的标准形为 其秩为3，符号差1 4分5、解：( 1 )因为三阶实对称矩阵的秩为2，所以，所以. 2分不妨设对应的特征向量为，则由于属于不同特征值的特征向量正交，所以，其非零解是 3分（2） 取令=,则 2分 所以=. 3分6、解：该线性变换在下的矩阵为： 5分= 2分= 3分7、解：由 4分 4分故 2分8、解：1）任取设 则有即 （*）解（*）得 （t为任意数） 3分令 ，则得的一组基为一维的。 2分2）对以为列向量的矩阵A 作初等行变换 4分由B知，为的一个极大无关组。 为3维的，为其一组基。 1分四、证明题(共2小题，每小题 5 分，共10分)1、证明：因为 4分 所以矩阵必可逆. 1分2、（1）解：，或：若，则，是的列数。 2分（2）证明：因为，所以，而， 所以， 3分第 9 页 共 9 页
