2022届高考临考模拟卷（四）数学试题（北京卷）（含答案）.rar

20222022 年高考临考模拟卷（四）年高考临考模拟卷（四）数学（北京）数学（北京）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第 1 卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第第 I I 卷（共卷（共 4040 分）分）一、单选题一、单选题( (本大题共本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的) )1设集合，或，则（ ） = |4 + 2 0 = | 2 5() =AB|2 0( 4)( + 2) 0 4 = | 4则 ，则 .= | 2 4() =| 2 2故选：B.2若复数 z 满足，则（ ） + 3 = 42| =A1B2CD32【答案】D【解析】【分析】根据复数相等的定义，结合复数模的运算公式进行求解即可.【详解】设，则， = + (, ) + 3 = + + 3() = 42 = 42解得.4 = 4, 2 = 2, = 1, = 1, | =2+ 2= 2故选：D3已知函数，那么“”是“在上是增函数”的() = 2(2 + )| 0, 0)121的切线，交双曲线右支于，若，则 的渐近线方程为2+ 2= 212=4（ ）AB = 3 = 2CD = 2 = 5【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆相切及三角形的性质，结合双曲线的定义可得，进而得解. = 2【详解】如图所示，设与圆相切于点 ，过作，122 1故，|2|= 2|= 2|1|=|12|2|2|2=4242= 2又，则，12=4|=|2|= 2则，|1|=|1|+|= 2 + 2|2|= 2|2|= 2 2由双曲线定义得，|1|2|= 2 + 22 2 = 2即， = 2故渐近线方程为， = = 2故选：B.6ISO216 是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了 A，B 系列的纸张尺寸设型号为的纸张的面积分别是，它0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6们组成一个公比为 的等比数列，设型号为的纸张的面积分别是121,2,3,4,5,6已知，则 的值为（ ）1,2,3,4,5,62= 1( = 1,2,3,4,5,6)45ABCD212222【答案】C【解析】【分析】利用 是等比数列以及，令求解即可.2= 1 = 5【详解】，令， 2= 1 = 5 52= 45又组成一个公比为 的等比数列， 0,1,2,3,4,5,612， 52= 45= 4 412=1242又，4 0,5 0.45= 2故选：C.7已知实数 是方程的一个解，是方程的一个3+ = 0()3+ = 0解，则可以是（ ）()ABCD()= ()= ()= 3+ ()= 3+ 【答案】B【解析】【分析】依题意可得、，即可得到，从而得解；= 3()+ 3 = 0()【详解】解：依题意，3+ = 0()()3+ ()= 0即，所以，= 3()+ 3 = 0()= 3+ = 即或，()=()3()()= ()所以或；()= ()= 3故选：B8如图是一个底面半径和高都是 1 的装满沙子的圆锥形沙漏，从计时开始，流出沙子的体积 是沙面下降高度 的函数，若正数 ， 满足，则的 = () + = 1()+ ()最大值为（ ）ABCD34971223【答案】C【解析】【分析】先求出，再求出，即得解. =3(23 + 3)()+ ()=3(32+ 3 + 1)【详解】解：由题意得：，0 0, 0) = 点恰好落在渐近线上，则的坐标为_，双曲线的离心率为 =_.【答案】 2(,)【解析】【分析】由题意分析渐近线斜率，然后求离心率【详解】由题意得，且点在第一象限，又点在上， = = =故，即点，= 2+ 2= = 2+ 2= (,)由题意，两条渐近线的夹角，一条渐近线与 轴的夹角相等故一条渐近线与 轴的夹角为，60= 3 = 1 + 3 = 2故答案为：，2(,)14在长方形 ABCD 中，且，则|= 1 =13 = _，_.|= =【答案】 32【解析】【分析】由题可得，结合条件及数量积的运算可得， = +13|= 3，即求. = 2+132【详解】由题可知， ,|= 1 = ， = + = +13 = +13 = + ， = ，可得，( +13)= ( +13)2=132，|= 3. =( +13)( + )= 2+132= 1 +13 3 = 2故答案为：；2.315已知函数，给出下列命题：()=|, 02+ 21, 0 （1）无论 取何值，恒有两个零点；()（2）存在实数 ，使得的值域是 ；()（3）存在实数 使得的图像上关于原点对称的点有两对；()（4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数 的取值 = 1() = 1范围是.(0,2)其中，所有正确命题的序号是_.【答案】 （3） （4）【解析】【分析】本题考查函数的相关性质：（1）利用零点即对应方程的根进行分析处理；（2）结合图像分析值域；（3）考查对称点问题，转化为两个函数交点问题进行处理；（4）利用数形结合分析处理相关问题，把直线绕定点旋转确定临界位置 = 1(0,1)【详解】（1）显然则, 若恒有两个零点，则有且只有|= 0 = 1()() = 2+ 21, 0一个零点，当时，无零点，不符合题意，（1）不成立； = 0() = 21, 0（2）显然，若的值域是 ，则的值域包含| 0()() = 2+ 21, 0，则,(，0) 0但时，的对称轴，即在内递增， 0()(,0)，（2）不成立；() 0又,则,(0)= 2 2综上所诉：，（4）成立0 0 =327 = 3(1)由正弦定理得：，又，故，又，7 = 6 = 32 =372 = 1 (0,)故，；2 =2 =4(2)若选：由正弦定理得：，又，故，此7 = 6 = 32 =472 =43时不存在； 若选：由，又，则，由余弦定理得 =76 0 =32 = 134=127 = 3，2= 2+ 22即，解得或（舍去） ，故的面积为.(73)2= 2+ 648 = 3 = 245 12 = 6 317 （本小题 14 分）如图，三棱柱中，侧面底面，11111, 分别为棱的中点. = = 1= 2,11= 60,11,(1)求证：； (2)求三棱柱的体积；111(3)在直线上是否存在一点 ，使得 平面.若存在，求出的长；若不存在，1 说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)； = 2 3(3)在直线上存在点 ，使得平面，证明见解析.1/【解析】【分析】（1）根据题目中的侧面底面，11 (2)由条件知底面，； ，可证得结论； 111 = 111 = 2 3（3）连接并延长，与的延长线相交，设交点为 ，证线线平行即，进而1/得到线面平行(1)证明：三棱柱中，111侧面底面，11 又因为侧面底面，底面，11 = 所以平面，又因为平面， 11 11所以； (2)连接 ,因为三棱柱中，所以.111111= 因为，所以.又因为，且. = 1= 211= 1= 211= 600 = 3所以是边长为 2 的正三角形.因为 是棱的中点，所以，1111 11又因为，所以. 11/ 11因为，底面，11 11= 111,11111所以底面.所以三棱柱的体积为 111111； = 111 =1211 11 =12 2 2 3 = 2 3(3)在直线上存在点 ，使得平面.1/证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为 .连接.1因为，所以，故 1/1 1 111=11=由于 为棱的中点，所以，故有 111= 1 = 又 为棱的中点，故为的中位线，所以. /又平面，平面，所以平面， /故在直线上存在点 ，使得平面.1/此时，. 1 = 1= 2 = 21= 4 18 （本小题 14 分）近期，某省超过一半的中小学生参加了“全国节约用水大赛”活动现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各 25 名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：成绩50,60)60,70)70,80)80,90)90,100男生（人数）25891女生（人数）ab1032(1)在抽取的 50 名学生中，从大赛成绩在 80 分以上的人中随机取出 2 人，求恰好男、女生各 1 名，且所在分数段不同的概率；(2)从该省参加活动的男学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中大赛成绩在 80 分以上的人数为 X，用频率估计概率，求 X 的分布列和数学期望；(3)试确定 a、b 的值，使得抽取的女生大赛成绩方差最小 （直接写出结论，不需要说明理由）【答案】(1) ；15(2)分布列见解析，；()=65(3). = 0, = 10【解析】【分析】（1）求得所有的抽取情况，以及满足题意的情况，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果；（2）根据 服从二项分布，结合其概率计算公式和数学期望的计算公式，直接求解即可；（3）要使得方差最小，则波动情况最小，结合，直接写出结果即可. + = 10(1)因为大赛成绩在 80 分以上的人共有 15 人，故从中抽取 2 人，共有种；215= 105若要恰好男、女生各 1 名，且所在分数段不同，则共有种；19 12+ 11 13= 21故可得满足题意的概率. =21105=15(2)根据频数分布表可知，大赛成绩在 80 分以上的男生的频率为，1025=25根据题意， 可以取，且，0,1,2,3(3,25)故( = 0)=(35)3=27125,( = 1)= 13(25)(35)2=54125,，( = 2)= 23(25)2(35)=36125( = 3)= 33(25)3=8125故 的分布列如下所示：01232712554125361258125故.()= 3 25=65(3)根据题意，要使得方差最小，则. + = 10 = 0, = 1019 （本小题 14 分）已知函数.() = (1)122( )(1)当时，求曲线在处的切线方程； = 0 = () = 0(2)求函数在上的最小值.()1,2【答案】(1) = 1(2)答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论() = () 0 0函数的单调性，再求函数的最值.(1)当时， = 0() = (1),() = 所以.(0) = 0,(0) = 1所以曲线在处的切线方程为：. = () = 1 = 1(2).() = = ()当时，. 0 0所以时，. 1,2() 0所以在上是增函数.所以.()1,2()= (1) = 12当时，令，解得（舍） 0() = 01= ,2= 01当，即时，时，. 10 0所以在上是增函数.所以.()1,2()= (1) = 122当，即时，1 2 2x(1,)(,2)()-0+()减函数极小值增函数所以.()= () = 122 + (1)3当，即时，时，. 2 2 1,2() 0所以在上是减函数.所以.()1,2()= (2) = 22综上，当时，； ()= 12当时，. 0)(2,0)经过椭圆 的上、下顶点.2+ 2= 1(1)求椭圆 的方程和焦距；(2)已知 ， 分别是椭圆 和圆 上的动点（ ， 不在坐标轴上） ，且直线与 轴平行，线段的垂直平分线与 轴交于点，圆 在点 处的切线与 轴交于点 .求线段长度的最小值.【答案】(1)，；24+ 2= 12 3(2).6【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出，写出椭圆 C 的方程并计算焦距作答.,（2）设出点 P，Q 坐标，求线段 AP 中垂线方程得点 M，求圆 O 在点 Q 处的切线方程得点 N，再借助均值不等式求解作答.(1)依题意，由，得， = 2, = 1 =22= 32 = 2 3所以椭圆 C 的方程为：，焦距为.24+ 2= 12 3(2)设 ，则，依题意，设，且，(0,0) (00 0)204+ 20= 1(1,0)(1 0)21+ 20= 1因，则线段 AP 的中点为，直线 AP 的斜率，(2,0)(022,02)=00+ 2则线段 AP 的中垂线方程为：， 02= 0+ 20(022)令得点 M 的纵坐标，而，则， = 0=02+(0+ 2)(02)20=20+ 20420204 = 420= 302即，(0,320)直线 OQ 的斜率，因此，圆 O 在点 Q 处的切线斜率为，=0110切线方程为，令得点 N 的纵坐标，即0= 10(1) = 0= 0+210=21+ 200=10，(0,10)则有，当且仅当，| = | = |10+320| =1|0|+32|0| 21|0|32|0| = 61|0|=32|0|即时取“=”，0=63所以线段长度的最小值为.621 （本小题 15 分）设，1=1,12=2,2=,，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得 + 1= + 1, + 1 + 1( )0，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合0 ( = 1,2, + 1) + 10点(1)已知，为聚合区间，求 t 的值；1=1,32=2,(0 )(2)已知，为聚合区间1=1,11=2,2=, + 1= + 1, + 1（）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点求证：存在00k，使得； 1,2, + 1, ( = 1,2, + 1)（）若对任意 p，q（且 p，） ，都有 ， 互不包含求证：存 1,2, + 1在不同的 i，使得 1，2， + 11()【答案】(1) =2(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得当且仅当时成立即可得； = 1 =2（2） （）设，根据区间端点的大小关系证明所有区间都包含即可；0 00,0（）先分析可得个互不相同的集合的区间端点的大小关系，再设 + 1，再根据区间端点的最小距离为 ，累加即可证明1 2 . + 11()(1)由可得，又 ， 为聚合区间，由定义可得，故当且仅0 0 1121 2 当时成立，故 = 1 =2(2)（）由，是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设，因为000 0，故，又，故0 ( = 1,2, + 1)1,2. + 1 00 ( = 1,2, + 1)，不妨设中的最大值为，中最小值为，则0 1,2. + 11,2. + 11,2. + 1，即，1,2. + 1 0 0 1,2. + 11,2. + 1 1,2. + 1故存在区间, ( = 1,2, + 1)（）若存在 则或，与已知条件矛盾= ( ), 不妨设 ，则1 2 . + 1 + 1 + 11 0(1)+( + 1) 即，所以， + 1 + 1= ( + 1)1()此时取，则， = , = + 11()当时，同理可取，使得， + 1= = + 1, = 1()综上，存在不同的 i，使得 1，2， + 11()20222022 年高考临考模拟卷（四）年高考临考模拟卷（四）数学（北京）数学（北京）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第 1 卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第第 I I 卷（共卷（共 4040 分）分）一、单选题一、单选题( (本大题共本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的) )1设集合，或，则（ ） = |4 + 2 0 = | 2 5() =ABC或D或|2 2|2 2| 4 5| 2 52若复数 z 满足，则（ ） + 3 = 42| =A1B2CD323已知函数，那么“”是“在上是增函数”的() = 2(2 + )| 0, 0)121的切线，交双曲线右支于，若，则 的渐近线方程为2+ 2= 212=4（ ）AB = 3 = 2CD = 2 = 56ISO216 是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了 A，B 系列的纸张尺寸设型号为的纸张的面积分别是，它0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6们组成一个公比为 的等比数列，设型号为的纸张的面积分别是121,2,3,4,5,6已知，则 的值为（ ）1,2,3,4,5,62= 1( = 1,2,3,4,5,6)45ABCD2122227已知实数 是方程的一个解，是方程的一个3+ = 0()3+ = 0解，则可以是（ ）()ABCD()= ()= ()= 3+ ()= 3+ 8如图是一个底面半径和高都是 1 的装满沙子的圆锥形沙漏，从计时开始，流出沙子的体积 是沙面下降高度 的函数，若正数 ， 满足，则的 = () + = 1()+ ()最大值为（ ）ABCD349712239已知直线与圆相交于两点，当 变化时，: + 1 = 0:(1)2+ 2= 4,的面积的最大值为（ ）ABCD1222 210已知数列满足，1= 02= 21+ 2( )，则数列的第 2022 项为（ ）2 + 1= 2+(1)( )AB210112210123CD210122210111第第 IIII 卷（共卷（共 110110 分）分）二、填空题二、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分) )11已知，若，则()7= 0+ 1 + 22+ + 774= 35_1+ 3+ 5+ 7=12若为偶函数，则_.（填写符合要求的一个() = 2( + ) =值）13已知双曲线的左焦点为 ，若点 关于渐近线对称的2222= 1( 0, 0) = 点恰好落在渐近线上，则的坐标为_，双曲线的离心率为 =_.14在长方形 ABCD 中，且，则|= 1 =13 = _，_.|= =15已知函数，给出下列命题：()=|, 02+ 21, 0 （1）无论 取何值，恒有两个零点；()（2）存在实数 ，使得的值域是 ；()（3）存在实数 使得的图像上关于原点对称的点有两对；()（4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数 的取值 = 1() = 1范围是.(0,2)其中，所有正确命题的序号是_.三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 8585 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) )16 （本小题 14 分）在中， 7 = 6(1)若，求； =37(2)若，从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求 = 8 的面积 条件：； 条件： =47 =3217 （本小题 14 分）如图，三棱柱中，侧面底面，11111, 分别为棱的中点. = = 1= 2,11= 60,11,(1)求证：； (2)求三棱柱的体积；111(3)在直线上是否存在一点 ，使得 平面.若存在，求出的长；若不存在，1 说明理由.18 （本小题 14 分）近期，某省超过一半的中小学生参加了“全国节约用水大赛”活动现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各 25 名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：成绩50,60)60,70)70,80)80,90)90,100男生（人数）25891女生（人数）ab1032(1)在抽取的 50 名学生中，从大赛成绩在 80 分以上的人中随机取出 2 人，求恰好男、女生各 1 名，且所在分数段不同的概率；(2)从该省参加活动的男学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中大赛成绩在 80 分以上的人数为 X，用频率估计概率，求 X 的分布列和数学期望；(3)试确定 a、b 的值，使得抽取的女生大赛成绩方差最小 （直接写出结论，不需要说明理由）19 （本小题 14 分）已知函数.() = (1)122( )(1)当时，求曲线在处的切线方程； = 0 = () = 0(2)求函数在上的最小值.()1,220 （本小题 14 分）已知椭圆 ：的左顶点为，圆 ：22+22= 1( 0)(2,0)经过椭圆 的上、下顶点.2+ 2= 1(1)求椭圆 的方程和焦距；(2)已知 ， 分别是椭圆 和圆 上的动点（ ， 不在坐标轴上） ，且直线与 轴平行，线段的垂直平分线与 轴交于点，圆 在点 处的切线与 轴交于点 .求线段长度的最小值.21 （本小题 15 分）设，1=1,12=2,2=,，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得 + 1= + 1, + 1 + 1( )0，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合0 ( = 1,2, + 1) + 10点(1)已知，为聚合区间，求 t 的值；1=1,32=2,(0 )(2)已知，为聚合区间1=1,11=2,2=, + 1= + 1, + 1（）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点求证：存在00k，使得； 1,2, + 1, ( = 1,2, + 1)（）若对任意 p，q（且 p，） ，都有 ， 互不包含求证：存 1,2, + 1在不同的 i，使得 1，2， + 11()