1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 知识梳理 1直线的斜率 (1)当 90 时， tan 表示直线 l 的斜率，用 k 表示，即 k tan .当 90 时，直线 l 的斜率 k 不存在 (2)斜率公式 给定两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)(x1 x2)，经过 P1， P2两点的直线的斜率公式为 k y2 y1x2 x1. 2直线方程的五种形式 =【 ;精品教育资源文库 】 = 诊断自测 1概念思辨 (1)直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 .( ) (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 ( ) (3)经过点 P(x0， y0)的直
2、线都可以用方程 y y0 k(x x0)表示 ( ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程 (y y1)(x2 x1) (x x1)(y2 y1)表示 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A2P109A 组 T2)如果 A C0，在 y 轴上的截距 CB0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限故选 C. (2)(必修 A2P95T3)倾斜角为 150 ，在 y 轴上的截距为 3 的直线方程为 _ 答案 y 33 x 3 解析 由直线的倾斜角为 150 ，知该直线的斜率为 k tan150 33 ，依据
3、直线的斜截式方程 y kx b，得 y 33 x 3. 3小题热身 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)(2017 贵州模拟 )已知直线 l 经过点 P( 2,5)，且斜率为 34，则直线 l 的方程为( ) A 3x 4y 14 0 B 3x 4y 14 0 C 4x 3y 14 0 D 4x 3y 14 0 答案 A 解析 由点斜式方程知直线 l 的方程为 y 5 34(x 2)，即 3x 4y 14 0.故选 A. (2)已知直线 l： ax y 2 a 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是 ( ) A 1 B 1 C 2 或 1 D 2 或 1 答案 D 解析 当
4、a 0 时，直线方程为 y 2 0，不满足题意，所以 a0 ，所以在 x 轴上的截距为 2 aa ，在 y 轴上的截距为 2 a，则由 2 a 2 aa ，得 a 2 或 a 1.故选 D. 题型 1 直线的倾斜角与斜率 典例 直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)， B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为 _ 数形结合，由斜率公式求得 kPA， kPB. 答案 ( ， 3 1， ) 解析 如图， kAP 1 02 1 1， kBP 3 00 1 3， k ( ， 3 1， ) 方法技巧 求直线倾斜角与斜率问题的求解策略 1求直线倾斜角或斜率的取值范围时，
5、常借助正切函数 y tanx 在 0， ) 上的单调性=【 ;精品教育资源文库 】 = 求解，这里特别要注意，当 ? ?0， 2 时，斜率 k 0， ) ；当 2 时，斜率不存在；当 ? ? 2 ， 时，斜率 k ( ， 0) 2先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的直线的斜率见典例 冲关针对训练 已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P( 1,1)和 Q(2， 2)，若直线 l： x my m 0 与线段PQ 有交点，则实数 m 的取值范围是 _ 答案 23 m 12 解析 如图所示，直线 l： x my m 0 过定点 A(0， 1)，当 m0 时， kQA 32，
6、kPA 2， kl 1m， 1m 2 或 1m 32，解得 00， b0)，则 2a 1b 1. 又 2a 1b2 2ab?12ab4 ，当且仅当 2a 1b 12，即 a 4， b 2 时， AOB 面积 S 12ab有最小值为 4. 此时，直线 l 的方程是 x4 y2 1，即 x 2y 4 0. (2)设所求直线 l 的方程为 y 1 k(x 2) 则可得 A? ?2k 1k ， 0 ， B(0,1 2k)(k0， b0) 设直线 l 的方程为 xa yb 1，则 1a 1b 1， 所以 |OA| |OB| a b (a b)? ?1a 1b 2 ab ba2 2 ab ba 4， 当且
7、仅当 “ a b 2” 时取等号，此时直线 l 的方程为 x y 2 0. (2)设直线 l 的斜率为 k，则 k0， cos 0， sin cos 3 55 ， 由 解得? sin 2 55 ，cos 55 ， tan 2，即 l 的斜率为 2，故选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 (2018 江西南昌模拟 )已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y 2 x2相交于 A， B两点， O 为坐标原点，当 AOB 的面积取到最大值时，直线 l 的倾斜角为 ( ) A 150 B 135 C 120 D 105 答案 A 解析 由 y 2 x2得 x2 y2 2(y0) ，它表示
8、以原点 O 为圆心， 2为半径的圆的一部分，如图所示 由题意知直线 l 的斜率存在，设过点 P(2,0)的直线 l 的方程为 y k(x 2)，则圆心到此直线的距离 d |2k|1 k2，弦长 |AB| 2 2 ? ?|2k|1 k2 2 2 2 2k21 k2 ，所 以 S AOB12|2k|1 k222 2k21 k2 ?2k?2 2 2k22?1 k2? 1，当且仅当 (2k)2 2 2k2，即 k2 13时等号成立，结合图可知 k 33 ? ?k 33 舍去 ，故所求直线 l 的倾斜角为 150. 故选 A. 4 (2014 四川高考 )设 m R，过定点 A 的动 直线 x my 0
9、 和过定点 B 的动直线 mx y m 3 0 交于点 P(x， y)，则 |PA| PB|的最大值是 _ 答案 5 解析 易知 A(0,0)， B(1,3)，且 PA PB， |PA|2 |PB|2 |AB|2 10， |PA| PB| |PA|2 |PB|22 5(当且仅当 |PA| |PB| 5时取 “ ”) 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2018 朝阳模拟 )直线 x 3y 1 0 的倾斜角为 ( ) A. 6 B. 3 C.23 D.56 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 直线斜率为 33 ，即 tan 33 ， 0 ， 56 ，故选 D. 2 (2017
10、正定质检 )直线 xcos140 ysin40 1 0 的倾斜角是 ( ) A 40 B 50 C 130 D 140 答案 B 解析 将直线 xcos140 ysin40 1 0 化成 xcos40 ysin40 1 0，其斜率为 k cos40sin40 tan50 ，倾斜角为 50. 故选 B. 3 (2018 哈尔滨模拟 )函数 y asinx bcosx 的一条对称轴为 x 4 ，则直线 l： ax by c 0 的倾斜角为 ( ) A. 4 B. 3 C.23 D.34 答案 D 解析 由函数 y f(x) asinx bcosx 的一条对称轴为 x 4 知， f(0) f? ?
11、2 ，即 b a， 直线 l 的斜率为 1， 倾斜角为 34 .故选 D. 4 (2018 衡阳期末 )已知直线 PQ 的斜率为 3，将直线绕点 P 顺时针旋转 60 所得的直线的斜率为 ( ) A. 3 B 3 C 0 D 1 3 答案 A 解析 直线 PQ的斜率为 3，则直线 PQ的倾斜角为 120 ，所求直线的 倾斜角为 60 ，tan60 3.故选 A. 5在等腰三角形 AOB 中， AO AB，点 O(0,0)， A(1,3)，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直线 AB 的方程为 ( ) A y 1 3(x 3) B y 1 3(x 3) C y 3 3(x 1) D y 3 3(x 1) 答案 D 解析 因为 AO AB，所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数，所以 kAB kOA 3，所以直线 AB 的点斜式方程为 y 3 3(x 1)故选 D. 6 (2017 河南新乡一中周考 )若 m， n 满足 m 2n 1 0，则直线 mx 3y n 0 过定点 ( ) A.? ?12， 16 B.? ?12， 16
