1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 8 曲线与方程 知识梳理 求曲线方程的基本步骤 诊断自测 1概念思辨 (1)f(x0， y0) 0 是点 P(x0， y0)在曲线 f(x， y) 0 上的充要条件 ( ) (2)方程 x2 xy x 的曲线是一个点和一条直线 ( ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2 y2.( ) (4)方程 y x与 x y2表示同一曲线 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A2 1P36例 3)到点 F(0,4)的距离比到直线 y 5的距离小 1的动点 M的轨迹方程为 ( ) A y 16x2 B y 16x
2、2 C x2 16y D x2 16y 答案 C 解析 由题意可知动点 M 到点 F(0,4)的距离与到直线 y 4 的距离相等，则点 M 的轨=【 ;精品教育资源文库 】 = 迹为抛物线，故选 C. (2)(选修 A2 1P35例 1)到两坐标轴距离之积等于 2 的点的轨迹方程为 _ 答案 y 2x 解析 根据题意，设动点为 M，其坐标为 (x， y)，而动点 M 到两坐标轴距离之积等于 2，即 |x| |y| 2，变形可得 y 2x，故到两坐标轴距离之积等于 2 的点的轨迹方程为 y 2x. 3小题热身 (1)(2018 银川模拟 )设点 A 为圆 (x 1)2 y2 1 上的动点， PA
3、 是圆的切线，且 |PA| 1，则 P 点的轨迹方程为 ( ) A y2 2x B (x 1)2 y2 4 C y2 2x D (x 1)2 y2 2 答案 D 解析 如图，设 P(x， y)，圆心为 M(1,0)，连接 MA，则 MA PA，且 |MA| 1. 又 |PA| 1， |PM| |MA|2 |PA|2 2， 即 |PM|2 2， (x 1)2 y2 2.故选 D. (2)(2017 聊城一模 )在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， A(1,0)， B(2,2)，若点 C满足 OC OA t(OB OA)，其中 t R，则点 C 的轨迹方程是 _ 答案 y 2x 2 解析 设 C
4、(x， y)，则 OC (x， y)， OA t(OB OA) (1 t,2t)，所以? x t 1，y 2t， 消去参数 t 得点 C 的轨迹方程为 y 2x 2. 题型 1 定 义 法 求 轨 迹 方 程=【 ;精品教育资源文库 】 = 典例 (2017 大庆模拟 )已知圆 C1： (x 3)2 y2 1 和圆 C2： (x 3)2 y2 9，动圆M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 _ 用定义法 答案 x2 y28 1(x 1) 解析 如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点 A 和点 B，则有 |MC1| |AC1|MA|， |MC2| |BC
5、2| |MB|. 又 |MA| |MB|，所以 |MC2| |MC1| |BC2| |AC1| 3 1 2，即动点 M 到两定点 C2， C1的距离的差是常数 2，且 2|MC1|，故动圆圆心 M 的轨迹为以定点 C2， C1为焦点的双曲线的左支，则 2a 2，所以 a 1. 又 c 3，则 b2 c2 a2 8. 设动圆圆心 M 的坐标为 (x， y)，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2 y28 1(x 1) 条件探究 将本例条件变为： “ 圆 C1： (x 1)2 y2 1，圆 C2： (x 1)2 y2 9，动圆 P 与圆 C1外切且与圆 C2内切 ” ，求圆心 P 的轨迹方程 解 因为
6、圆 P 与圆 C1外切且与圆 C2内切，所以 |PC1| |PC2| (R 1) (3 R) 4，由椭圆的定义可知，曲线是以 C1， C2为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆 (左顶点除外 )，其方程为 x24y23 1(x 2) 方法技巧 定义法求轨迹方程的适用条件及关键点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程见典例 2理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键 3利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，
7、则应对其中的变量 x 或 y 进行限制见典例 冲关针对训练 已知圆 C 与两圆 x2 (y 4)2 1， x2 (y 2)2 1 外切，圆 C 的圆心轨迹方程为 L，设 L上的点与点 M(x， y)的距离的最小值为 m，点 F(0,1)与点 M(x， y)的距离为 n. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程； (2)求满足条件 m n 的点 M 的轨迹 Q 的方程 解 (1)两圆半径都为 1，两圆圆心分别为 C1(0， 4)， C2(0,2)，由题意得 |CC1| |CC2|，可知圆心 C 的轨迹是线段 C1C2的垂直平分线， C1C2的中点为 (0， 1)，直线 C1C2的斜率不存在，故圆
8、心 C 的轨迹是线段 C1C2的垂 直平分线，其方程为 y 1，即圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为 y 1. (2)因为 m n，所以 M(x， y)到直线 y 1 的距离与到点 F(0,1)的距离相等，故点 M的轨迹 Q 是以 y 1 为准线，点 F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而 p2 1，即 p 2，所以轨迹 Q 的方程是 x2 4y. 题型 2 直接法求轨迹方程 典例 (2014 广东高考 )已知椭圆 C：x2a2y2b2 1(ab0)的一个焦点为 ( 5， 0)，离心率为 53 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动点 P(x0， y0)为椭圆 C 外一点，且点 P
9、到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程 解 (1)由题意知 c 5， ca 53 ，所以 a 3， b2 a2 c2 4，故椭圆 C 的标准方程为 x29 y24 1. (2)设两切线为 l1， l2， 当 l1 x 轴或 l1 x 轴时，对应 l2 x 轴或 l2 x 轴，可知 P(3 ， 2) 当 l1与 x 轴不垂直且不平行时， x03. 设 l1的斜率为 k，则 k0 ， l2的斜率为 1k， 故 l1 的方程为 y y0 k(x x0)，联立 x29y24 1，得 (9k2 4)x2 18(y0 kx0)kx 9(y0 kx0)2 36 0. 因为直线 l1与椭圆 C
10、相切，所以 0， 得 9(y0 kx0)2k2 (9k2 4)(y0 kx0)2 4 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 36k2 4(y0 kx0)2 4 0， 所以 (x20 9)k2 2x0y0k y20 4 0， 所以 k是方程 (x20 9)x2 2x0y0x y20 4 0(x03) 的一个根，同理 1k是方程 (x20 9)x2 2x0y0x y20 4 0(x03) 的另一个根， 所以 k ? ? 1k y20 4x20 9，得 x20 y20 13，其中 x03 ， 所以此时点 P 的轨迹方程为 x20 y20 13(x03) 因为 P(3 ， 2) 满足 x20
11、y20 13， 综上可知，点 P 的轨迹方程为 x2 y2 13. 方法技巧 直接法求曲线方程的关键点和注意点 1关键点：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方 程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略 2注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性 提醒：对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明 x，y 的取值范围 冲关针对训练 已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C
12、的方程； (2)若 P 为椭圆 C 上的动点， M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点， |OP|OM| ，求点 M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a， c，由已知得? a c 1，a c 7， 解得 ? a 4，c 3，所以 b 7，所以椭圆 C 的标准方程为 x216y27 1. (2)设 M(x， y)，其中 x 4,4 由已知 |OP|2|OM|2 2及点 P在椭 圆 C上，可得 9x2 11216?x2 y2? 2，整理得 (16 2 9)x2 16 2y2 112，其中 x 4， 4 当 34时，化简得 9y2 112，所以点 M 的
13、轨迹方程为 y 4 73 ( 4 x4) ，轨迹是两条平行于 x 轴的线段 =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 34时，方程变形为 x211216 2 9 y211216 2 1，其中 x 4,4 当 00 得， k215， 0x83. 顶点 E 的轨迹方程为 x2 4y2 6x 0? ?0x83 . 方法技巧 参数法求轨迹方程的一般步骤 1选取参数 k，用 k 表示动点 M 的坐标； 2写出动点 M 的轨迹的参数方程? x f?k?，y g?k?； 3消参数 k，得 M 的轨迹方程； 4由 k 的范围确定 x， y 的范围，确保完备性与纯粹性 冲关针对训练 设椭圆方程为 x2 y24 1，
14、过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A， B 两点， O 是坐标原点， l上的动点 P 满足 OP 12(OA OB)，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程 解 设点 P 的坐标为 (x， y)， 因 A(x1， y1)， B(x2， y2)在椭圆上， 所以 x21 y214 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = x22 y224 1. ，得 x21 x22 14(y21 y22) 0，所以 (x1 x2)(x1 x2) 14(y1 y2)(y1 y2) 0. 当 x1 x2时，有 x1 x2 14(y1 y2) y1 y2x1 x2 0. 并且? x x1 x22 ，y y
15、1 y22 ，y 1x y1 y2x1 x2， 将 代入 并整理，得 4x2 y2 y. 当 x1 x2时，点 A， B 的坐标分别为 (0,2)， (0， 2) 这时点 P 的坐标为 (0,0)，也满足 . 所以点 P 的轨迹方程为 x2116 ? ?y 12 214 1. 1.(2018 开封模拟 )已知点 Q 在椭圆 C： x216y210 1 上，点 P 满足 OP 12? ?OF1 OQ (其中O 为坐标原点， F1为椭圆 C 的左焦点 )，则点 P 的轨迹为 ( ) A圆 B抛物线 C双曲线 D椭圆 答案 D 解析 因为点 P 满足 OP 12(OF1 OQ)，所以 P 是线段 QF1的中点，由于 F1为椭圆 C： x216y210 1 的左焦点，则 F1( 6， 0)，设 P(x， y)，则 Q(2x 6， 2y)由点 Q 在椭圆 C：x216y210 1 上，得点 P 的轨迹方程为?2x 6?216 ?2y?25 1，可知点 P 的轨
