1、 中考数学（福建专用）3.3反比例函数1.(2016厦门,8,4分)已知压强的计算公式是P=,我们知道,刀具在使用一段时间后,就会变钝,如果刀刃磨薄,刀具就会变得锋利.下列说法中,能正确解释刀具变得锋利这一现象的是()A.当受力面积一定时,压强随压力的增大而增大B.当受力面积一定时,压强随压力的增大而减小C.当压力一定时,压强随受力面积的减小而减小D.当压力一定时,压强随受力面积的减小而增大FSA组 20152019年福建中考题组考点一反比例函数的概念、图象与性质答案答案D根据压强公式P=,刀刃磨薄是在压力一定时,减小了受力面积,来增大压强,从而使刀具变得锋利.故选D.FS2.(2015龙岩,
2、9,4分)已知点P(a,b)是反比例函数y=图象上异于点(-1,-1)的一个动点,则+=()A.2B.1C.D.1x11a11 b3212答案答案B把点P的坐标代入函数解析式得ab=1,因为a-1,b-1,所以+=1,故选B.11a11 b11(1)(1)baab 21ababab22abab3.(2019福建,16,4分)如图,菱形ABCD的顶点A在函数y=(x0)的图象上,函数y=(k3,x0)的图象关于直线AC对称,且过B,D两点.若AB=2,BAD=30,则k=.3xkx答案答案6+23解析解析连接AC,过B作BFx轴于F,过A作AMBF于M.如图.由双曲线的对称性可知,点A,C是第一
3、象限角平分线上的点,即xA=yA,=3,即xA=,A(,).根据题意可得CAM=45,BAC=BAD=30=15,BAM=30,BM=AB=2=1.AM=.B(2,1+).k=2(1+)=6+2.2Ax3331212121222ABBM221333333疑难突破疑难突破本题的突破口是得到CAM=45,能将点的坐标转化为线段长,构建含30角的RtABM.4.(2016漳州,15,4分)如图,A、B是双曲线y=上的点,分别过点A、B作x轴和y轴的垂线段,若图中阴影部分的面积为2,则两个空白矩形面积的和为.6x答案答案8解析解析由题意可知,S两个空白矩形+2S阴影=26,即S两个空白矩形+22=12
4、,S两个空白矩形=8.5.(2015福州,13,4分)一个反比例函数图象过点A(-2,-3),则这个反比例函数的解析式是.答案答案y=6x解析解析设这个反比例函数的解析式为y=(k0),代入点A的坐标,得k=6,故这个反比例函数的解析式为y=.kx6x6.(2016南平,23,10分)已知正比例函数y1=ax(a0)与反比例函数y2=(k0)的图象在第一象限内交于点A(2,1).(1)求a,k的值;(2)在直角坐标系中画出这两个函数的大致图象,并根据图象直接回答y1y2时x的取值范围.kx解析解析(1)将A(2,1)代入正比例函数解析式得1=2a,即a=,故y1=x;将A(2,1)代入反比例函
5、数解析式得1=,即k=2,故y2=.(2)如图所示:12122k2x由图象可得,当y1y2时,-2x2.7.(2016泉州,23,9分)已知反比例函数的图象经过点P(2,-3).(1)求该函数的解析式;(2)若将点P沿x轴负方向平移3个单位,再沿y轴方向平移n(n0)个单位得到点P,使点P恰好在该函数的图象上,求n的值和点P沿y轴平移的方向.解析解析(1)设反比例函数的解析式为y=(k0),图象经过点P(2,-3),k=2(-3)=-6,反比例函数的解析式为y=-.(2)点P沿x轴负方向平移3个单位,点P的横坐标为2-3=-1,当x=-1时,y=-=6,n=6-(-3)=9,点P沿着y轴平移的
6、方向为y轴的正方向.kx6x611.(2016三明,10,4分)如图,P,Q分别是双曲线y=上在第一、三象限的点,PAx轴,QBy轴,垂足分别为A,B,点C是PQ与x轴的交点.设PAB的面积为S1,QAB的面积为S2,QAC的面积为S3,则有()kx考点二反比例函数的综合应用A.S1=S2S3B.S1=S3S2C.S2=S3S1D.S1=S2=S3答案答案D延长QB与PA的延长线交于点D,如图所示,则PDQD,设点P的坐标为(a,b),点Q的坐标为(c,d),DB=a,DQ=a-c,DA=-d,DP=b-d,DBDP=a(b-d)=ab-ad=k-ad,DADQ=-d(a-c)=-ad+cd=
7、-ad+k=k-ad,DBDP=DADQ,即=,ADB=PDQ,DBADQP,ABPQ,点P到AB的距离等于点Q到AB的距离,PAB的面积等于QAB的面积,ABQC,ACBQ,四边形ABQC是平行四边形,QAB的面积等于QAC的面积,S1=S2=S3,故选D.DBDQDADP2.(2018福建,16,4分)如图,直线y=x+m与双曲线y=相交于A,B两点,BCx轴,ACy轴,则ABC面积的最小值为.3x答案答案6解析解析令=x+m,整理得x2+mx-3=0,则xA=,xB=,BCx轴,ACy轴,且直线AB为y=x+m,AC=BC=xA-xB=,SABC=(m2+12)6,当且仅当m=0时取“=
8、”.故ABC面积的最小值为6.3x2122mm2122mm212m 123.(2017福建,16,4分)已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上,且点A的横坐标是2,则矩形ABCD的面积为.1x答案答案15212解析解析点A在反比例函数y=的图象上,且点A的横坐标是2,yA=,即点A的坐标为.如图,双曲线y=和矩形ABCD都是轴对称图形和中心对称图形,点A、B关于直线y=x对称,B,同理,C,D.1x12,21x1,2212,21, 22AB=,AD=,S矩形ABCD=ABAD=.221122223 22221122225 221524.(2016三明,21,8分)如图,在平面直角
9、坐标系中,过点A(2,0)的直线l与y轴交于点B,tanOAB=,直线l上的点P位于y轴左侧,且到y轴的距离为1.(1)求直线l的表达式;(2)若反比例函数y=的图象经过点P,求m的值.12mx解析解析(1)A(2,0),OA=2.tanOAB=,OB=1,B(0,1).设直线l的表达式为y=kx+b(k0),把A,B的坐标代入,得k=-,b=1.直线l的表达式为y=-x+1.(2)点P到y轴的距离为1,且点P在y轴左侧,点P的横坐标为-1.又点P在直线l上,点P的纵坐标为-(-1)+1=.点P的坐标是.反比例函数y=的图象经过点P,OBOA121,20,bkb1212123231,2mx=,
10、m=-1=-.321m32325.(2016厦门,24,7分)如图是药品研究所测得的某种新药在成人用药后,血液中的药物浓度y(微克/毫升)随用药后的时间x(小时)变化的图象(图象由线段OA与部分双曲线AB组成).并测得当y=a时,该药物才具有疗效.若成人用药后4小时,药物开始产生疗效,且用药后9小时,药物仍具有疗效,则成人用药后,血液中药物浓度至少需要多长时间达到最大?解析解析设直线OA的解析式为y=kx(k0),把(4,a)代入,得a=4k,解得k=,即直线OA的解析式为y=x.根据题意知(9,a)在反比例函数的图象上,则反比例函数的解析式为y=.当x=时,解得x=6(负值舍去),故成人用药
11、后,血液中药物浓度至少需要6小时达到最大.4a4a9ax4a9ax6.(2016莆田,24,8分)如图,反比例函数y=(x0)的图象与直线y=x交于点M,AMB=90,其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A,B,四边形OAMB的面积为6.(1)求k的值;(2)点P在反比例函数y=(x0)的图象上,若点P的横坐标为3,EPF=90,其两边分别与x轴的正半轴,直线y=x交于点E,F,问是否存在点E,使得PE=PF?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.kxkx解析解析(1)如图1,过点M作MCx轴于点C,MDy轴于点D,则MCA=MDB=90,MC=MD,AMC=BMD,AMC BMD,S四
12、边形OCMD=S四边形OAMB=6,k=6.(2)存在点E,使得PE=PF.由题意,得点P的坐标为(3,2).如图2,过点P作PGx轴于点G,过点F作FHPG于点H,延长HF交y轴于点K.PGE=FHP=90,EPG=PFH,PE=PF,PGE FHP,PG=FH=2,FK=OK=3-2=1,GE=HP=2-1=1,OE=OG+GE=3+1=4,E(4,0).如图3,过点P作PGx轴于点G,过点F作FHPG于点H,延长FH交y轴于点K.PGE=FHP=90,EPG=PFH,PE=PF,PGE FHP,PG=FH=2,FK=OK=3+2=5,GE=HP=5-2=3,OE=OG+GE=3+3=6,
13、E(6,0).综上,存在符合题意的点E,其坐标为(4,0),(6,0).评析评析本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题,全等三角形的判定与性质,反比例函数中比例系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,有一定难度.利用数形结合与分类讨论的思想是解题的关键.1.(2019天津,10,3分)若点A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2y1y3B.y3y1y2C.y1y2y3D.y3y2y112xB组20152019年全国中考题组考点一反比例函数的概念、图象与性质答案答案B将A(-3,y1),B(-2,y2
14、),C(1,y3)分别代入反比例函数y=-中,得y1=-=4,y2=-=6,y3=-=-12,所以y3y10),因为当x=2时,y=20,所以k=40,y=(x0),故选C.kx40 x4.(2017天津,10,3分)若点A(-1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y2y3y1C.y3y2y1D.y2y1y33x答案答案B-30,在第四象限内,y随x的增大而增大,13,y2y30,y2y3y1,故选B.解题关键解题关键掌握反比例函数的增减性是解题的关键.5.(2018江西,6,3分)在平面直角坐标系中,分别过
15、点A(m,0),B(m+2,0)作x轴的垂线l1和l2,探究直线l1,直线l2与双曲线y=的关系,下列结论中的是()A.两直线中总有一条与双曲线相交B.当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等C.当-2m0时,两直线与双曲线的交点在y轴两侧D.当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的最短距离是23x错误答案答案D由于m、m+2不同时为零,所以两直线中总有一条与双曲线相交,选项A中结论正确.当m=1时,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0),当x=1时,y=3,直线l1与双曲线的交点坐标为(1,3);当x=3时,y=1,直线l2与双曲线的交点坐标为(3,1).=,当m=1时,两直线
16、与双曲线的交点到原点的距离相等,选项B中结论正确.当-2m0时,0m+20,x0)的图象上,横坐标分别为1,4,对角线BDx轴.若菱形ABCD的面积为,则k的值为()A.B.C.4D.5kx45254154答案答案D连接AC,设AC与BD、x轴分别交于点E、F.已知A、B的横坐标分别为1,4,BE=3,BD=6.四边形ABCD为菱形,S菱形ABCD=ACBD=,AC=,AE=.设点B的坐标为(4,m),则A点坐标为.点A、B都在函数y=的图象上,12452152154151,4mkx4m=1,m=.B点的坐标为,k=5,故选D.154m5454,4思路分析思路分析根据A、B的横坐标求出BD的长
17、,利用菱形的面积公式求出AC的长,设点B的坐标为(4,m),用m表示出点A的坐标.利用反比例函数图象上点的横、纵坐标乘积为k构造方程求出m的值,进而求出k的值.151,4m7.(2019北京,13,2分)在平面直角坐标系xOy中,点A(a,b)(a0,b0)在双曲线y=上,点A关于x轴的对称点B在双曲线y=上,则k1+k2的值为.1kx2kx答案答案0解析解析点A(a,b)(a0,b0)在双曲线y=上,k1=ab.点B与点A关于x轴对称,点B坐标为(a,-b),同理有k2=-ab.k1+k2=0.1kx解题关键解题关键解决本题的关键是通过表示对称点的坐标求出k1和k2与ab的关系,进而化简得到
18、答案.8.(2019陕西,13,3分)如图,D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4),B(6,0).若一个反比例函数的图象经过点D,交AC于点M,则点M的坐标为.答案答案3,42解析解析点D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4),B(6,0),点D是AB的中点,点D的坐标为(3,2),设反比例函数解析式为y=(k0),把(3,2)代入得k=6.点M的纵坐标与点A的纵坐标相同,为4,令4=,得x=,点M的坐标为.kx6x323,42思路分析思路分析首先根据矩形的对称性求出点D的坐标为(3,2),进而求出反比例函数解析式,最后根据点M的纵坐标与点A的纵坐标相同,求出点M的坐标.方法指导方法指导解答
19、反比例函数与几何图形相结合问题的常用方法是由点的坐标求相关线段的长度,根据相关线段的长度求点的坐标.9.(2018陕西,13,3分)若一个反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),则这个反比例函数的表达式为.答案答案y=4x解析解析设反比例函数的表达式为y=(k0),反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),k=m2=-2m,解得m1=-2,m2=0(舍去),k=4,反比例函数的表达式为y=.kx4x方法指导方法指导本题考查的是反比例函数图象上点的坐标的特点,熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键.10.(2019吉林,17,5分)已知y是x的反比例函数,并且当
20、x=2时,y=6.(1)求y关于x的函数解析式;(2)当x=4时,求y的值.解析解析(1)设y=(k0).(1分)因为x=2时,y=6,所以6=,(2分)解得k=12.因此y=.(3分)(2)把x=4代入y=,得y=3.(5分)kx2k12x12x1241.(2019重庆A卷,9,4分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线BDx轴,反比例函数y=(k0,x0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),D(0,4),则k的值为()A.16B.20C.32D.40kx考点二反比例函数的综合应用答案答案B点D(0,4),DBx轴,点B的纵坐标为4,设点B
21、的坐标为(a,4).由点A(2,0),点D(0,4)可知OA=2,OD=4,AD=,AB=,DB=a.四边形ABCD是矩形,DAB=90.在RtDAB中,DA2+AB2=DB2,()2+2=a2,解得a=10.点B的坐标为(10,4).四边形ABCD是矩形,点E为DB的中点.点E的坐标为(5,4).将点E(5,4)代入y=中,得k=20,故选B.22242022(2)4a2022(2)4akx思路分析思路分析由DBx轴,可得点B的纵坐标和点D的纵坐标相同,故可设点B(a,4).在RtDAB中,可用勾股定理列出关于a的方程,解得a的值.由于点E为DB的中点,故可求出点E的坐标,将点E的坐标代入y
22、=中,便可求出k的值.kx2.(2017甘肃兰州,11,4分)如图,反比例函数y=(x0)与一次函数y=x+4的图象交于A,B两点,A,B两点的横坐标分别为-3,-1,则关于x的不等式x+4(x0)的解集为()A.x-3B.-3x-1C.-1x0D.x-3或-1x0kxkx答案答案B由题意知A,B两点既在一次函数y=x+4的图象上,又在反比例函数y=(x0)的图象上,当x-3时,反比例函数y=(x0)的图象在一次函数y=x+4图象的上方;当-3x-1时,反比例函数y=(x0)的图象在一次函数y=x+4图象的下方;当-1x0时,反比例函数y=(x0)相交于点A,点B,过点A作ACy轴,垂足为C.
23、连接BC.若ABC的面积为8,则k=.kx答案答案8解析解析设点A(a,b)(a0,b0),则点B(-a,-b),所以AC=a,点B到直线AC的距离是2b,则SABC=a2b=ab=8,将点A的坐标代入反比例函数表达式可得k=ab=8.12思路分析思路分析由反比例函数的性质易知点A与点B关于原点对称,可设点A(a,b),则点B(-a,-b),然后根据ABC的面积为8可求ab,将点A的坐标代入反比例函数表达式可得k=ab,问题解决.4.(2019河南,21,10分)模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,
24、过程如下:(1)建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得xy=4,即y=;由周长为m,得2(x+y)=m,即y=-x+,满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.(2)画出函数图象函数y=(x0)的图象如图所示,而函数y=-x+的图象可由直线y=-x平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x.4x2m4x2m(3)平移直线y=-x,观察函数图象当直线平移到与函数y=(x0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长m的值为;在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.(4)得出结论4x若能生产出面积为4的矩形模具,则周
25、长m的取值范围为.解析解析(1)一.(1分)(2)如图.(3分)(3)8.(4分)把点(2,2)代入y=-x+得2=-2+,解得m=8.2m2m在直线平移过程中,交点个数还有0个,2个两种情况.当有0个交点时,周长m的取值范围是0m8.(8分)(4)m8.(10分)解题关键解题关键本题为运用函数图象解决实际问题型题目,理解函数图象的意义以及图象的性质是根本,根据直线与双曲线的交点以及交点的个数确定m的值及其取值范围是解题关键.5.(2019贵州贵阳,22,10分)如图,已知一次函数y=-2x+8的图象与坐标轴交于A,B两点,并与反比例函数y=的图象相切于点C.(1)切点C的坐标是;(2)若点M
26、为线段BC的中点,将一次函数y=-2x+8的图象向左平移m(m0)个单位后,点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y=的图象上时,求k的值.8xkx解析解析(1)令-2x+8=,得x2-4x+4=0(x0),解得x1=x2=2,则y=4,切点C的坐标为(2,4).故填(2,4).(2)由(1)可知C(2,4),直线y=-2x+8与x轴交于点B,B(4,0),线段BC的中点M(3,2).直线AB向左平移m(m0)个单位,点C平移后的对应点的坐标为(2-m,4),点M平移后的对应点的坐标为(3-m,2),平移后的对应点同时落在反比例函数y=的图象上,解得k的值是4.8xkx2(3),4(
27、2),mkmk1,4.mk思路分析思路分析(1)联立两个解析式求出点C的坐标;(2)首先求出平移后点C和点M对应点的坐标(用含m的代数式表示横坐标),然后根据两点落在另一反比例函数图象上列出二元一次方程组,求出m和k的值.方法指导方法指导本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键.1.(2018辽宁沈阳,9,2分)点A(-3,2)在反比例函数y=(k0)的图象上,则k的值是()A.-6B.-C.-1D.6kx32C组教师专用题组考点一反比例函数的概念、图象与性质答案答案A把点A(-3,2)代入y=,得2=,k=-6.kx3k2.(2018天津,9,
28、3分)若点A(x1,-6),B(x2,-2),C(x3,2)在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是()A.x1x2x3B.x2x1x3C.x2x3x1D.x3x20,此函数的图象在一、三象限,在每一象限内y随x的增大而减小.y1y20y3,x2x1x3.故选B.12x3.(2015江苏苏州,6,3分)若点A(a,b)在反比例函数y=的图象上,则代数式ab-4的值为()A.0B.-2C.2D.-62x答案答案B因为点A(a,b)在反比例函数y=的图象上,所以b=,即ab=2,因此ab-4=-2,故选B.2x2a4.(2016宁夏,8,3分)如图,正比例函数y1=k1x的图象与反
29、比例函数y2=的图象相交于A,B两点,其中点B的横坐标为-2,当y1y2时,x的取值范围是()A.x2B.x-2或0 x2C.-2x0或0 x2D.-2x22kx答案答案B因为点A,B是y1=k1x的图象与y2=的图象的交点,所以两点关于原点对称.因为点B的横坐标为-2,所以点A的横坐标为2.由题图知,当y1y2时,x-2或0 x0)的图象恰好经过点C,则k的值为.kx答案答案16解析解析过点D作DEAB于点E,则AD=5,四边形ABCD为菱形,CD=5,C(4,4),将C点坐标代入y=得4=,k=16.kx4k7.(2017甘肃兰州,16,4分)若反比例函数y=的图象过点(-1,2),则k=
30、.kx答案答案-2解析解析点(-1,2)在反比例函数y=的图象上,2=,解得k=-2.kx1k8.(2018安徽,13,5分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2,m),ABx轴于点B.平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是.6x解析解析将点A的坐标代入y=,可得m=3,将A(2,3)代入y=kx,可得k=,因为ABx轴,所以点B(2,0),由平移可得直线l对应的函数表达式为y=(x-2)=x-3.6x323232答案答案y=x-332思路分析思路分析先把点A的坐标代入y=得m的值,然后求k的值,由ABx轴得点B的坐标,从而由平移及直线
31、l过点B得直线l对应的函数表达式.6x9.(2016广西南宁,17,3分)如图所示,反比例函数y=(k0,x0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D,若矩形OABC的面积为8,则k的值为.kx答案答案2解析解析设D(xD,yD),xD0,yD0,过D分别作DEOA,DFOC,则DF=xD,DE=yD,且DFOA,DEOC,点D为AC的中点,OA=2DF=2xD,OC=2DE=2yD.矩形OABC的面积等于8,OAOC=8,即2xD2yD=8,xDyD=2.又点D在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,k=xDyD=2.kx10.(2015浙江杭州,15,4分)在平面直角坐标系中,O为坐标
32、原点,设点P(1,t)在反比例函数y=的图象上,过点P作直线l与x轴平行,点Q在直线l上,满足QP=OP,若反比例函数y=的图象经过点Q,则k=.2xkx答案答案2+2或2-255解析解析点P(1,t)在反比例函数y=的图象上,t=2.P(1,2).OP=.过点P作直线l与x轴平行,点Q在直线l上,满足QP=OP,Q点坐标为(1+,2)或(1-,2).反比例函数y=的图象经过点Q,当Q点坐标为(1+,2)时,k=(1+)2=2+2;当Q点坐标为(1-,2)时,k=(1-)2=2-2.2x21555kx55555511.(2019四川成都,19,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y
33、=x+5和y=-2x的图象相交于点A,反比例函数y=的图象经过点A.(1)求反比例函数的表达式;(2)设一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=的图象的另一个交点为B,连接OB,求ABO的面积.12kx12kx解析解析(1)由解得点A的坐标为(-2,4).把(-2,4)代入y=中,得4=,k=-8.反比例函数的表达式为y=.(2)由解得B(-8,1),直线BO的解析式为y=-x.过点A作ACx轴交BO于点C,则yC=,15,22 ,yxyx 2,4.xy kx2k8x15,28,yxyx112,4,xy 228,1.xy 1814SABO=AC(xO-xB)=(0+8)=15.12121441
34、2.(2018河南,18,9分)如图,反比例函数y=(x0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;矩形的面积等于k的值.kx解析解析(1)点P(2,2)在反比例函数y=(x0)的图象上,=2,即k=4.反比例函数的解析式为y=.(3分)(2)(答案不唯一,正确画出两个矩形即可)(9分)举例:如图,矩形OAPB,矩形OPCD.kx2k4x13.(2016湖北武汉,20,8分)已知反比例函数y=.(1)若该反比例函数的图象与直线y=kx+
35、4(k0)只有一个公共点,求k的值;(2)如图,反比例函数y=(1x4)的图象记为曲线C1,将C1向左平移2个单位长度,得曲线C2.请在图中画出C2,并直接写出C1平移至C2处所扫过的面积.4x4x解析解析(1)由得kx2+4x-4=0(k0).(2分)反比例函数的图象与直线只有一个公共点,=16+16k=0,k=-1.(4分)(2)曲线C2如图.(6分)4,4yxykxC1平移至C2处扫过的面积为6个平方单位.(8分)1.(2019江西,5,3分)已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4),下列说法正确的是()A.反比例函数y2的解析式是y2=-B.两个函数图象的另一
36、交点坐标为(2,-4)C.当x-2或0 x2时,y1y2D.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大8x考点二反比例函数的综合应用答案答案C设反比例函数的解析式为y2=,k0,将点A(2,4)代入,得4=,k=8,所以反比例函数的解析式为y2=,故A选项错误;易知反比例函数图象和正比例函数图象的交点关于原点中心对称,所以另一个交点坐标为(-2,-4),故B选项错误;y1和y2的大致图象如图:结合函数图象,可知当x-2或0 x2时,y1y2,故C选项正确;由反比例函数图象可得,在每个象限内,y2随x的增大而减小,故D选项错误.故选C.kx2k8x2.(2019湖北武汉,8,3分)已知反比
37、例函数y=的图象分别位于第二、第四象限,A(x1,y1),B(x2,y2)两点在该图象上.下列命题:过点A作ACx轴,C为垂足,连接OA,若ACO的面积是3,则k=-6;若x10y2;若x1+x2=0,则y1+y2=0.其中真命题个数是()A.0B.1C.2D.3kx答案答案D由题意可知=3,k0,k=-6,正确;当x0,当x0时,y0,x10y2,正确;当x1=-x2时,y1=-y2,正确.故选D.|2k思路分析思路分析本题需要借助反比例函数的图象的几何意义和对称性解决.解题关键解题关键解决本题的关键是要理解反比例函数的几何意义.同时对于可以根据反比例函数图象的中心对称性来解释.3.(201
38、8湖北黄冈,19,6分)如图,反比例函数y=(x0)的图象过点A(3,4),直线AC与x轴交于点C(6,0),过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.(1)求k的值与B点的坐标;(2)在平面内有点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合条件的所有D点的坐标.kx解析解析(1)反比例函数y=(x0)的图象过点A(3,4),=4,k=12,反比例函数的解析式为y=.由题意易知点B的横坐标为6,点B在反比例函数y=(x0)的图象上,y=2,即点B的纵坐标为2.点B的坐标为(6,2).(2)如图,以A,B,C,D四点为顶点的平行四边形有3种情况,分别是 ABCD1, A
39、CBD2和 ABD3C,根据平行四边形的性质易得D1(3,2),D2(3,6),由(1)知线段BC的中点坐标为(6,1),该点是线段AD3的中点,所以点D3的坐标为(9,-2).故D点的坐标为(3,2)或(3,6)或(9,-2).kx3k12x12x1264.(2017湖北武汉,22,10分)如图,直线y=2x+4与反比例函数y=的图象相交于A(-3,a)和B两点.(1)求k的值;(2)直线y=m(m0)与直线AB相交于点M,与反比例函数y=的图象相交于点N,若MN=4,求m的值;(3)直接写出不等式x的解集.kxkx65x解析解析(1)点A(-3,a)在直线y=2x+4上,a=2(-3)+4
40、=-2.点A(-3,-2)在y=的图象上,k=6.(2)点M是直线y=m与直线AB的交点,M.点N是直线y=m与反比例函数y=的图象的交点,N.MN=xN-xM=-=4或MN=xM-xN=-=4,解得m=2或m=-6或m=64,m0,m=2或m=6+4.kx4,2mm6x6,mm6m42m42m6m33(3)x-1或5x0求出m的值;(3)求出函数y=x的图象和函数y=的图象的交点横坐标,借助图象求出x的解集.kx65x65x5.(2016重庆,22,10分)在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a0)的图象与反比例函数y=(k0)的图象交于第二、第四象限内的A、B两点,与y轴交于C点.过
41、点A作AHy轴,垂足为H,OH=3,tanAOH=,点B的坐标为(m,-2).(1)求AHO的周长;(2)求该反比例函数和一次函数的解析式.kx43解析解析(1)AHy轴于H,AHO=90.tanAOH=,OH=3,AH=4.(2分)在RtAHO中,OA=5.(4分)AHO的周长为3+4+5=12.(5分)(2)由(1)知,点A的坐标为(-4,3),点A在反比例函数y=(k0)的图象上,3=.k=-12.反比例函数的解析式为y=-.(7分)点B(m,-2)在反比例函数y=-的图象上,-=-2,m=6.点B的坐标为(6,-2).(8分)AHOH4322AHOH2243kx4k12x12x12m点
42、A(-4,3),B(6,-2)在一次函数y=ax+b(a0)的图象上,解这个方程组,得一次函数的解析式为y=-x+1.(10分)43,62,abab 1,21.ab 126.(2018河北,26,11分)如图是轮滑场地的截面示意图,平台AB距x轴(水平)18米,与y轴交于点B,与滑道y=(x1)交于点A,且AB=1米.运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后,从A处向右下飞向滑道,点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力,实验表明:M,A的竖直距离h(米)与飞出时间t(秒)的平方成正比,且t=1时h=5;M,A的水平距离是vt米.(1)求k,并用t表示h;(2)设v=5.用t表示点M的横坐标x
43、和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范围),及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离;(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出,速度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距x轴1.8米,且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时,直接写出t的值及v乙的范围.kx解析解析(1)由题意,得点A的坐标为(1,18),代入y=,得18=,k=18;设h=at2(a0),把t=1,h=5代入,得a=5,h=5t2.(2)v=5,AB=1,x=5t+1;h=5t2,OB=18,y=-5t2+18;由x=5t+1,得t=(x-1).y=-(x-1)2+18或y=-x2+x+;当y=13时,13=-(x-1)2+18,解
44、得x=6或-4.x1,只取x=6.把x=6代入y=,得y=3.运动员与正下方滑道的竖直距离是13-3=10(米).kx1k151515258951518x(3)t=1.8;v乙7.5.【注:下面是(3)的一种解法:把y=1.8代入y=-5t2+18,得t2=3.24,t=1.8(舍去负值).从而x=10.甲为(10,1.8),恰好落在滑道y=上,此时乙为(1+1.8v乙,1.8).由题意,得1+1.8v乙-(1+51.8)4.5,v乙7.5】8125即18x思路分析思路分析(1)把点A的坐标代入y=得出k值,设h=at2(a0),利用待定系数法即可求解;(2)根据题意分别用t表示x、y,再把t
45、=(x-1)代入消去t得y与x之间的关系式,令13=-(x-1)2+18,解得x=6(舍去负值),进一步把x=6代入y=求出y=3,最后求得运动员与正下方滑道的竖直距离;(3)求出甲距x轴1.8米时的横坐标及用v乙表示的乙距x轴1.8米时的横坐标,根据题意列出不等式求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙的范围.kx151518x解题关键解题关键本题是函数的综合题,准确理解题意,梳理所涉及的变量,并熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.方法指导方法指导利用二次函数解决实际问题:1.根据题目中直接给出或间接给出的变量关系得到符合题意的二次函数解析式;2.二次函数的应用题往往最终转化为计算函数值或
46、自变量的值来解答.7.(2017吉林,22,7分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与函数y=(x0)的图象交于点A(m,2),B(2,n).过点A作AC平行于x轴交y轴于点C,在y轴负半轴上取一点D,使OD=OC,且ACD的面积是6,连接BC.(1)求m,k,n的值;(2)求ABC的面积.kx12解析解析(1)点A的坐标为(m,2),AC平行于x轴,OC=2,ACy轴,OD=OC,OD=1.CD=3.ACD的面积是6,CDAC=6.AC=4.(2分)m=4.(3分)点A(4,2)在y=的图象上,k=42=8.(4分)点B(2,n)在y=的图象上,n=4.(5分)(2)如图,过点B作BEAC于
47、点E,则BE=2.(6分)1212kx8xSABC=ACBE=42=4.ABC的面积为4.(7分)12128.(2015内蒙古呼和浩特,23,7分)如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(8,y),ABx轴于点B,sinOAB=,反比例函数y=的图象的一支经过AO的中点C,且与AB交于点D.(1)求反比例函数的解析式;(2)若函数y=3x与y=的图象的另一支交于点M,求OMB与四边形OCDB的面积的比.45kxkx解析解析(1)A点的坐标为(8,y),OB=8.sinOAB=,OA=8=10,则AB=6.C是OA的中点,且在第一象限,C(4,3).y=的图象过点C,3=,k=12.反比例函数的
48、解析式为y=.(2分)(2)解方程组得M(-2,-6).(3分)SOMB=OB|-6|=86=24,S四边形OCDB=SOBC+SBCD=12+BD4.(5分)4554kx4k12x3 ,12,yxyx112,6,xy222,6.xy 121212D在双曲线上,且D点横坐标为8,D,即BD=,S四边形OCDB=12+3=15,=.(7分)38,232OMBOCDBSS四边形859.(2017甘肃兰州,24,7分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3交y轴于点A,交反比例函数y=(x0)的图象于点D,y=(x0)的图象过矩形OABC的顶点B,矩形OABC的面积为4,连接OD.(1)求
49、反比例函数y=的表达式;(2)求AOD的面积.kxkxkx解析解析(1)由题意知S矩形OABC=|k|=4,k=4.(1分)又反比例函数的图象位于第二象限,k=-4.(2分)反比例函数的表达式为y=-.(3分)(2)y=-x+3的图象交y轴于点A,A(0,3),OA=3.联立又x0)相交于点P(2,4).已知点A(4,0),B(0,3),连接AB,将RtAOB沿OP方向平移,使点O移动到点P,得到APB.过点A作ACy轴交双曲线于点C.(1)求k1与k2的值;(2)求直线PC的表达式;(3)直接写出线段AB扫过的面积.2kx解析解析(1)点P(2,4)在射线y=k1x(x0)与双曲线y=(x0
50、)上,4=2k1,4=,解得k1=2,k2=8.(2分)(2)点O(0,0)经过平移得到对应点P(2,4),RtAOB先向右平移2个单位,再向上平移4个单位可得RtAPB.A(4,0)经平移得A(6,4).(4分)ACy轴,交双曲线于点C,点C的横坐标为6,当x=6时,y=,C.(5分)设直线PC的表达式为y=kx+b,k0,则有解得直线PC的表达式为y=-x+.(6分)2kx22k864346,342,46,3kbkb2,316,3kb 23163(3)22.(8分)以下解法供参考:解法一:连接BB,AA,由平移得APB AOB,则有S ABBA=S OBBP+S OAAP=32+44=22
