1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 点、直线、平面之间的位置关系 1 (2015 年广东 )若直线 l1和 l2是异面直线， l1在平面 内， l2在平面 内， l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是 ( ) A l 至少与 l1， l2中的一条相交 B l 与 l1， l2都相交 C l 至多与 l1， l2中的一条相交 D l 与 l1， l2都不相交 2 (2016 年浙江 )已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m， n 满足 m ， n ，则 ( ) A m l B m n C n l D m n 3若 P 是两条异面直线 l， m 外的任意一点则 ( )
2、A过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都平行 B过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都垂直 C过点 P 有且仅有一条直线与 l.m 都相交 D过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都异面 4 (2015 年湖北 )l1， l2 表示空间中的两条直线，若 p： l1， l2 是异面直线； q： l1， l2不相交，则 ( ) A p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 B p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C p 是 q 的充分必要条件 D p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 5如图 X831 所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中 图 X83
3、1 BM 与 ED 平行； CN 与 BE 是异面直线； CN 与 BM 成 60 ； CN 与 AF 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是 ( ) A B C D 6直三棱柱 ABCA1B1C1中，若 BAC 90 ， AB AC AA1，则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 7 (2014 年大纲 )已知正四面体 ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 ( ) A.16 B. 36 C.13 D. 33 8 (2017 年新课标 )a， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC
4、的直角边 AC 所在直线与 a， b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线 AB 与 a 成 60 角时， AB 与 b 成 30 角； 当直线 AB 与 a 成 60 角时， AB 与 b 成 60 角； 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45 ； 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60. 其中正确的是 _ (填写所有正确结论的编号 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 9如图 X832，在三棱锥 PABC 中， PA 底面 ABC， D 是 PC 的中点已知 BAC 2 ，AB 2， AC 2 3， PA 2.求： (1)三棱锥 PABC 的体积；
5、(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值 图 X832 10 (2016 年上海 )将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部 )绕 OO1旋转一周形成圆柱，如图 X833， AC 长为 56 ， 11AB 长为 3 ，其中 B1与 C 在平面 AA1O1O 的同侧 (1)求圆柱的体积与侧面积； (2)求异面直线 O1B1与 OC 所成的角的大小 图 X833 =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 点、直线、平面之间的位置关系 1 A 解析：考虑反证法：假如 l 与 l1， l2都不相交即都平行，则 l1， l2平行，与 l1和 l2是异面直线矛盾，所以 l 至少与 l1，
6、l2中的一条相交故选 A. 2 C 解析：由题意知 l， l? . n ， n l.故选 C. 3 B 解析：对于选项 A，若过点 P 有直线 n 与 l， m 都平行，则 l m，这与 l， m 异面矛盾；对于选项 B，过点 P 与 l， m 都垂直的直线，即过 P 且与 l， m 的公垂 线段平行的那一条直线；对于选项 C，过点 P 与 l， m 都相交的直线有一条或零条；对于选项 D，过点 P 与 l，m 都异面的直线可能有无数条 4 A 解析：若 p： l1， l2 是异面直线，由异面直线的定义知， l1， l2 不相交，所以命题 q： l1， l2不相交成立，即 p 是 q 的充分条
7、件；反过来，若 q： l1， l2不相交，则 l1， l2可能平行，也可能异面，所以不能推出 p： l1， l2是异面直线，即 p 不是 q 的必要条件故选A. 5 D 6 C 解析：如图 D145，可补成一个正方体 AC1 BD1. BA1与 AC1所成的角为 A1BD1.又 易知 A1BD1为正三角形， A1BD1 60. 即 BA1与 AC1成 60 角 图 D145 7 B 解析：设 AD 的中点为 F，连接 EF， CF，则 EF BD，所以 CE 与 EF 所成角就是异面直线 CE 与 BD 所成角，设正四面体 ABCD 棱长为 2a， EF a， CE CF 3a，由余弦定理可得
8、 cos CEF a2 3a2 3a22a 3a 12 336 . 8 解析：由题意， AB 是以 AC 为轴， BC 为底面半径的圆锥 的母线，由 AC a，AC b，又 AC 圆锥底面，在底面内可以过点 B，作 BD a，交底面圆 C 于点 D. 如图 D146，连接 DE，则 DE BD. DE b. 图 D146 连接 AD，在等腰三角形 ABD 中，设 AB AD 2，当直线 AB 与 a 成 60 角时， ABD 60 ，故 BD 2. 又在 Rt BDE 中， BE 2， DE 2. 如图，过点 B 作 BF DE，交圆 C 于点 F，连接 AF，由圆的对称性可知 BF DE 2
9、， ABF 为等边三角形 ABF 60. 即 AB 与 b 成 60 角， 正确， 错误； 由最小角定理可知 正确， 错误 正确的说法为 . 9解： (1)S ABC 1222 3 2 3， 三棱锥 PABC 的体积为 V 13S ABC PA 132 32 4 33 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED BC，所以 ADE 是异面直线 BC 与 AD 所成的角(或其补角 ) 在 ADE 中， DE 2， AE 2， AD 2， cos ADE 22 22 2222 34. 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 34. 10解： (1)如图 D147，由题意可知，圆柱的母线长 l 1，底面半径 r 1. 图 D147 圆柱的体积 V r2l 1 21 ， 圆柱的侧面积 S 2 rl 211 2. (2)设过点 B1的母线与下底面交于点 B， 则 O1B1 OB. 所以 COB 或其补角为 O1B1与 OC 所成的角 由 11AB 长为 3 ，可知 AOB A1O1B1 3. 由 AC 长为 56 ，可知 AOC 56 ， 所以 COB AOC AOB 2. 所以异面直线 O1B1与 OC 所成的角的大小为 2 .
