1、第 7 课时一元二次方程及其应用第二单元方程(组)与不等式(组)考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式:图7-12.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0 x= ;(其中ac0)开方后取正负两个值配方法配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数(续表)方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a0)的解为x= 前提条件:判别式0;等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a0)(m1x+n1)(m2x+n2)=0m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解考点二一元
2、二次方程根的判别式、根与系数的关系1.判别式与根的关系(1)b2-4ac0方程有 的实数根;(2)b2-4ac=0方程有 的实数根; (3)b2-4ac0,b0,=k2-4b0,方程有两个不相等的实数根, 故选:A.答案 D3.2019邵阳若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是.答案 0解析一元二次方程有两个不相等的实数根,=4+4m0,解得m-1,故答案为0.4. 2019衡阳关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一
3、个相同的根,求此时m的值.4. 2019衡阳关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.考向四一元二次方程根与系数的关系(选讲)例5 已知关于x的方程x2+2x-2m+1=0的两个实数根分别为x1,x2,则(1)x1+x2=()A.2B.-2C.-2m+1D.2m-1(2)x1x2= ()A.2B.-2C.-2m+1D.2m-1(3)若方程的两实数根之积为负,则m的取值范围是. (4)是否存在实数m使得两个实根的平方和等于7?若存在,请求出m的值;若不存在,请
4、说明理由.BC例5 已知关于x的方程x2+2x-2m+1=0的两个实数根分别为x1,x2,则(4)是否存在实数m使得两个实根的平方和等于7?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.| 考向精练 |解:(1)关于x的方程x2-2x+2k-1=0有实数根,b2-4ac0,(-2)2-4(2k-1)0,k1.考向五一元二次方程的应用例6 2019长沙近日,长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批、第三批公益课受
5、益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?角度1增长率问题解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.解:(2)2.42(1+0.1)=2.662(万人次).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.例6 2019长沙近日,长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(2)按
6、照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?角度2利润问题例7 2019东营为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,则每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?解:设降价后的销售单价为x元,根据题意得:(x-100)300+5(200-x)=32000.整理得:(x-100)(1300-5x)=32000,即x2-360 x+324
7、00=0,解得x1=x2=180,x=1809,不合题意,舍去,x=1.答:小路的宽应为1 m.3. 2019徐州如图7-4,有一矩形的硬纸板,长为30 cm,宽为20 cm,在其四个角各剪去一个相同的小正方形,然后把四周的矩形折起,可做成一个无盖的长方体盒子,当剪去的小正方形的边长为何值时,所得长方体盒子的底面积为200 cm2?图7-4解:设剪去的小正方形的边长为x cm.根据题意有(30-2x)(20-2x)=200,解得x1=5,x2=20,当x=20时,30-2x0,20-2x0,所以x=5.答:当剪去的小正方形的边长为5 cm时,长方体盒子的底面积为200 cm2.4. 2018盐
8、城一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天的销售数量为件; (2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?26解:(2)设当每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.由题意,得(40-x)(20+2x)=1200,整理,得x2-30 x+200=0,解得x1=10,x2=20.又每件盈利不少于25元,x=20不合题意舍去.答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.5.
9、2017眉山 东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润为10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,则此批次蛋糕属第几档次产品?(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,则该烘焙店生产的是第几档次的产品?解:(1)设此批次蛋糕属第x档次产品,则10+2(x-1)=14,解得x=3.答:此批次蛋糕属第3档次产品.5.2017眉山 东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润为10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,则该烘焙店生产的是第几档次的产品?解: (2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品.根据题意,得10+2(x-1)76-4(x-1)=1080,解得x1=5,x2=11(舍去).答:该烘焙店生产的是第5档次的产品.
