1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.7 抛物线 重点保分 两级优选练 A 级 一、选择题 1 (2017 皖北协作区联考 )已知抛物线 C： x2 2py(p0)，若直线 y 2x 被抛物线所截弦长为 4 5，则抛物线 C 的方程为 ( ) A x2 8y B x2 4y C x2 2y D x2 y 答案 C 解析 由? x2 2py，y 2x， 得 ? x 0，y 0 或 ? x 4p，y 8p， 即两交点坐标为 (0,0)和 (4p,8p)，则p 2 p 2 4 5，得 p 1(舍去负值 )，故抛物线 C 的方程为 x2 2y.故选 C. 2 (2014 全国卷 )设 F 为抛物线 C
2、： y2 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C于 A， B 两点，则 |AB| ( ) A. 303 B 6 C 12 D 7 3 答案 C 解析 抛物线 C： y2 3x 的焦点为 F? ?34， 0 ，所以 AB 所在的直线方程为 y 33 ? ?x 34 ，将 y 33 ? ?x 34 代入 y2 3x，消去 y 整理得 x2 212 x 916 0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由根与系数的关系 得 x1 x2 212 ，由抛物线的定义可得 |AB| x1 x2 p 212 32 12.故选 C. 3 (2018 广东广州模拟 )如果 P1， P2， ?
3、 ， Pn是抛物线 C： y2 4x 上的点，它们的横坐标依次为 x1， x2， ? ， xn， F 是抛物线 C 的焦点，若 x1 x2 ? xn 10，则 |P1F| |P2F| ? |PnF| ( ) A n 10 B n 20 C 2n 10 D 2n 20 答案 A 解析 由抛物线的方程 y2 4x 可知其焦点为 (1,0)，准线为 x 1，由抛物线的定义可知 |P1F| x1 1， |P2F| x2 1， ? ， |PnF| xn 1，所以 |P1F| |P2F| ? |PnF| x1 1x2 1 ? xn 1 (x1 x2 ? xn) n n 10.故选 A. 4 (2017 江
4、西赣州二模 )抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点为 F， A 是抛物线上一点，若 A到 F的距离是 A到 y轴距离的两倍，且三角形 OAF的面积为 1， O为坐标原点，则 p的值为 ( ) A 1 B 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 3 D 4 答案 B 解析 不妨设 A(x0， y0)在第 一象限，由题意可知? x0 p2 2x0，S OAF 12 p2 y0 1，即? x0 p2，y0 4p， A? ?p2， 4p ，又 点 A 的抛物线 y2 2px 上， 16p2 2p p2，即 p4 16，又 p0， p 2，故选 B. 5过抛物线 y2 8x 的焦点 F 的直线交抛
5、物线于 A， B 两点，交抛物线的准线于点 C，若|AF| 6， BC FB ( 0)，则 的值为 ( ) A.34 B.32 C. 3 D 3 答案 D 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C( 2， y3)， 则 x1 2 6，解得 x1 4， y1 4 2，点 A(4,4 2)， 则直线 AB 的方程为 y 2 2(x 2)， 令 x 2，得 C( 2， 8 2)， 联立方程组 ? y2 8x，y 2 2 x ， 解得 B(1， 2 2)， 所以 |BF| 1 2 3， |BC| 9，所以 3.故选 D. 6 (2017 抚顺一模 )已知点 P 是抛物线 y2 4x 上
6、的动点，设点 P 到此抛物线的准线的距离为 d1，到直线 x y 4 0 的距离为 d2，则 d1 d2的最小值为 ( ) A 2 B. 2 C.52 D.5 22 答案 D 解析 点 P到准线的距离等于点 P到焦点 F的距离，过焦点 F作直线 x y 4 0的垂线，此时 d1 d2最小， F( 1,0)，则 d1 d2 | 1 0 4|2 5 22 .故选 D. 7 (2018 北京东城区期末 )已知抛物线 C1： y 12px2(p0)的焦点与双曲线 C2： x23 y2 1的右焦点的连 线交 C1于第一象限的点 M，若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p=【 ;精品教
7、育资源文库 】 = ( ) A. 316 B. 38 C.2 33 D.4 33 答案 D 解析 由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为 ? ?0， p2 ，双曲线焦点坐标为 (2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为 y p4(x 2)设 M(x0， y0)，则有 y 1px0 33 ?x0 33 p.因为 y0 12px20，所以 y0 p6.又 M 点在直线 y p4(x 2)上，即有 p6 p4? ?33 p 2 ?p 4 33 ，故选 D. 8 (2018 河北邯郸调 研 ) 已知 M(x0， y0)是曲线 C： x22 y 0 上的一点， F 是曲线 C 的焦点，过 M 作 x 轴的
8、垂线，垂足为 N，若 MF MN 0，则 x0的取值范围是 ( ) A ( 1,0) (0,1) B ( 1,0) C (0,1) D ( 1,1) 答案 A 解析 由题意知曲线 C为抛物线，其方程为 x2 2y，所以 F? ?0， 12 ，根据题意可知， N(x0,0)，x00 ， MF ? ? x0，12 y0 ， MN (0， y0)，所以 MF MN y0? ?12 y0 0，即 0 y012，因为点 M 在抛物线上，所以有 0 x20212，又 x00 ，解得 1 x0 0 或 0 x0 1，故选 A. 9 (2017 山西五校联考 )已知抛物线 C： y2 2px(p0)上一点 (
9、5， m)到焦点的距离为 6，P， Q 分别为抛物线 C 与圆 M： (x 6)2 y2 1 上的动点，当 |PQ|取得最小值时，向量 PQ 在 x轴正方向上的投影为 ( ) A 2 55 B 2 5 1 C 1 2121 D. 21 1 答案 A 解析 因为 6 p2 5，所以 p 2，所以抛物线 C 的方程为 y2 4x. 设 P(x， y)，则 |PM| x 2 y2 x 2 4x x 2 20，可知当 x 4 时， |PQ|取得最小值，最小值为 20 1 2 5 1，此时不妨取 P 点的坐标为 (4， 4)，则直线 PM 的斜率为 2，即 tan PMO 2，所以 cos PMO 15
10、，故当 |PQ|取得最小值时 ，向=【 ;精品教育资源文库 】 = 量 PQ 在 x 轴正方向上的投影为 (2 5 1)cos PMO 2 55 .故选 A. 10 (2018 湖北七市联考 )过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 的直线与双曲线 x2 y23 1的一条渐近线平行，并交抛物线于 A， B 两点，若 |AF|BF|，且 |AF| 2，则抛物线的方程为( ) A y2 2x B y2 3x C y2 4x D y2 x 答案 A 解析 由双曲线方程 x2 y23 1 知其渐近线方程为 y 3x， 过抛物线焦点 F 且与渐近线平行的直线 AB 的斜率为 3，不妨取 kAB 3，则
11、其倾斜角为 60 ，即 AFx 60.过 A 作 AN x 轴，垂足为 N.由 |AF| 2，得 |FN| 1.过 A 作 AM 准线 l，垂足为 M，则 |AM| p 1.由抛物线的定义知， |AM| |AF|， p 1 2， p 1， 抛物线的方程为 y2 2x，故选 A. 二、填空题 11 (2017 河南新乡二模 )已知点 A(1， y1)， B(9， y2)是抛物线 y2 2px(p0)上的两点，y2y10，点 F 是抛物线的焦点，若 |BF| 5|AF|，则 y21 y2的值为 _ 答案 10 解析 由抛物线的定义可知， 9 p2 5? ?1 p2 ，解得 p 2， 抛物线方程为
12、y2 4x，又 A， B 两点在抛物线上， y1 2， y2 6， y21 y2 22 6 10. 12 (2017 湖南岳阳二模 )直线 3x 4y 4 0 与抛物线 x2 4y 和圆 x2 (y 1)2 1 从左至右的交点依次为 A， B， C， D，则 |CD|AB|的值为 _ 答案 16 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 如图所示，抛物线 x2 4y 的焦点为 F(0,1)，直线 3x 4y 4 0 过点 (0,1)，由? x2 4y，3x 4y 4 0， 得 4y2 17y 4 0，设 A(x1， y1)， D(x2， y2)，则 y1 y2174 ， y1y2 1，解得 y1
13、 14， y2 4，则 |CD|AB| |FD| 1|AF| 1 y2 1y1 1 16. 13 (2017 河南安阳二模 )已知抛物线 C1： y ax2(a0)的焦点 F 也是椭圆 C2： y24x2b21(b0)的一个焦点，点 M， P? ?32， 1 分别为曲线 C1， C2 上的点，则 |MP| |MF|的最小值为_ 答案 2 解析 将 P? ?32， 1 代入 y24x2b2 1，可得1494b2 1， b 3， c 1， 抛物线的焦点 F为 (0,1)， 抛物线 C1的方程为 x2 4y，准线为直线 y 1，设点 M 在准线上的射影为 D，根据抛物线的定义可知 |MF| |MD|
14、， 要求 |MP| |MF|的最小值，即求 |MP| |MD|的最小值，易知当 D， M， P 三点共线时， |MP| |MD|最小，最小值为 1 ( 1) 2. 14 (2017 河北衡水中学调研 )已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点为 F，过 F 的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点，且 |AF| 4|FB|， O 为坐标原点，若 AOB 的面积为 58，则 p _. 答案 1 解析 易知抛物线 y2 2px 的焦点 F 的坐标为 ? ?p2， 0 ，准线为 x p2，不妨设点 A 在 x轴上方，如图，过 A， B 作准线的垂线 AA ， BB ，垂足分别为 A ， B ，过点 B
15、 作 BH AA ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 交 AA 于 H，则 |BB| |A H|， 设 |FB| t，则 |AF| |AA| 4t， |AH| |AA| |A H| 3t， 又 |AB| 5t， 在 Rt ABH 中， cos HAB 35， tan HAB 43，则可得直线 AB 的方程为 y 43? ?x p2 . 由? y 43?x p2 ，y2 2px，得 8x2 17px 2p2 0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 |AB| x1 x2 p 178p p 258p， 易知点 O 到直线 AB 的距离为 d |OF|sin A AB p2 45 25p. S AOB 12 258p 25p 5p28 58， p2 1，又 p0， p 1. B 级 三、解答题 15 (2017 泰安模拟 )已知抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线 l1： y x 的一个交点的横坐标为 8. (1)求抛物线 C 的方程； (2)不过原点的直线 l2与 l1垂直，且与抛物线交于不同的两点 A， B，若线段 AB 的中点为 P，且 |OP| |PB|，求 FAB 的面积 解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为 (8， 8)， ( 8)2 2p
