1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 58 讲 古典概型 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解古典概型及其概率计算公式 2会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 . 2017 山东卷， 8 2016 江苏卷， 7 2016 天津卷， 16 古典概型主要考查实际背景的等可能事件，通常与互斥事件、对立事件等知识相结合进行考查 . 分值： 5 分 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是 _互斥 _的； (2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成 _基本事件 _的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典 概率模型，简称古典概型 (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事
2、件 _只有有限个 _； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性 _相等 _ 3古典概型的概率公式 P(A) A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同 ( ) (2)从 3， 2， 1,0,1,2 中任取一数，取到的数小于 0 与不小于 0 的可能性相同 ( ) (3)分别从 3 名男同 学、 4 名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同 ( ) (4)利用古典概型的概率公式求 “ 在边长为 2 的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或
3、等于 1” 的概率 ( ) (5)“ 从长为 1 的线段 AB 上任取一点 C，求满足 AC 13的概率是多少 ” 是古典概型 ( ) 解析 (1)错误摸到红球的概率为 12，摸到黑球的概率为 13，摸到白球的概率为 16. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)正确取到小于 0 的数的概率为 12，取 到不小于 0 的数的概率也为 12. (3)错误男同学当选的概率为 13，女同学当选的概率为 14. (4)错误由于正方形内点的个数具有无限性，与古典概型不符 (5)错误线段上的点及所取的点不具有古典概型所满足的有限性，所以 (5)错误 2从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 (
4、 C ) A 15 B 13 C 23 D 1 解析 基本事件总数为 (甲、乙 )、 (甲、丙 )、 (乙、丙 )共 3 种，甲被选中共 2 种，则 P 23. 3从 1,2,3,4,5,6 六个数中任取 2 个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( D ) A 35 B 25 C 13 D 23 解析 从六个数中任取 2 个数有 15 种方法，取出的两个数是连续自然数有 5 种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率 P 1 515 23. 4从分别写有 1,2,3,4,5 的五张卡 片中依次取两张，假设每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和为偶
5、数的概率为 ( D ) A 45 B 1625 C 1325 D 25 解析 列举法：从分别写有 1,2,3,4,5 的五张卡片中依次取两张，总的情况为： (1,2)，(1,3)， (1,4)， (1,5)， (2,1)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (3,1)， (3,2)， (3,4)， (3,5)， (4,1)，(4,2)， (4,3)， (4,5)， (5,1)， (5,2)， (5,3)， (5,4)共 20 种情况两张卡片上的数字之和为偶数的有： (1,3)， (1,5)， (2,4)， (3,1)， (3,5)， (4,2)， (5,1)， (5,3)共 8 种情况
6、 从分别写有 1,2,3,4,5 的五张卡片中依次取两张，这两张卡片上的数字之和为偶数的概率 P 820 25，故选 D 5将甲、乙两球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则=【 ;精品教育资源文库 】 = 在 1,2 号盒子中各有一个球的概率为 ( B ) A 19 B 29 C 127 D 227 解析 依题意得，甲、乙两球各有 3 种不同的放法，共 9 种放法，其中 1,2 号盒子中各有一个球的放法有 2 种，故有 1,2 号盒子中各有一个球的概率为 29. 一 简单的古典概型问题 求古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数 n. (2)算出
7、事件 A 包含的所有基本事件的个数 m. (3)代入公式 P(A) mn，求出 P(A) 【例 1】 (1)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球， 5 个红球从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球的概率为 ( B ) A 521 B 1021 C 1121 D 1 (2)从分别标有 1,2， ? ， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ( C ) A 518 B 49 C 59 D 79 解析 (1)从 15 个球中任取 2 个球共有 C215种取法，其中有 1
8、个红球， 1 个白球的情况有C110C 15 50(种 )，所以 P 50C215 1021. (2)所求概率为 P C12C15C14C19C18 59. 二 复杂的古典概型问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 求较复杂事件的概率问题的方法 (1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解 (2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解 【例 2】 为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为 2 000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡 (简称金卡 )，向省内人士发行的是熊猫银卡 (简称银卡 )某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四
9、川名胜景区旅游，其中 34是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有 13持金卡，在省内游客中有 23持银卡 (1)在该团中随机采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率； (2)在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率 解析 (1)由题意得，省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；省内游客有 9 人，其中 6 人持银卡设事件 A 为 “ 采访该团 2 人，恰有 1 人持银卡 ” ，则 P(A) C16C130C236 27，所以采访该团 2 人，恰有 1 人持银卡的概率是 27. (2)设事件 B 为 “ 采访该团 2 人，持金卡与持银卡人数相等 ” ，可以分为事件
10、 B1为 “ 采访该团 2 人，持金卡 0 人，持银卡 0 人 ” ，或事件 B2为 “ 采访该团 2 人，持金卡 1 人，持银卡 1 人 ” 两种情况 则 P(B) P(B1) P(B2) C221C236C19C16C236 44105， 所以采访该团 2 人，持金卡与持银卡人数相等的概率是 44105. 三 知识交汇中的古典概型问题 古典概型可 以出现在很多问题背景下，关键是理解题目的实际含义，找出基本事件的总数及目标事件的数目 【例 3】 (2017 山东卷 )在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理
11、暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有 6 名男志愿者 A1， A2， A3， A4， A5， A6和 4 名女志愿者 B1， B2， B3， B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 (1)求接受甲种心理暗示 的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率； (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 E(X) 解析 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的事件为 M，则 P(M) C48C510=【 ;精品教育资源文库 】 = 518. (2)由题意知
12、X 可取的值为： 0,1,2,3,4，则 P(X 0) C56C510142， P(X 1)C46C14C510 521， P(X 2) C36C24C510 1021， P(X 3)C26C34C510 521， P(X 4) C16C44C510 142. 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! X 的数学期望是 E(X) 0 P(X 0) 1 P(X 1) 2 P(X 2) 3 P(X 3) 4 P(X 4) 0 1 521 2 1021 3 521 4 142 2. 1投掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为 3 的概
13、率是 ( B ) A 19 B 16 C 118 D 112 解析 抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为 3 的情况有： 1,4； 4,1；2,5； 5,2； 3,6； 6,3；共 6 种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有 36 种，所以所求概率P 636 16，故选 B 2已知函数 f(x) 13x3 ax2 b2x 1，若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数， b 是从0,1,2 三个数中任取的 一个数，则该函数有两个极值点的概率为 ( D ) A 79 B 13 C 59 D 23 解析 f( x) x2 2ax b2，要使函数 f(x)有两个极值点则有 (2a)2
14、4b2 0，即a2 b2.由题意知所有的基本事件 9 个，即 (1,0)， (1,1)， (1,2)， (2,0)， (2,1)， (2,2)， (3,0)，(3,1)， (3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值满足 a2 b2的有 6 个=【 ;精品教育资源文库 】 = 基本事件， 即 (1,0)， (2,0)， (2,1)， (3,0)， (3,1)， (3,2)，所以所求事件的概率为 69 23. 3盒子中装有标有数字且大小相同的小球，其中 m 个小球标有数字 1,3 个小球标有数字 3,2 个小球标有数字 5.若从盒子中任取 2 个球，可得这两个球所标数字之和
15、为 6 的概率是 1345.若从盒子中任取 3 个球，则三个球所标数字之和小于 10 的概率为 ( B ) A 4960 B 5360 C 2360 D 1315 解析 依题意 C1mC12 C23C2m 5 1345，化简得 13m2 63m 10 0，解得 m 5， 任取 3 个球它们所标数字之和小于 10 的情况有： (1,1,1)， (1,1,3)， (1,1,5)， (1,3,3)， (1,3,5)， (3,3,3)， 故所求概率为： C35 C25C13 C25C12 C15C23 C15C13C12 C33C310 5360. 4某校 50 名学生参加智力答题活动，每人回答 3 个问题，答对题目个数的及对应人数统计结果如下表 . 答对题目个数 0 1 2 3 人数 5 10 20 15 根据上表信息解答以下问题： (1)从这 50 名学生任选两人，求两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率； (2)从这 50 名学生中任选 两人，用 X 表示这两名学生答对题目之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X) 解析 (1)记 “ 两人答对题目个数之和为 4 或 5
