1、衢州、丽水、湖州衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷三地市教学质量检测试卷 参考解析（参考解析（2022.04） 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C C A B D C B 9 【解析】 ： 选项：11222 224mnmn， “=”取到时1mn， 解得1,0mn，与题设矛盾，故1224mn，无最小值. 选项：sin1nmnm恒成立，故 B 正确. 选项：12nmmn，14mn ，那么22221loglogloglog24mnmn ，C正确.
2、 选项：222222 122111nmnnnnmmnnnnnnn ，令2tn，则12t 则原式=2112 3333332 333ttttt， （“=”取到时3=t）D 正确. 综上故选 C. 10.【解析】 ：对于选项 A：若数列 na为单调递增数列，则1sin 20nnnaaa恒成立，得1，所以 A 错误. 对于选项 B：本选项是考查数列的极限，由不动点知识，对sin2xxx中令1x 得sin2 ，当sin2 带入不动点方程时，又可得1xk 或者12xk 所以取sin2 ，1,12u，所以由蛛网图可知 B 正确. 对于选项 C：要使得 na是周期2的周期数列，由递推关系图象可知，必需在该图象
3、上存在关于直线yx对称的两点，则递推函数图象与yxm 图象有两不同的交点，且两交点关于直线yx对称。 令函数 2sin2g xxxm， 而 2 2 c o s 20g xx ， 所以 g x是R上的单调递增函数，故不存在两个不同零点，即方程sin2xxxm 不可能有两不同的根，所以 C 错误. 对于选项 D：由递推可得2112sin2sin22nnnnnaaaaa，所以 D 错误. 二、二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分) 11. 120 12. 2，3a 13. 12，6 14. 35，45 15. 5，2 55 16. 132 17. 03
4、， 16. 【解析】 ： 由4acac， 可得c的轨迹为椭圆， 以, a b为, x y轴建系，则c的轨迹方程为22143xy. 其中1111122caabaabcababab，由题可得只需ACAB的最小，将点C关于直线1yx 对称可得点10,2D，故转化为求ADAB的最小，显然最小值为132. 17.【解析】 ：设 ()(2 )(3 )h xxa xa xa，则 23g xxaxaxah x， 则 2231211h xxaxa，解得1,2323xaa， 3122 39g xg xa 又因为当0,3xa， 122,3tfxfxxaxaa a. 此时问题转化为：若 2,3g tta a恒成立，则
5、32 329a ，解得03a. 三、三、解答题(本大题共 5 小题，18 题 14 分，其余各题 15 分，共 74 分) 18.已知函数 31sincos22f xxx，Rx. （I）求函数 f x的单调递增区间； （II）求函数 22332yf xfx的值域. 解： （） 31sincossin226f xxxx.-3 分 则22262kxk.-5 分 得22233kxk， ODCBAxy所以函数 f x的单调递增区间是22,233kk（Zk）.-7 分 （）22cos3s6in36yxx.-9 分 196 sincos66xx 196 2sin12x.-12 分 所以函数y的值域为196
6、 2196 2，.-14 分 19.如图，已知三棱台111ABCABC中，二面角1AACB的大小为60，点1A在平面ABC内的射影D在BC上，1=4AA AB ，130A AC，90BAC. （I）证明：AC 平面11AB D； （II）求直线1AB与平面11ACC A所成角的正弦值. 解： （）由90BAC可知ACAB, 又因为AB与11AB平行，所以11ACAB.3 分 因为1AD 平面ABC，所以1ADAC, 又因为1111ADABA,所以AC 平面11AB D.6 分 （）方法一：过D作DH垂直于AC交AC于H，连1AH,因为1AD 平面ABC，所以1DHA即为二面角1AACB的平面角
7、，所以1=60DHA.9 分 在1A AH中，14AA ,130A AC,可得12AH . 在1AHD中，13AD ,1DH . 在AHD中，13AD ,1sin13DAH, 在ABD中,因为90BAC,所以1cossin13DABDAH. 又因为4AB ,由余弦定理可得2222cos21BDADABAB ADDAB, C1B1A1ABCDHC1B1A1ABCD所以22112 6ABADBD.11 分 设点B到平面11ACC A的距离为h，直线1BA与平面11ACC A所成角为， 由11B AAHAAHBVV可得111133AA HABHShSAD， 所以=2 3h.13 分 所以12 32s
8、in22 6hBA.15 分 方法二：如图建立空间直角坐标系，则0,0,0A,4,0,0B, 因为1=4AA AB ,130 ,90A ACBAC,二面角1AACB的大小为60， 所以1,2 3,0D，11,2 3, 3A.9 分 设平面11ACC A的法向量为, ,zmx y，则 100m AAm AC可得2 3300 xyzy， 取z1 可得3,0, 1m .12 分 直线1BA与平面11ACC A所成角为， 则1112sincos,2BA mBA mBA m.15 分 20.已知等差数列 na的前n项和为nS，满足36a ，420S .数列 nb满足11b ， 2122111nnnbbn
9、，*Nn （I）求数列 na， nb的通项公式； （II） 设数列 nc满足11nnncSb，*Nn， 记数列 nc的前n项和为nT， 若111112nT ， 求n的最小值 zxyC1B1A1ABCD解： （I）由题可得：11264620adad， 解得122ad，所以2nan.-2 分 因此2nSnn.-4 分 231121nnnbbbbbbbb.-6 分 222222211112121222213111+=+nnnn .-8 分 （II）由（I）可得： 22111222nnnnnncSbnn.-9 分 111112212nnnnn 所以11111112+12221 21 2nnnnnnTn
10、 .-12 分 111112nT 即12112112nnn， 又因为 1212nnf nn，*Nn单调递减，且 16112f， 所以解12112112nnn得：6n ，故n的最小值为6.15 分 21.如图，拋物线22ypx（0p）上的点1,Am（0m）到其准线的距离为 2.过点3,2M作直线l交拋物线于B，C两点，直线AB与直线3yx交于点P （I）求证：直线PCy轴； （II）记ABC，PBC的面积分别为1S,2S 若1254SS，求直线AB的方程. yxOPCBAMg x = x + 3f y = 0.25y2解： （）由条件可知122p,得2p.-2分 故2m，即1,2A.-3分 且故
11、抛物线方程为24yx， 设直线AB的方程为21t yx， 则由2214t yxyx，得24840ytyt.-4分 有2=161024Btyt，所以221 ,42Btt且1t-5分 由213t yxyx，解得1 24,11ttPtt .-6 分 又,B M C共线，所以/ /MBMC, 又2442,44MBttt，23,24CCyMCy， 则 22442244304CCyttyt， 化简可得222144282080CCtyttytt， 解得241Ctyt或42Cyt（舍去） ，所以241CPtyyt. 因此PC y轴-8 分 （）由题意可知AM y轴,所以 因此112BCSAMyy.-9 分 2
12、124486242211tttttt .-11 分 212BCSPCyy.-12 分 22223243211244221111tttttttttt 所以321242 243541ttSSt.-13 分 解得0t或2t 因此所求AB的方程为10 x或1322yx.-15 分 【另解】 （）由条件可知122p,得2p.-2分 故2m，即1,2A.-3分 故抛物线方程为24yx， 设200,4yBy（02y） ，则直线AB方程为04212yxy.-4 分 由042123yxyyx，解得00006 212,22yyPyy.-6分 又,B M C共线， 所以/ /MBMC,又2003,24yMBy，23
13、,24CCyMCy，则22003232044CCyyyy， 解得002122Cyyy， 所以002122CPyyyy. 因此PC x轴-8 分 （）由题意可知AM y轴,所以 因此112BCSAMyy.-9 分 200000021241212222yyyyyy .-11 分 212BCSPCyy.-12 分 2220000003000041216621222222yyyyyyyyyy 所以32001240412542yySSy.-13 分 解得02y或06y 因此所求AB的方程为10 x或1322yx.-15 分 22已知函数 2ln2f xxax a （）若2a ，求函数 f x的极小值点
14、（）当0,2x时，讨论函数 f x的图象与函数222yaxa的图象公共点的个数，并证明你的结论 解： （）若2a ，函数 22ln0f xxx x， 21122=xxfxxxx2 分 由 0fx可得1x .4 分 当01x时， 0fx，函数 f x单调递减； 当1x 时， 0fx，函数 f x单调递增； 所以函数 f x的极小值点是1x 6 分 （）由2ln =222xaxaxa可得，2ln2220 xaxaxa 记 2ln222g xxaxaxa（0,2x） ， 则讨论函数 f x的图象与函数222yaxa的图象公共点的个数转化为讨论函数 g x零点的个数 2122 =xaxagxxaxx，
15、0,2x.8 分 （1）当02a即0a 时， 函数 g x在0,1上单调递减，在12，上单调递增， min11g xga 若 10g即10a ，则函数 g x在0,2没有零点 若 1 =0g即= 1a ，则函数 g x在0,2恰有一个零点 若 1 0g即1a ， 因为222211=110eeeag ，则函数 g x在0,1上有一个零点， 因为 2 =2+ ln2ga， 若 20g即2ln2a ，则函数 g x在12，上没有零点 若 20g即21ln2a ，则函数 g x在12，上有一个零点 所以当2ln2a 或= 1a 时，函数 g x在0,2只有一个零点； 当21ln2a 时，函数 g x在
16、0,2有两个零点； 当10a 时，函数 g x在0,2没有零点11 分 （2）当02a即02a时，函数 g x在0,2a上单调递增，在12a，上单调递减，在12，上单调递增则极小值 110ga ，所以函数 g x在,22a上没有零点 因为 102agg， 22222222e=ee2lne22aaaaaaaagaaa2222=ee2aaaaa 因为02a，所以220e12aaa ，所以22e0aag，则函数 g x在02a，上有且只有一个零点 所以当时02a函数 g x在0,2只有一个零点13 分 综上可知，当0,2x时，函数 f x的图象与函数222yaxa的图象公共点的个数情况如下： 当10a 时，没有交点； 当2ln2a 或= 1a 或02a时，只有一交点； 当21ln2a 时，有两个交点15 分
