1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 11.2 数系的扩充与复数的引入 知识梳理 1复数的有关概念 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2复数的几何意义 复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集 C 与复平面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数 z a bi 复平面内的点 Z(a， b)(a， b R) (2)复数 z a bi(a， b R) 平面向量 OZ. 3复数代数形式的四则运算 (1)运算法则 设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， d R)，则 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足
2、交换律、结合律，即对任何 z1， z2， z3 C，有 z1 z2 z2 z1， (z1 z2) z3 z1 (z2 z3) (3)复数乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意 z1， z2， z3 C，有 z1 z2 z2 z1，(z1 z2) z3 z1( z2 z3)， z1(z2 z3) z1z2 z1z3. (4)复数加、减法的几何意义 复数加法的几何意义：若复数 z1， z2对应的向量 OZ1， OZ2不共线，则复数 z1 z2是以 OZ1，OZ2为两邻边的平行四边形的对角线 OZ所对应的复数 复数减法的几何意义：复数 z1 z2是 OZ1 OZ2 Z2Z1
3、所对应的复数 4模的运算性质： |z|2 | z |2 z z ； |z1 z2| |z1|z2|； ? ?z1z2 |z1|z2|. 诊断自测 1概念思辨 (1)关于 x 的方程 ax2 bx c 0(a， b， c R 且 a0) 一定有两个根 ( ) (2)若复数 a bi 中 a 0，则此复数必是纯虚数 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小 ( ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 ( ) 答 案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A2 2P116A 组 T
4、1(3)在复平面内，复数 z 12 i(i 为虚数单位 )对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 D 解析 z 12 i 2 i?2 i?2 i? 25 15i，其对应的点为 ? ?25， 15 ，在第四象限故选 D. (2)(选修 A2 2P112A 组 T3)在复平面内，复数 6 5i， 2 3i 对应的点分别为 A， B.若C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是 ( ) A 4 8i B 8 2i C 2 4i D 4 i 答案 C 解析 A(6,5)， B( 2,3)， 线段 AB 的中点 C(2,4)，则点 C 对应的复数为 z 2 4i.
5、故选 C. 3小题热身 (1)(2017 全国卷 )3 i1 i ( ) A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i 答案 D 解 析 3 i1 i ?3 i?1 i?1 i?1 i? 4 2i2 2 i.故选 D. (2)(2015 全国卷 )设复数 z 满足 1 z1 z i，则 |z| ( ) A 1 B. 2 C. 3 D 2 答案 A 解析 由已知 1 z1 z i，可得 z i 1i 1 ?i 1?2?i 1?i 1? 2i 2 i， |z| |i| 1，故选A. 题型 1 复数的有关概念 =【 ;精品教育资源文库 】 = 典例 已知 x， y 为共轭复数，且 (x y)2
6、 3xyi 4 6i，求 x， y. 复数问题实数化 解 设 x a bi(a， b R)， 则 y a bi， x y 2a， xy a2 b2， 代入原式，得 (2a)2 3(a2 b2)i 4 6i， 根据复数相等得? 4a2 4， 3?a2 b2? 6， 解得? a 1，b 1 或 ? a 1，b 1 或 ? a 1，b 1 或 ? a 1，b 1. 故所求复数为? x 1 i，y 1 i， 或 ? x 1 i，y 1 i 或 ? x 1 i，y 1 i 或 ? x 1 i，y 1 i. 方法技巧 有关复数的基本概念问题的关键 因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关
7、，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为 a bi(a， b R)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理见典例 冲关针对训练 (2018 山西四校联考 )i 是虚数单位，若 2 i1 i a bi(a， b R)，则 lg (a b)的值是( ) A 2 B 1 C 0 D.12 答案 C 解析 因为 2 i1 i ?2 i?1 i?2 32 i2，所以 a 32， b 12， a b 1，所以 lg (a b) 0，故选 C. 题型 2 复数的几何意义 典例 (2017 全国卷 )设复数 z 满足 (1 i)z 2i，则 |z| ( ) A.12 B
8、. 22 C. 2 D 2 先求 z 的代数形式，再求 |z|. 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由 (1 i)z 2i 得 z 2i1 i 1 i， |z| 2.故选 C. 方法技巧 复数几何意义及应用 1复数 z、复平面上的点 Z 及向量 OZ相互联系，即 z a bi(a， b R)?Z(a， b)?OZ. 2由于复 数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观 提醒： |z|的几何意义：令 z x yi(x， y R)，则 |z| x2 y2，由此可知表示复数 z的点到原点的距离就是 |
9、z|的几何意义； |z1 z2|的几何意义是复平面内表示复数 z1， z2的两点之间的距离 冲关针对训练 若复数 z 满足 |z|1 ； |z i| 1 2i|，则 z 在复平面内所对应的图形的面积为 _ 答案 4 解析 设 z x yi(x， y R)，由 |z|1 及 |z i| 1 2i|易得 x2 y21 及 x2 (y 1)25 知 z 在复平面内对应图形的面积为 5 4. 题型 3 复数的代数运算 典例 (2016 全国卷 )若 z 1 2i，则 4iz z 1 ( ) A 1 B 1 C i D i 先作乘法 z z 运算，然后作除法运算 答案 C 解析 z z (1 2i)(1
10、 2i) 5， 4iz z 1 4i4 i，故选 C. 方法技巧 1加减乘除用法则 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式 (2)记住以下结论，可提高运算速度： (1i) 2 2i ； 1 i1 i i； 1 i1 i i； a bii b ai； i4n 1， i4n 1 i，i4n 2 1， i4n 3 i(n N) =【 ;精品教育资源文库 】 = 2复数方程要求解，运用概念相等 来解决 解决复数与三角函数、方程等综合问题，关键是抓住复数的实部、虚部，运用好复数的概念来解决问题 冲关针对训练 2 3 i1
11、 2 3i ?21 i2018 _. 答案 2i 解析 原式 i?1 2 3i?1 2 3i ? ? ?21 i 2 1009 i ? ?2 2i 1009 i i1009 i i4252 1 i i 2i. 1 (2017 全国卷 )设有下面四个命题 p1：若复数 z 满足 1z R，则 z R； p2：若复数 z 满足 z2 R，则 z R； p3：若复数 z1， z2满足 z1z2 R，则 z1 z 2； p4：若复数 z R，则 z R. 其中的真命题为 ( ) A p1， p3 B p1， p4 C p2， p3 D p2， p4 答案 B 解析 设 z a bi(a， b R)，
12、z1 a1 b1i(a1， b1 R)， z2 a2 b2i(a2， b2 R) 对于 p1，若 1z R，即 1a bi a bia2 b2 R，则 b 0 且 a0 ?z a bi a R，所以 p1为真命题 对于 p2，若 z2 R，即 (a bi)2 a2 2abi b2 R，则 ab 0.当 a 0， b0 时， z a bi bi / R，所以 p2为 假命题 对于 p3，若 z1z2 R，即 (a1 b1i)(a2 b2i) (a1a2 b1b2) (a1b2 a2b1)i R，则 a1b2a2b1 0.而 z1 z 2，即 a1 b1i a2 b2i?a1 a2， b1 b2.
13、因为 a1b2 a2b1 0?/ a1 a2，b1 b2，所以 p3为假命题 对于 p4，若 z R，即 a bi R，则 b 0? z a bi a R，所以 p4为真命题故选B. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 (2018 安徽安庆模拟 )设 i 是虚数单位，如果复数 a i2 i的实部与虚部相等，那么实数 a 的值为 ( ) A.13 B 13 C 3 D 3 答案 C 解析 a i2 i 2a 1 ?a 2?i5 ，由题意知 2a 1 a 2，解之得 a 3.故选 C. 3 (2017 浙江高考 )已知 a， b R， (a bi)2 3 4i(i 是虚数单位 )，则 a2 b2
14、_， ab _. 答案 5 2 解析 (a bi)2 a2 b2 2abi. 由 (a bi)2 3 4i，得? a2 b2 3，ab 2. 解得 a2 4， b2 1. 所以 a2 b2 5， ab 2. 4 (2017 天津高考 )已知 a R， i 为虚数单位，若 a i2 i为实数，则 a 的值为 _ 答案 2 解析 a R， a i2 i ?a i?2 i?2 i?2 i? 2a 1 ?a 2?i5 2a 15 a 25 i 为实数， a 25 0， a 2. 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2018 湖南长沙四县联考 )i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi 1 i，则复数 z 的实部与虚部的和是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 解析 复数 z 满足 zi 1 i，可得 z 1 ii ? 1 i?iii 1 i.故复数 z 的实部与虚部的和是 1 1 2，故选 C. 2 (2018 湖北优质高中联考 )已知复数 z 1 i(i 是 虚数单位 )，则 2z z2的共轭复数是 ( ) A 1 3i B 1 3i C 1 3i D 1 3i 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 2z z2 21 i (1 i)2 2?1 i?1 i?1 i? 2i 1 i 2i 1 3i，其共轭复数是 1 3i，故选 B. 3 (2017·
