1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 6 双曲线 知识梳理 1双曲线的定义 平面内与两个定点 F1， F2(|F1F2| 2c0)的距离的差的绝对值为常数 (小于 |F1F2|且不等于零 )的点的轨迹叫做 双曲线 这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 集合 P M|MF1| |MF2| 2a， |F1F2| 2c，其中 a， c 为常数且 a0， c0： (1)当 ac 时， P 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b2 1(a0， b0) y2a2x2b2 1(a0， b0) 图形 续表 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3必记结论 (1
2、)焦点到渐近线的距离为 b. (2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作： x2 y2 ( 0) (3)等轴双曲线 ?离心率 e 2?两条渐近线 y x 相互垂直 诊断自测 1概念思辨 (1)平面内到点 F1(0,4)， F2(0， 4)距离之差等于 6 的点的 轨迹是双曲线 ( ) (2)双曲线方程 x2m2y2n2 (m0， n0， 0) 的渐近线方程是x2m2y2n2 0，即xmyn0.( ) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) (4)若双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)与y2b2x2a2 1(a0， b0)的离心率分别是 e1
3、， e2，则1e211e22 1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线 ) ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) =【 ;精品教育资源文库 】 = 2教材衍化 (1)(选修 A1 1P53T3)已知椭圆 x28y25 1 和双曲线x2m y2 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 ( ) A x 36 y B y 36 x C x 22 y D y 22 x 答案 D 解析 由椭圆 x28y25 1 和双曲线x2m y2 1 有公共的焦点，得 m 1 8 5.所以 m 2，所以双曲线方程为 x22 y2 1，所以双曲线的渐近线方程为 y 22 x.故选 D. (2)(选修 A1 1P5
4、1例 3)已知中心在原点，焦点在 y轴的双曲线的渐近线方程为 y 12x，则此双曲线的离心率为 _ 答案 5 解析 因为焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 y 12x，所以 ab 12，即 b 2a.由 c2 a2 b2，得 c2 a2 4a2 5a2，即 c2a2 5，所以 eca 5. 3小题热身 (1)(2014 全国卷 )已知 F 为双曲线 C： x2 my2 3m(m0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 ( ) A. 3 B 3 C. 3m D 3m 答案 A 解析 由题意知，双曲线的标准方程为 x23my23 1，其中 a2 3m， b2 3，故 c a2 b2
5、 3m 3，不妨设 F 为双曲线的右焦点，故 F( 3m 3， 0)其中一条渐近线的方程为 y1m x，即 x my 0，由点到直线的距离公式可得 d| 3 m 1|1 ? m?2 3，故选 A. (2)(2016 山东高考 )已知双曲线 E： x2a2y2b2 1(a0， b0)若矩形 ABCD 的四个顶点在E 上， AB， CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB| 3|BC|，则 E 的离心率是 _ 答案 2 解析 由已知得 |AB| |CD| 2b2a ， |BC| |AD| |F1F2| 2c. 因为 2|AB| 3|BC|，所以 4b2a 6c， =【 ;精品教育资源文库 】
6、= 又 b2 c2 a2，所以 2e2 3e 2 0，解得 e 2 或 e 12(舍去 ) 题型 1 双曲线的定义及应用 典例 1 (2017 湖北武汉调研 )若双曲线x24y212 1 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上的动点， A(1,4)，则 |PF| |PA|的最小值是 ( ) A 8 B 9 C 10 D 12 利用双曲线定义得到 |PF| |PA| 2a |PB|PA|，再利用 |PA| |PB| AB|求出最小值 答案 B 解析 由题意知，双曲线 x24y212 1 的左焦点 F 的坐标为 ( 4,0)，设双曲线的右焦点为B，则 B(4,0)，由双曲线的定义知 |PF| |P
7、A| 4 |PB| |PA|4 |AB| 4?4 1?2 ?0 4?2 4 5 9，当且仅当 A， P， B 三点共线且 P 在 A， B 之间时取等号 |PF| |PA|的最小值为 9.故选 B. 典例 2 (2018 河北邯郸模拟 )设动圆 C 与两圆 C1： (x 5)2 y2 4， C2： (x 5)2 y2 4 中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心 C 的轨迹方程为 _ 根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解 答案 x24 y2 1 解析 设圆 C 的圆心 C 的坐标为 (x， y)，半径为 r，由题设知 r 2， 于是有? |CC1| r 2，|CC
8、2| r 2 或 ? |CC1| r 2，|CC2| r 2， |CC1| |CC2| 4 2 5 |C1C2|，即圆心 C 的轨迹 L 是以 C1， C2为焦点， 4 为实轴长的双曲线， L 的方程为 x2?422 y2? 5?2 ? ?42 2 1， 即 x24 y2 1. 方法技巧 1 “ 焦点 三角形 ” 中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点：在 “ 焦点三角形 ” 中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)技巧：经常结合 |PF1| |PF2| 2a，运用平方的方法，建立它与 |PF1| PF2|的联系 2应用双曲线定义需注意的问题 (
9、1)在双曲线的定义中一是不能漏掉 “ 绝对值 ” ，否则轨迹是双曲线的一支；二是 “ 常数 ” 小于 |F1F2|，否则轨迹是线段或不存在 (2)求双曲线方程时，注意用标准形式 冲关针对训练 1 (2017 衡水模拟 )已知 ABP 的顶点 A， B 分别为双曲线 C： x216y29 1 的左、右焦点，顶点 P 在双曲线上，则 |sinA sinB|sinP 的值等于 ( ) A.45 B. 74 C.54 D. 7 答案 A 解析 由 x216y29 1 得 a 4， b 3， c 5.结合双曲线定义及正弦定理得|sinA sinB|sinP |PA| |PB|AB| 2a2c45，故选
10、A. 2已知双曲线 x216y29 1 上有一点 P， F1， F2是双曲线的焦点，且 F1PF23 ，则 PF1F2的面积为 _ 答案 9 3 解析 由题意，得 |F1F2| 2 16 9 10. 因为? |PF1| |PF2| 8，|PF1|2 |PF2|2 2|PF1| PF2|cos 3 100， 所以 |PF1| PF2| 36. 所以 S PF1F2 12|PF1| PF2|sin 3 9 3. 题型 2 双曲线的标准方程及应用 典例 (2018 兰州检测 )已知双曲线x24y2b2 1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A， B， C，
11、D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为 ( ) A.x243y24 1 B.x244y23 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.x24y24 1 D.x24y212 1 本题采用方程法 答案 D 解析 不妨设 A(x0， y0)在第一象限，由题意得 ? x20 y20 22， 2x02 y0 2b， y0 b2x0， 由 得 x20 164 b2， 所以 y20 b24164 b24b24 b2， 由 可得 b2 12. 所以双曲线的方程为 x24y212 1.故选 D. 条件探究 1 若将典例中条件变为 “ 以 |F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 (
12、3,4)” ，求双曲线的方程 解 因为以 |F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 (3,4)，所以 c 5， ba 43.又c2 a2 b2，所以 a 3， b 4，所以此双曲线的方程为 x29y216 1. 条件探究 2 若将典例中变为 “ 双曲线过点 (2,1)，且双曲线与椭圆 x24 y2 1 共焦点 ” ，求双曲线的方程 解 椭圆 x24 y2 1 的焦点坐标是 ( 3， 0)设双曲线方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)，所以 4a2 1b2 1， a2 b2 3，解得 a2 2， b2 1，所以所求双曲线方程是 x22 y2 1. 方法技巧 双曲线标准方程的求解方法
13、 1定义法 2待定系数法 提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数 a， b， c 的方程并求出 a， b， c 的值与双曲线 x2a2y2b2 1，有相同 渐近线时可设所求双曲线方程为 x2a2y2b2 ( 0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 冲关针对训练 1已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2x y 0 垂直，则双曲线的方程为 ( ) A.x24 y2 1 B x2 y24 1 C.3x2203y25 1 D.3x25 3y220 1 答案 A 解析 由题意得 c 5
14、， ba 12，则 a 2， b 1，所以双曲线的方程为 x24 y2 1.故选A. 2 (2018 福建漳州模拟 )已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左、右焦点为 F1，F2， P 为双曲线 C 右支上异于顶点的一点， PF1F2的内切圆与 x 轴切于点 (1,0)，且 P 与点F1关于直线 y bxa 对称，则双 曲线的方程为 _ 答案 x2 y24 1 解析 设点 A(1,0)，因为 PF1F2的内切圆与 x 轴切于点 (1,0)，则 |PF1| |PF2| |AF1| |AF2|，所以 2a (c 1) (c 1)，则 a 1.因为点 P 与点 F1关于直线
15、y bxa 对称，所以 F1PF2 2 ，且 |PF1|PF2| ba b，结合 |PF1| |PF2| 2， |PF1|2 |PF2|2 4c2 4 4b2，可得b 2.所以双曲线的方程为 x2 y24 1. 题型 3 双曲线的几何性质 角度 1 与双曲线有关的范围问题 (多维探究 ) 典例 (2015 全国卷 )已知 M(x0， y0)是双曲线 C：x22 y2 1 上的一点， F1， F2是 C的两个焦点若 MF1 MF2 0， b0)，则 A( a,0)， B(a,0)，不妨设点 M 在第一象限内，则易得 M(2a， 3a)，又 M 点在双曲线 E 上，于是 ?2a?2a2 ? 3a?2b2 1，可=【 ;精品教育资源文库 】 = 得 b2 a2， e 1 b2a2 2.故选 D. 2 (2018 成都统考 )已知 ab0，椭圆 C1的方程为 x2a2y2b2 1，双曲线 C2的方程为x2a2y2b2 1， C1
