1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10 1 随机事件的概率 知识梳理 1事件的分类 2频率和概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次实验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A出现的 次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A) nAn为事件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的 频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率 3事件的关系与运算 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0 P(A)1 . =【
2、 ;精品教育资源文库 】 = (2)必然事件的概率 P(E) 1. (3)不可能事件的概率 P(F) 0. (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A B) P(A) P(B) (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A) 1 P(B) 诊断自测 1概念思辨 (1)若事件 A， B， C 两两互斥，则 P(A) P(B) P(C) 1.( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值 ( ) (3)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥 ( ) (4)事件 A 的对立事件 A所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含结
3、果组成集合的补集 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A3P113T1)下列事件中不可能事件的个数为 ( ) 如果 ab， cd，则 a db c； 对某中学的毕业生进行一次体检，每个学生的身高都超过 2 m； 某电视剧收视率为 40%； 从 10 个玻璃杯 (其中 8 个正品， 2 个次品 )中，任取 2 个， 2 个都是次品； 在不受外力作用的条件下，做匀速直线运动的物体改变其匀速直线运动状态 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 是必然事件； 是不可能事件； 是随机事件故选 B. (2)(必修 A3P124A 组 T6)一袋中装有 100 个
4、除颜色不同外其余均相同的红球、白球、黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别为 0.40 和 0.35，那么黑球共有 _个 答案 25 解析 设红球、白球各有 x 个和 y 个，则? x100 0.40，y100 0.35，解得? x 40，y 35， 所以黑球的个数为 100 40 35 25. 3小题热身 (1)(2015 广东高考 )已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为 ( ) A 0.4 B 0.6 C 0.8 D 1 答案 B 解析 记 3 件合格品分别为 A1， A2， A3,2 件次品分别为 B1， B2，从 5
5、 件产品中任取 2 件，有 (A1， A2)， (A1， A3)， (A1， B1)， (A1， B2)， (A2， A3)， (A2， B1)， (A2， B2)， (A3， B1)， (A3，=【 ;精品教育资源文库 】 = B2)， (B1， B2)，共 10 种可能其中恰有一件次品有 6 种可能，由古典概型概率公式得所求事件概率为 610 0.6.故选 B. (2)(2017 浙江瑞安中学高三月考 )一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，现将这颗骰子抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数之和等于 15 的概率为_ 答案 5108 解析 将这颗骰子抛掷三次，共 63
6、 216(种 )情况而三次点数之和等于 15 的有 10 个(555 共 1 个， 456 共 6 个， 366 共 3 个 )所以三次点数之和等于 15 的概率 P 10216 5108. 题型 1 随机事件 典例 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件 A 为 “ 只订甲报 ” ，事件 B 为 “ 至少订一种报纸 ” ，事件 C 为 “ 至多订一种报纸 ” ，事件 D 为 “ 不订甲报 ” ，事件 E 为 “ 一种报纸也不订 ” 判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A 与 C； (2)B 与 E； (3)B 与 C； (4)C 与 E. 用集合的观点分析
7、 A B ?，则 A， B 为互斥事件； A B ?且 A B U，则 A， B 为对立事件 解 (1)由于事件 C“ 至多订一种报纸 ” 中包括 “ 只订甲报 ” ，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互斥事件 (2)事件 B“ 至少订一种报纸 ” 与事件 E“ 一种报纸也不订 ” 是不可能同时发生的，故事件 B 与 E 是互斥事件；由于事件 B 发生会导致事件 E 一定不发生，且事件 E 发生会导致事件B 一定不发生，故 B 与 E 还是对立事件 (3)事件 B“ 至少订一种报纸 ” 中有这些可能： “ 只订甲报纸 ”“ 只订乙报纸 ”“ 订甲、乙两种报纸 ” ，事
8、件 C“ 至多订一种报纸 ” 中有这些可能： “ 一种报纸 也不订 ”“ 只订甲报纸 ”“ 只订乙报纸 ” ，由于这两个事件可能同时发生，故 B 与 C 不是互斥事件 (4)由 (3)的分析，事件 E“ 一种报纸也不订 ” 是事件 C 的一种可能，即事件 C 与事件 E有可能同时发生，故 C 与 E 不是互斥事件 方法技巧 1准确把握互斥事件与对立事件的概念 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生 (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生见典例 2判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事
9、件为互 斥事件；两=【 ;精品教育资源文库 】 = 个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件见典例 冲关针对训练 口袋里装有 1 红， 2 白， 3 黄共 6 个形状相同的小球，从中取出 2 球，事件 A “ 取出的 2 球同色 ” ， B “ 取出的 2 球中至少有 1 个黄球 ” ， C “ 取出的 2 球至少有 1 个白球 ” ，D “ 取出的 2 球不同色 ” ， E “ 取出的 2 球中至多有 1 个白球 ” 下列判断中正确的序号为 _ A 与 D 为对立事件； B 与 C 是互斥事件； C 与 E 是对立事件； P(C E) 1； P(B) P(C
10、) 答案 解析 当取出的 2 个球中一 黄一白时， B 与 C 都发生， 不正确当取出的 2 个球中恰有一个白球时，事件 C 与 E 都发生，则 不正确显然 A 与 D 是对立事件， 正确； C E不一定为必然事件， P(C E)1 ， 不正确由于 P(B) 45， P(C) 35，所以 不正确 . 题型 2 随机事件的频率与概率 典例 (2016 全国卷 )某险种的基本保费为 a(单位：元 )，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度 出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该
11、险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记 A 为事件： “ 一续保人本年度的保费不高于基本保费 ” 求 P(A)的估计值； (2)记 B为事件： “ 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” 求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值 采用公式法 fn(A) nAn. 解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由所给数据知，一年内出险次数小于 2的频率为 60 50200 0.55，故 P(A)的估计值
12、为 0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4. 由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为 30 30200 0.3，故 P(B)的估计值为 0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0 85a0.30 a0.25 1.25a0.15 1.5a0.15 1.75a0.10 2a0.05 1.1925a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.1925a. 结论探究 1 若本例条件不变，结论
13、变为 “ 试求一续保人本年度的保费高于基本保费的估计值 ” 解 1 60 50200 0.45 或 30 30 20 10200 0.45. 结论探究 2 若本例条件不变，结论变为 “ 试求一续保人本年度 的保费不低于基本保费的估计值 ” 解 1 60200 0.7 或 50 30 30 20 10200 0.7. 方法技巧 1计算简单随机事件频率或概率的解题思路 (1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数 (2)由频率与概率的关系得所求见典例 2求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点 求解该类问题的关键，由所给频率分布表，频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件
14、出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求 冲关针对训练 (2018 福建基地综合 )某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售 1 件该商品可获利 50 元若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损 10 元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利 30 元 (1)若商店一天购进该商品 10 件，求日利润 y(单位：元 )关于日需求量 n(单位：件， n N)的函数解析式； (2)商店记录了 50 天该商品的日需求量 n(单位：件 )，整理得下表： 日需求量 n 8 9 10 11 12 频数 9 11 15 10 5 假设该店在这 50 天内每天购进 10 件该商品，求这 50
15、 天的日利润 (单位：元 )的平均数； =【 ;精品教育资源文库 】 = 若该店一天购进 10 件该商品，以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润在区间 400,550内的概率 解 (1)当日需求量 n10 时， 日利润为 y 5010 (n 10)30 30n 200， 当日需求量 na 的概率是 ( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 D 解析 令选取的 a， b 组成实数对 (a， b)，则有 (1,1)， (1,2)， (1,3)， (2,1)， (2,2)，(2,3)， (3,1)， (3,2)， (3,3)， (4,1)， (4,2)， (4,3)， (5,1)， (5,2)， (5,3)共 15 种情况，其中 ba 的 有 (1,2)， (1,3)， (2,3)3 种情况，所以 ba 的概率为 315 15.故选 D. 4把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次
