1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 函数的奇偶性与周期性 1 (2015 年福建 )下列函数为奇函数的是 ( ) A y x B y ex C y cos x D y ex e x 2已知函数 f(x)的定义域为 (3 2a， a 1)，且 f(x 1)为偶函数，则实数 a 的值可以是 ( ) A.23 B 2 C 4 D 6 3 对于函数 f(x)，若存在常数 a0 ，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f(x) f(2a x)，则称 f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是 ( ) A f(x) x B f(x) x2 C f(x) tan x D f(x) cos(x 1)
2、 4 (2017 年湖南衡阳八中二模 )已知 f(x)在 R 上满足 f(x 5) f(x)，当 x (0,5)时， f(x) x2 x，则 f(2016) ( ) A 12 B 16 C 20 D 0 5 (2016 年四川 )已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x 1 时， f(x) 4x，则 f? ? 52 f(1) _. 6 (2016 年江苏 )设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1)上， f(x)? x a， 1 x0，?25 x ， 0 x1，其中 a R.若 f? ? 52 f? ?92 ，则 f(5a)的值是 _ 7定义
3、在 R 上的函数 f(x)满足 f(x 1) 2f(x)若当 0 x1 时， f(x) x(1 x)，则当 1 x0 时， f(x) _. 8设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，已知 x (0,1)， f(x) log12(1 x)，则函数 f(x)在 (1,2)上的解析式是 _ 9已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时， f(x) x2 2x.现已画出函数f(x)在 y 轴左侧的图象，如图 X241，请根据图象： 图 X241 (1)写 出函数 f(x)(x R)的单调递增区间； (2)写出函数 f(x)(x R)的解析式； (3)若函数 g(x) f(x
4、) 2ax 2(x 1,2)，求函数 g(x)的最小值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 10已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2 x) f(2 x)， f(7 x) f(7 x)，且在闭区间 0,7上，只有 f(1) f(3) 0. (1)试判断函数 y f(x)的奇偶性； (2)试求方程 f(x) 0 在闭区间 2011,2011上的根的个数，并证明你的结论 =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 函数的 奇偶性与周期性 1 D 解析：函数 y x和 y ex 是非奇非偶函数； y cos x 是偶函数； y ex e x是奇函数故选 D. 2 B 解析：方法一，因为函数 f(x
5、 1)为偶函数，所以 f( x 1) f(x 1)，即函数f(x)关于 x 1 对称，所以区间 (3 2a， a 1)关于 x 1 对称，所以 3 2a a 12 1，即 a 2. 方法二，由 y f(x)定义域知 y f(x 1)，定义域为 (2 2a， a)，且为偶函数， 22a a 0. a 2. 3 D 解析：由 f(x)为准 偶函数的定义可知，若 f(x)的图象关于 x a(a0) 对称，则f(x)为准偶函数， A， C 中两函数的图象无对称轴， B 中函数图象的对称轴只有 x 0，而 D中 f(x) cos(x 1)的图象关于 x k 1(k Z)对称 4 D 解析：因为 f(x
6、5) f(x)，所以 f(x 10) f(x 5) f(x)， f(x)的周期为 10.因此 f(2016) f( 4) f(4) (16 4) 12.故选 A. 5 2 解析：因为函数 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，所以 f( 1) f(1) 0，f( 1) f( 1 2) f(1)，所以 f(1) 0.因为 f? ? 52 f? ? 12 2 f? ? 12 f? ?12 412 2，所以 f? ? 52 f(1) 2. 6 25 解析： f? ? 52 f? ? 12 f? ?92 f? ?12 ? 12 a 12 25?a 35，因此 f(5a) f(3) f(1) f
7、( 1) 1 35 25. 7 x x2 解析：当 1 x0 时， 0 x 11 ， f(x) f x2 x x2 x x2 . 8 f(x) log12(x 1) 解析：当 x ( 1,0)时， x (0,1)， f( x) log12(1 x)又f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f( x) f(x) log12(1 x)， x ( 1,0)；当 x (1,2)时， x 2 ( 1,0)又 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的函数，所以 f(x) f(x 2)log12(1 x 2) log12(x 1) 9解： (1)f(x)在区间 ( 1,0)， (1， ) 上单调递增 (2)
8、设 x 0，则 x 0，函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时， f(x) x22x， f(x) f( x) ( x)2 2( x) x2 2x(x 0) f(x)? x2 2x x ，x2 2x x (3)g(x) x2 2x 2ax 2，其图象的对称轴方程为 x a 1， 当 a 11 ，即 a0 时， g(1) 1 2a 为最小值； 当 1 a 12 ，即 0 a1 时， g(a 1) a2 2a 1 为最小值； 当 a 1 2，即 a 1 时， g(2) 2 4a 为最小值 综上所述， g(x)min? 1 2a a ， a2 2a a ，2 4a a10解： (1)若
9、 y f(x)为偶函数， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 f( x) f2 (x 2) f2 (x 2) f(4 x) f(x) f(7) f(3) 0，这与 f(x)在闭区间 0,7上， 只有 f(1) f(3) 0 矛盾；因此 f(x)不是偶函数 若 y f(x)为奇函数， 则 f(0) f( 0) f(0) f(0) 0，这与 f(x)在闭区间 0,7上，只有 f(1) f(3) 0 矛盾 因此 f(x)不是奇函数 综上所述，函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2) f(x) f2 (x 2) f2 (x 2) f(4 x)， f(x) f7 (x 7) f7 (x 7) f
10、(14 x)， f(14 x) f(4 x)，即 f10 (4 x) f(4 x) f(x 10) f(x)，即函数 f(x)的周期为 10. 又 f(1) f(3) 0， f(1) f(1 10n) 0(n Z)， f(3) f(3 10n) 0(n Z)， 即 x 1 10n 和 x 3 10n(n Z)均是方程 f(x) 0 的根 由 20111 10n2011 及 n Z 可得 n 0， 1 ， 2 ， 3 ， ， 201 ，共 403 个； 由 20113 10n2011 及 n Z 可得 n 0， 1 ， 2 ， 3 ， ， 200 ， 201，共402 个 方程 f(x) 0 在闭区间 2011,2011上的根共有 805 个
