1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 3 4 函数 y Asin(x )的图象及应用 知识梳理 1 “ 五点法 ” 作函数 y Asin(x )(A0， 0)的简图 “ 五点法 ” 作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示 (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到 y Asin(x )在一个周期内的图象 (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得 y Asin(x )在 R 上的图象 2函数 y sinx 的图象经变换得到 y Asin(x )(A0， 0)的图象的步骤如下： =【 ;精品教育资源文库
2、】 = 诊断自测 1概念思辨 (1)将函数 y 3sin2x 的图象左移 4 个单位长度后所得图象的解析式是 y3sin? ?2x 4 .( ) (2)利用图象变换作图时 “ 先平移，后伸缩 ” 与 “ 先伸缩，后平移 ” 中平移的长度一致 ( ) (3)函数 y Acos(x )的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T2.( ) (4)由 图象求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A4P57T1)为了得到函数 y sin? ?2x 3 的图象，只需把函数
3、y sin2x 的图象上所有的点 ( ) A向左平行移动 3 个单位长度 B向右平行移动 3 个单位长度 C向左平行移动 6 个单位长度 D向右平行 移动 6 个单位长度 答案 D 解析 y sin? ?2x 3 可变形为 y sin? ?2? ?x 6 ，所以将 y sin2x 的图象向右平行移动 6 个单位长度即可，故选 D. (2)(必修 A4P70T18)函数 f(x) sinxcosx 32 cos2x 的最小正周期和振幅分别是 ( ) A ， 1 B ， 2 C 2 ， 1 D 2 ， 2 答案 A 解析 由 f(x) sinxcosx 32 cos2x 12sin2x 32 co
4、s2x sin? ?2x 3 ，得最小正周期为 ，振幅为 1，故选 A. 3小题热身 (1)(2017 柳州模拟 )若函数 y sin(x )( 0)的部分图象如图，则 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 5 B 4 C 3 D 2 答案 B 解析 由图象可知， T2 x0 4 x0 4 ，即 T 2 2 ，故 4.故选 B. (2)(2018 成都检测 ) 为了得到函数 y sin(x 1)的图象，只需把函数 y sinx 的图象上所有的点向 _平移 _个单位长度 为了得到函数 y sin(2x 1)的图象，只需把函数 y sin2x 的图象上所有的点向_平移 _个单位长度 答案
5、左 1 左 12 题型 1 函数 y Asin(x )的图象 典例 (2015 湖北高考 )某同学用 “ 五点法 ” 画函数 f(x) Asin(x )? ? 0， | |0)个单位长度，得到 y g(x)的图象若 y g(x)图象的一个对称中心为 ? ?512 ， 0 ，求 的最小值 用五点法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)根据表中已知数据，解得 A 5， 2， 6.数据补全如下表： x 0 错误 ! 32 2 x 12 错误 ! 712 56 1312 Asin(x ) 0 5 0 5 0 且函数表达式为 f(x) 5sin? ?2x 6 . (2)由 (1)知 f(x) 5
6、sin? ?2x 6 ， 得 g(x) 5sin? ?2x 2 6 . 因为 y sinx 的对称中心为 (k ， 0)， k Z. 令 2x 2 6 k ， k Z，解得 x k2 12 ， k Z. 由于函数 y g(x)的图象关于点 ? ?512 ， 0 成中心对称，令 k2 12 512 ， k Z，解得 k2 3 ， k Z. 由 0 可知，当 k 1 时， 取得最小值 6. 方法技巧 函数 y Asin( x )(A0， 0)图象的作法 1五点法：用 “ 五点法 ” 作 y Asin(x )的简图如典例 2图象变换法：由函数 y sinx 的图象通过变换得到 y Asin(x )的
7、图象，有两种主要途径： “ 先平移后伸缩 ” 与 “ 先伸缩后平移 ” 冲关针对训练 (2018 济南模拟 )设函数 f(x) sinx 3cosx ( 0)的周期为 . (1)求它的振幅、初相； (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3)说明函数 f(x)的图象可由 y sinx 的图象经过怎样的变换而得 到的 解 (1)f(x) sinx 3cosx 2? ?12sinx 32 cosx 2sin? ?x 3 . 又 T ， 2 ，即 2. f(x) 2sin? ?2x 3 . 函数 f(x) sinx 3cosx 的振幅为 2，初相为 3. =【 ;精品教育资源文库
8、】 = (2)令 X 2x 3 ，则 y 2sin? ?2x 3 2sinX. 列表，并描点画出图象： (3)把 y sinx 的图象上所有的点向左平移 3 个单位长度，得到 y sin? ?x 3 的图象；再把 y sin? ?x 3 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍 (纵坐标不变 )，得到 ysin? ?2x 3 的图象；最后把 y sin( 2x 3 )上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变 )，即可得到 y 2sin? ?2x 3 的图象 题型 2 函数 y Asin(x )的图象与性质的综合应用 典例 (2018 滨州模拟 )已知向量 a (m， cos2x)，
9、 b (sin2x， n)，函数 f(x) ab ，且 y f(x)的图象过点 ? ?12， 3 和点 ? ?23 ， 2 . (1)求 m， n 的值； (2)将 y f(x)的图象向左平移 (00， 0)的方法 1求 A， B，已知函数的最大值 M 和最小值 m，则 A M m2 ， B M m2 . 2求 ，已知函数的周期 T，则 2T . 3求 ，常用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入 (此时， A， ， B 已知 )，或代入图象与直线 y b 的交点求解 (此时要注意交点在上升区间还是下降区间 ) (2)五点法：确定 值时，往往以寻找 “ 五点法 ” 中的第一个零点 ?
10、 ? ， 0 作为突破口 冲关针对训练 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2017 朝阳区模拟 )已知函数 y 2cos(x )? ?x R， 0， 0 2 的图象与 y轴相交于点 M(0， 3)，且该函数的最小正周期为 . (1)求 和 的值； (2)已知点 A? ? 2 ， 0 ，点 P 是该函数图象上一点，点 Q(x0， y0)是 PA 的中点，当 y0 32 ，x0 ? ? 2 ， 时，求 x0的值 解 (1)将 x 0， y 3代入函数 y 2cos(x )得 cos 32 . 0 2 ， 6. 由已知周期 T ，且 0， 2T 2 2. (2) Q(x0， y0)是 PA 的中点
11、，点 A? ? 2 ， 0 ， y0 32 ， 点 P 的坐标为 (2x0 2 ， 3. 又 点 P 在 y 2cos? ?2x 6 的图象上，且 x0 ? ? 2 ， ， 2cos? ?4x056 3，76 4 x056 196 ， 从而得 4x0 56 116 或 4x0 56 136 ， 解得 x0 23 或 34 . 1.(2017 全国卷 )已知曲线 C1： y cosx， C2： y sin? ?2x 23 ，则下面结论正确的=【 ;精品教育资源文库 】 = 是 ( ) A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2
12、B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线 C2 D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2 答案 D 解析 C2： y sin? ?2x 23 sin? ?2x 6 2 cos? ?2x 6 cos? ?2? ?x 12 ， 根据三角函数图象变换的规律，可得 D 正确故选 D. 2 (2016 全国卷 )若将函数 y 2sin2x 的 图象向左平移
13、 12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 ( ) A x k2 6(k Z) B x k2 6(k Z) C x k2 12(k Z) D x k2 12(k Z) 答案 B 解析 将函数 y 2sin2x 的图象向左平移 12个单位长度得到函数 y 2sin? ?2? ?x 12 2sin? ?2x 6 的图象，由 2x 6 k 2(k Z)，可得 x k2 6(k Z)则平移后图象的对称轴为 x k2 6(k Z)，故选 B. 3 (2016 北京高考 )将函数 y sin? ?2x 3 图象上的点 P? ? 4 ， t 向左平移 s(s0)个单位长度得到点 P. 若 P 位于函数 y s
14、in2x 的图象上，则 ( ) A t 12， s 的最小值为 6 B t 32 ， s 的最小值为 6 C t 12， s 的最小值为 3 D t 32 ， s 的最小值为 3 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 点 P? ? 4 ， t 在函数 y sin? ?2x 3 的图象上， t sin? ?2 4 3 12，所以 P? ? 4 ， 12 .将点 P 向左平移 s(s0)个单位长度是P ? ? 4 s， 12 .因为 P 在函数 y sin2x的图象上，所以 sin? ?2? ? 4 s 12(k Z)，即 cos2s 12，所以 2s 2k 3 或 2s 2k 53 ，即 s k 6 或 s k 56 (k Z)，又 s0，所以 s 的最小值为 6.故选 A. 4 (2017 湖北七市联考 )函数 f(x) Asin(x
