1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 14 讲 导数与函数的单调性 考纲要求 考情分析 命题趋势 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般不超过三次 ) 2017 全国卷 ， 21 2017 江苏卷， 11 2017 浙江卷， 7 2017 山东卷， 15 导数与函数的单调性是高考命题热点问题，题型有利用导数求函数的单调区间和已知单调性求参数的取值范围，难度较大 分值： 5 8 分 函数的导数与单调性的关系 函数 y f(x)在某个区间内可导，则 (1)若 f( x)0，则 f(x)在这个区间内 _单调递增 _； (2)若 f( x)0
2、.( ) (2)如果函数在某个区间内恒有 f( x) 0，则函数 f(x)在此区间内没有单调性 ( ) (3)导数为零的点不一定是极值点 ( ) (4)三次函数在 R 上必有极大值和极小值 ( ) 解析 (1)错误函数 f(x)在区间 (a， b)上单调递增 ，则 f( x)0 ，故 f( x)0 是f(x)在区间 (a， b)上单调递增的充分不必要条件 (2)正确如果函数在某个区间内恒有 f( x) 0，则 f(x)为常数函数如 f(x) 3，则 f( x) 0，函数 f(x)不存在单调性 (3)正确导数为零的点不一定是极值点如函数 y x3在 x 0 处导数为零，但 x 0不是函数 y x
3、3的极值点 (4)错误对于三次函数 y ax3 bx2 cx d， y 3ax2 2bx c.当 (2b)212ac0)的单调递减区间是 (0,4)，则 m ！ 13 #. 解析 f( x) 3mx2 6(m 1)x， f(x)的递减区间为 (0,4)，则由 f( x) 3mx2 6(m 1)x0，f ?0? 0，f ?4? 0?m 13. 5函数 f(x) sin x2 cos x的单调递增区间是 ? ?2k 23 ， 2k 23 (k Z) #. 解析 f( x) 2cos x 1?2 cos x?2，由 f( x)0 得 cos x 12， x ? ?2k 23 ， 2k 23 (k Z
4、) 一 求函数的单调区间 =【 ;精品教育资源文库 】 = 利用导数求函数的单调区间的两种方法 方 法一： (1)确定函数 y f(x)的定义域； (2)求导数 y f( x)； (3)令 f( x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)令 f( x)0，得 x2 4x 50(x0)，解得 x5； 由 f( x)0)，解得 00)； (2)f(x) 13x3 12(a a2)x2 a3x a2. 解析 (1)函数的定义域为 x|x0 f( x) ? ?x ax 1 ax2 1x2(x a)(x a) 要求 f(x)的单调递减区间，不妨令 f( x)1 时，不等式解集为 x|a1 时，
5、函数 y 13x3 12(a a2)x2 a3x a2的单调递减区间为 (a，a2)； 当 00(或 f( x)0 时，由 f( x)0 时， f(x)在 ( 1,1)上不单调， f( x) 0 在 ( 1,1)内有解 x a3， 0bc B cba C cab D acb =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)(2017 江苏卷 )已知函数 f(x) x3 2x ex 1ex，其中 e 是自然对数的底数若 f(a 1) f(2a2)0 ，则实数 a 的取值范围是 ！ ? ? 1， 12 #. 解析 (1) 函数 y f(x 1)的图象关于点 (1,0)对称， y f(x)的图象关于点 (0
6、,0)对称， y f(x)为奇函数 令 g(x) xf(x)，则 g(x) xf(x)为偶函数，且 g( x) f(x) xf( x)ab，故选 C (2)由 f(x) x3 2x ex 1ex，得 f( x) x3 2x 1ex ex f(x)，所以 f(x)是 R 上的奇函数，又 f( x) 3x2 2 ex 1ex3 x2 2 2 ex 1ex 3x20 ，当且仅当 x 0 时取等号，所以 f(x)在其定义域内单调递增，所以不等式 f(a 1) f(2a2)0 ?f(a 1) f(2a2) f( 2a2)?a 1 2a2，解得 1 a 12，故实数 a 的取值范围是 ? ? 1， 12
7、. 1 (2017 浙江卷 )函数 y f(x)的导函数 y f( x)的图象如图所示，则函数 y f(x)的图象可能是 ( D ) 解析 根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数 f(x)在这些零点处取得极值，排除 A 项， B 项；记函数 f( x)的零点从左到右分别为 x1， x2， x3，又在 ( ， x1)上 f( x)0，所以函数 f(x)在 ( ， x1)上单调递减，排除 C 项，故选 D 2函数 f(x)的定义域为 R， f(0) 2，对任意的 x R， f(x) f( x)1，则不等式ex f(x)ex 1 的解集是 ( A ) A
8、x|x0 B x|x1 D x|x1， g( x) ex(f(x) f( x) 1)0， g(x)在 R 上是增函数 又 g(0) e0 f(0) e0 1 0， ex f(x)ex 1?ex f(x) ex 10?g(x)0?g(x)g(0)?x0，故选 A 3 (2018 河北邯郸一模 )已知函数 f(x) ln x 12ax2 x m(m R)为增函数，那么实数 a 的取值范围为 ！ ? ?14， #. 解析 f( x) 1x ax 1， x0.依题意可得 f( x)0 ， 则 a ? ?1x 1x2 max，而 1x 1x2 ? ?1x 12 2 14 14， 当 x 2 时，等号成立
9、，所以 a 的取值范围是 ? ?14， . 4设函数 f(x) x3 ax2 9x 1(a0，故 f(x)在 ( ， 1)上为增函数； 当 x ( 1,3)时， f( x)0，故 f(x)在 (3， ) 上为增函数 可见，函数 f(x)的单调递增区间为 ( ， 1)和 (3， ) ，单调递减区间为 ( 1,3) 易错点 导数与单调性的关系不明确 =【 ;精品教育资源文库 】 = 错因分析：可导函数 f(x)在某区间上 f( x)0(f( x)0，在 (0， ) 上 f( x)0” 是 “ f(x)在 R 上单调递增 ” 的 ( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分
10、也不必要条件 解析 f( x) 32x2 a，当 a0 时， f( x)0 恒成立，故 “ a0” 是 “ f(x)在 R 上单调递增 ” 的充分不必要条件 4 (2016 全国卷 )函数 y 2x2 e|x|在 2,2的图象大致为 ( D ) 解析 易知 y 2x2 e|x|是偶函数，设 f(x) 2x2 e|x|，则 f(2) 22 2 e2 8 e2，所以 00 ，当 ln 40 的解集为 ( D ) A ( ， 2) (1， ) B ( ， 2) (1,2) C ( ， 1) ( 1,0) (2， ) D ( ， 1) ( 1,1) (3， ) 解析 由题图可知， f( x)0，则 x ( ， 1) (1， ) ， f( x)0 等价于? f ?x?0，x2 2x 30 或 ? f ?x?1，x3 或 ? 10，故函数 exf(x) ex2 x在 ( ， ) 上为增函数，故 符合要求； 对于 ， exf(x) ex3 x，故 exf(x) (ex3 x) ex3 x(1 ln 3)0，故函数exf(x) ex3 x在 ( ， ) 上为减函数，故 不符合要求； 对于 ， exf(x) ex x3，故 exf(x) (ex x3) ex( x3 3x2)，显然函数 exf(x) ex x3在 ( ， ) 上 不单调，故 不符合要求；
