1、=【; 精品教育资源文库 】=第 61 讲 条件概率、 n 次独立重复试验与二项分布考纲要求 考情分析 命题趋势2017全国卷，132016四川卷，121.了解条件概率和两个事件相互独立的概念2理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.分值：5 分主要考查对事件独立性的辨识能力和根据相关概型运用公式进行计算的能力.1条件概率(1)定义：设 A， B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)_ _为在事件 A 发生的P?AB?P?A?条件下，事件 B 发生的条件概率(2)性质：0 P(B|A)1；如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B C|A)_ P(B|A
2、) P(C|A)_2事件的相互独立性(1)定义：设 A， B 为两个事件，如果 P(AB)_ P(A)P(B)_，则称事件 A 与事件 B相互独立(2)性质：若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)_ P(B)_， P(A|B) P(A)， P(AB)_ P(A)P(B)_如果事件 A 与 B 相互独立，那么_ A 与 _，_ 与 B_，_ 与 _也都相互独立B A A B3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在_相同_条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. Ai (i1,2， n)表示第 i 次试验结果，则 P(A1A2A3An)_ P(A1)P(A2)P(An)_(
3、2)二项分布在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率是 p，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作_ X B(n， p)_，并称 p 为_成功概率_在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X k)_C pk(1 p)knn k_(k0，1,2， n)1思维辨析(在括号内打“”或“”)=【; 精品教育资源文库 】=(1)若事件 A， B 相互独立，则 P(B|A) P(B)( )(2)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率， P(AB)表示事件 A， B同时发生的概率，一定有 P(AB) P
4、(A)P(B) ( )(3)对于任意两个事件，公式 P(AB) P(A)P(B)都成立( )(4)若条件 A 与 B 独立，则 A 与 ， 与 B， 与 不一定相互独立( )B A A B(5)抛掷 2 枚质地均匀的硬币， “第 1 枚为正面”为事件 A， “第 2 枚为正面”为事件B，则 A， B 相互独立( )(6)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(X k)C pk(1 p)knn k， k0,1,2， n 表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生次数的概率分布( )(7)在 n 次独立重复试验中，事件恰好发生 k 次的概率为 C pk.( )kn2一张储蓄
5、卡的密码共有 6 个数字，每位数字都可从 09 中任选一个，某人忘记了密码的最后一位数字但记得是偶数，则不超过 2 次就按对的概率为_ _.25解析 由题意知，此人在按最后一位数字时，有“0,2,4,6,8”5 种可能，所以此人按前两次的所有基本事件有 nA 20(个)，不超过 2 次就按对的基本事件为 mC A 8(个)，25 142故 P .mn 820 253由 0,1 组成的三位编号中，若用 A 表示“第二位数字为 0 的事件” ，用 B 表示“第一位数字为 0 的事件” ，则 P(A|B)_ _.12解析 因为第一位数字可为 0 或 1，所以第一位数字为 0 的概率 P(B) ，第一
6、位数字12为 0 且第二位数字也是 0，即事件 A， B 同时发生的概率 P(AB) ，所以 P(A|B)12 12 14 .P?AB?P?B?1412 124甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，若两人投中的概率都是 0.6，则至少有一人投中的概率为_0.84_.解析 由题意可得，甲、乙未投中的概率均为 10.60.4，故甲、乙两人分别进行一次投篮均未投中的概率 0.40.40.16，故所求概率 P1 0.84.P P5(2017全国卷)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， X 表示抽到的二等品件数，则 D(X)_1.96_.解析 依题意，
7、X B(100,0.02)，所以 D(X)1000.02(10.02)1.96.=【; 精品教育资源文库 】=一 条件概率条件概率的两种求解方法(1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A) ，求 P(B|A)P?AB?P?A?(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A) .n?AB?n?A?【例 1】 (1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( A )
8、A0.8 B0.75 C0.6 D0.45(2)(2018湖北黄冈调考)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A 是“取到的两数之和为偶数” ，事件 B 是“取到的两个数均为偶数” ，则 P(B|A)( B )A B 18 14C D25 12(3)如图， EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ， B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ，则 P(B|A)_ _.14解析 (1)根据条件概率公式 P(B|A) ，可得所求概率为 0.8.P?AB?P?A? 0.60.75
9、(2)P(A) ， P(B) ，又 A?B，则 P(AB) P(B) ，C23 C2C25 25 C2C25 110 110所以 P(B|A) .P?AB?P?A? P?B?P?A? 14=【; 精品教育资源文库 】=(3)由题意可得，事件 A 发生的概率 P(A) ，事件 AB 表S正 方 形 EFGHS圆 O 22 12 2示“豆子落在 EOH 内” ，则 P(AB) .故 P(B|A) .S EOHS圆 O 1212 12 12 P?AB?P?A?122 14二 事件的独立性求相互独立事件同时发生的概率的方法：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，
10、可从其对立事件入手计算【例 2】 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度，不超过 22 千米的地铁票价如下表.乘坐里程x/km0x66x1212x22票价/元 3 4 5现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过 22 千米，已知甲、乙乘车不超过 6 千米的概率分别为 ，甲、乙乘车超过 6 千米且不超过 12 千米的概率分别为 ， .1413 12 13(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量 ，求 的分布列解析 (1)由题意可知，甲、乙乘车超过 12 千米且不超过 22 千米的概率分别为 ，则1413甲、乙两人所
11、付乘车费用相同的概率 P1 ，所以甲、乙两人所付乘14 13 12 13 14 13 13车费用不相同的概率 P1 P11 .13 23(2)由题意可知， 6,7,8,9,10.且 P( 6) ，14 13 112P( 7) ，14 13 12 13 14P( 8) ，14 13 14 13 12 13 13P( 9) ，12 13 14 13 14P( 10) ，14 13 112=【; 精品教育资源文库 】=所以 的分布列为 6 7 8 9 10P 112 14 13 14 112三 独立重复试验与二项分布利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式
12、P(X k)C pk(1 p)n k的三个条件：(1)在一次试验中某事件 A 发生的概率是kn一个常数 p；(2) n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率【例 3】 (2018河南开封模拟)博彩公司曾经对 2016 年 NBA 总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取 7 场 4 胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜 4 场就结束比赛，前 4 场，马刺队胜利的概率为 ，第 5,6 场马刺队因为平均年
13、龄大，体能下降12厉害，所以胜利的概率降为 ，第 7 场，马刺队因为有多次打第 7 场的经验，所以胜利的概25率为 .35(1)分别求马刺队以 40,41,42,43 胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率；(2)随机变量 X 为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量 X 的分布列解析 (1)设“马刺队以 40 胜利”为事件 A， “马刺队以 41 胜利”为事件 B， “马刺队以 42 胜利”为事件 C， “马刺队以 43 胜利”为事件 D， “总决赛马刺队获得冠军”为事件 E，则 P(A) 4 ， P(B)C 4 ，(12) 116 34(12) 25 110P(C)C 4 C 4 2 ，34(
14、12) 35 25 24(12) (25) 325P(D)C 4 3C 4C C 4 .34(12) (35) 24(12) 12 25 35 35 14(12) 25 25 35 93500P(E) P(A) P(B) P(C) P(D) .9372 000(2)随机变量 X 的可能取值为 4,5,6,7，P(X4) 42 ， P(X5)C 4 ，(12) 18 34(12) (25 35) 14=【; 精品教育资源文库 】=P(X6)2C 4 C 4 ，34(12)(2535) 24(12) (425 925) 63200P(X7)1 P(X4) P(X5) P(X6) ，31100所以随
15、机变量 X 的分布列为X 4 5 6 7P 18 14 63200 311001袋中有 5 个小球(3 白 2 黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( C )A B 35 34C D12 310解析 在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有 2 个白球和 2 个黑球共 4个球，故取到白球的概率 P .24 122(2018广东六校联考)已知甲有 5 张红卡、2 张蓝卡和 3 张绿卡，乙有 4 张红卡、3 张蓝卡和 3 张绿卡他们分别从自己的 10 张卡片中任取一张进行打卡游戏比赛设事件A1， A2， A3表示甲取出的一张卡分别是红卡、蓝卡和绿卡；事件 B 表示乙取出的一张卡是红卡，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号) P(B) ； P(A1|B) ；事件 B 与事件 A
