1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 3 圆的方程 知识梳理 1圆的方程 标准方程： (x a)2 (y b)2 r2(r 0) 一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0) 2点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0， y0)与圆 C： (x a)2 (y b)2 r2之间存在着下列关系： 设 d 为点 M(x0， y0)与圆心 (a， b)的距离 (1)dr?M 在圆外，即 (x0 a)2 (y0 b)2r2?M 在 圆外 ； (2)d r?M 在圆上，即 (x0 a)2 (y0 b)2 r2?M 在 圆上 ； (3)d0)若圆 C 上存在点 P，使得 APB 90
2、，则 m 的最大值为 ( ) A 7 B 6 C 5 D 4 APB 90 ，点 P 在以 AB 为直径的圆上，求 m的最大值转化为求半径 |OP|的最大值 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为 (3,4)，半径 r 1，且 |AB| 2m，因为 APB 90 ，连接 OP，易知 |OP| 12|AB| m.要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离因为 |OC| 32 42 5，所以 |OP|max |OC| r 6，即 m 的最大值为6.故选 B. 方法技巧 求解与圆有关的最值问题的方法 1借助几何性
3、质求最值 处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解 (1)形如 y bx a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；见角度 1 典例 (2)形如 t ax by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题；见结论探究 1. (3)形如 (x a)2 (y b)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题见结论探究 2. 2建立函数关系式求最值 根据题中条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再根据函数知识、基本不等式求最值 冲关针对训练 1 (2018 福建师大附中联考 )已知圆 O 的半径为 1，
4、PA， PB 为该圆的两条切线， A， B为切点，那么 PA PB 的最 小值为 ( ) A 4 2 B 3 2 C 4 2 2 D 3 2 2 答案 D 解析 设 |PO| t，向量 PA 与 PB 的夹角为 ，则 |PA | |PB | t2 1， sin 2 1t， cos 1 2sin2 2 1 2t2， PA PB |PA |PB |cos (t2 1)? ?1 2t2 (t 1)， PA PB t2=【 ;精品教育资源文库 】 = 2t2 3(t 1)，利用基本不等式可得 PA PB 的最小值为 2 2 3，当且仅当 t 4 2时，取等号故选 D. 2已知圆 C1： (x 2)2
5、(y 3)2 1，圆 C2： (x 3)2 (y 4)2 9， M， N 分别是圆 C1，C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 |PM| |PN|的最小值为 ( ) A 5 2 4 B. 17 1 C 6 2 2 D. 17 答案 A 解析 圆 C1， C2的图象如图所示 设 P 是 x 轴上任意一点，则 |PM|的最小值为 |PC1| 1，同理， |PN|的最小值为 |PC2| 3，则 |PM| |PN|的最小值为 |PC1| |PC2| 4.作 C1关于 x轴的对称点 C 1(2， 3)，连接 C 1C2，与 x 轴交于点 P，连接 PC1，可知 |PC1| |PC2|的最小值为 |
6、C 1C2|，则 |PM| |PN|的最小值为 5 2 4.故选 A. 1.(2016 全国卷 )圆 x2 y2 2x 8y 13 0的圆心到直线 ax y 1 0的距离为 1，则 a ( ) A 43 B 34 C. 3 D 2 答案 A 解析 圆的方程可化为 (x 1)2 (y 4)2 4，则圆心坐标为 (1,4)，圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 |a 4 1|a2 1 1，解得 a 43.故选 A. 2 (2018 山东青岛一模 )已知两点 A(0， 3)， B(4,0)，若点 P 是圆 C： x2 y2 2y 0上的动点，则 ABP 的面积的最小值为 ( ) A 6 B.112
7、 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 8 D.212 答案 B 解析 x2 y2 2y 0可化为 x2 (y 1)2 1，则圆 C为以 (0,1)为圆心， 1为半径的圆如图，过圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P，连接 BP， AP，这时 ABP 的面积最小，直线 AB的方程为 x4 y 3 1，即 3x 4y 12 0，圆心 C 到直线 AB 的距离 d 165 ，又 AB 32 425， ABP 的面积的最小值为 125 ? ?165 1 112 .故选 B. 3 (2015 全国卷 )一个圆经过椭圆 x216y24 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为
8、_ 答案 ? ?x 32 2 y2 254 解析 由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点 A(4,0)， B(0， 2)， C(0， 2)，易知线 段AB 的垂直平分线的方程为 2x y 3 0.令 y 0，得 x 32，所以圆心坐标为 ? ?32， 0 ，则半径r 4 32 52.故该圆的标准方程为 ? ?x 32 2 y2 254 . 4 (2017 全国卷 )已知抛物线 C： y2 2x，过点 (2,0)的直线 l 交 C 于 A， B 两点，圆M 是以线段 AB 为直径 的圆 (1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4， 2)，求直线 l 与圆 M 的方程 解 (
9、1)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， l： x my 2， 由? x my 2，y2 2x 可得 y2 2my 4 0，则 y1y2 4. 又 x1 y212， x2y222，故 x1x2?y1y2?24 4. 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 y1x1 y2x2 44 1，所以 OA OB，故坐标原点 O 在圆=【 ;精品教育资源文库 】 = M 上 (2)由 (1)可得 y1 y2 2m， x1 x2 m(y1 y2) 4 2m2 4， 故圆心 M 的坐标为 (m2 2， m)， 圆 M 的半径 r ?m2 2?2 m2. 由于圆 M 过点 P(4， 2)，因此
10、 AP BP 0， 故 (x1 4)(x2 4) (y1 2)(y2 2) 0， 即 x1x2 4(x1 x2) y1y2 2(y1 y2) 20 0. 由 (1)可知 y1y2 4， x1x2 4， 所以 2m2 m 1 0， 解得 m 1 或 m 12. 当 m 1 时，直线 l 的方程为 x y 2 0，圆心 M 的坐标为 (3,1)，圆 M 的半径为 10， 圆 M 的方程为 (x 3)2 (y 1)2 10. 当 m 12时，直线 l 的方程为 2x y 4 0，圆心 M 的坐标为 ? ?94， 12 ，圆 M 的半 径为854 ， 圆 M 的方程为 ? ?x 94 2 ? ?y 1
11、2 2 8516. 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2017 豫北名校联考 )圆 (x 2)2 y2 4 关于直线 y 33 x 对称的圆的方程是 ( ) A (x 3)2 (y 1)2 4 B (x 2)2 (y 2)2 4 C x2 (y 2)2 4 D (x 1)2 (y 3)2 4 答案 D 解析 设圆 (x 2)2 y2 4 的圆心 (2,0)关于直线 y 33 x 对称的点的坐标为 (a， b)，则有? ba 2 33 1，b233 a 22 ，解得 a 1， b 3，从而所求圆的方程为 (x 1)2 (y 3)2 4.故选 D. 2 (2017 湖南长沙二模 )圆 x2
12、y2 2x 2y 1 0 上的点到直线 x y 2 距离的最大值是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 1 2 B 2 C 1 22 D 2 2 2 答案 A 解析 将圆的方程化为 (x 1)2 (y 1)2 1，圆心坐标为 (1,1)，半径为 1，则圆心到直线 x y 2 的距离 d |1 1 2|2 2，故圆上的点到直线 x y 2 距离的最 大值为 d 1 2 1，故选 A. 3已知点 P 在圆 x2 y2 5 上，点 Q(0， 1)，则线段 PQ 的中点的轨迹方程是 ( ) A x2 y2 x 0 B x2 y2 y 1 0 C x2 y2 y 2 0 D x2 y2 x y
13、 0 答案 B 解析 设 P(x0， y0)， PQ 中点的坐标为 (x， y)，则 x0 2x， y0 2y 1，代入圆的方程即得所求的方程是 4x2 (2y 1)2 5，化简得 x2 y2 y 1 0.故选 B. 4 (2018 山西运城模拟 )已知圆 (x 2)2 (y 1)2 16 的一条直径通过直线 x 2y 3 0 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为 ( ) A 3x y 5 0 B x 2y 0 C x 2y 4 0 D 2x y 3 0 答案 D 解析 直线 x 2y 3 0 的斜率为 12，已知圆的圆心坐标为 (2， 1)，该直径所在直线的斜率为 2，所以该直径所在的
14、直线方程为 y 1 2(x 2)，即 2x y 3 0，故选 D. 5 (2018 唐山期末 )若当方程 x2 y2 kx 2y k2 0 所表示的圆取得最大面积时，则直线 y (k 1)x 2 的倾 斜角 ( ) A.34 B. 4 C.32 D.54 答案 A 解析 将圆 x2 y2 kx 2y k2 0 化成标准方程，得 ?x k22 (y 1)2 1 3k24 ， 半径 r 满足 r2 1 3k24 ， 当圆取得最大面积时， k 0，半径 r 1. 因此直线 y (k 1)x 2 即 y x 2.得直线 的倾斜角 满足 tan 1， 直线的倾斜角 0， ) ， 34 .故选 A. 6若方程 16 x2 x m 0 有实数解，则实数 m 的取值范围 ( ) A 4 2 m4 2 B 4 m4 2
