1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 35 讲 基本不等式 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题 . 2016 江苏卷，14 2015 全国卷 ， 12 2015 福建卷， 6 对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查 . 分值： 5 分 1基本不等式 ab a b2 (1)基本不等式成立的条件： _a0， b0_. (2)等号成立的条件：当且仅当 _a b_时取等号 2几个重要的不等式： (1)a2 b2_ 2ab_(a， b R) (2)ba ab_ 2_(a， b
2、同号 ) (3)ab ? ?a b2 2(a， b R) (4)a2 b22 ?a b22(a， b R) 3算术平均数与几何平均数 设 a 0， b 0，则 a， b 的算术平均数为 _a b2 _，几何平均数为 _ ab_，基本不等式可叙述为 _两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 _. 4利用基本不等式求最值问题 已知 x 0， y 0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 _x y_时， x y 有最 _小 _值是 _2 p_(简记：积定和最小 )； (2)如果和 x y 是定值 p，那么当且仅当 _x y_时， xy 有最 _大 _值是 _p24_(简记：和定积最
3、大 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)函数 y x 1x的最小值是 2.( ) (2)函数 f(x) cos x 4cos x， x ? ?0， 2 的最小值等于 4.( ) (3)x 0， y 0 是 xy yx2 的充要条件 ( ) (4)若 a 0，则 a3 1a2的最小值为 2 a.( ) 解析 (1)错误因为 x 没有确定符号，所以不能说最小值为 2. (2)错误利用基本不等式时，等号不成立 (3)错误不是充要条件，当 x0， n0， m n2 mn 18.当且仅当 m n 9 时，等号成立 3若 M a2 4a (a R， a0
4、) ，则 M 的取值范围为 ( A ) A ( ， 4 4， ) B ( ， 4 C 4， ) D 4,4 解析 M a2 4a a4a，当 a0 时， M4 ；当 a2， x 20， f(x) x 1x 2 (x 2) 1x 2 22 ?x 2? 1x 2 2 2 2 4，当且仅当 x 2 1x 2， 即 (x 2)2 1 时，等号成立， x 1 或 3.又 x2， x 3，即 a 3. 【例 3】 (1)(2018 山东烟台期末 )已知正实数 x， y 满足 2x 1y 1，若 x 2ym2 2m恒成立，则实数 m 的取值范围是 ( B ) A ( 2,4) B ( 4,2) C ( ，
5、2 4， ) D ( ， 4 2， ) (2)(2018 福建南平一模 )已知 x， y 都是非负实数，且 x y 2，则 8?x 2?y 4?的最小值为 ( B ) A 14 B 12 C 1 D 2 (3)(2018 河南许昌二模 )已知 x， y 均为正实数，且 1x 2 1y 2 16，则 x y 的最小值=【 ;精品教育资源文库 】 = 为 ( C ) A 24 B 32 C 20 D 28 解析 (1)因为 x0， y0， 2x 1y 1，所以 x 2y (x 2y) ? ?2x 1y 4 4yx xy4 2 4yxxy 8，当且仅当 x 4， y 2 时取等号，所以 x 2y 的
6、最小值是 8. 所以 m2 2m0 恒成立，得 k 10， b0)在两圆的公共弦上，则 1a 9b的最小值为 _8_. 解析 由题意知，圆 C1： x2 y2 4 和圆 C2： (x 2)2 (y 2)2 4 两个方程相减即可得=【 ;精品教育资源文库 】 = 到两圆公共弦所在直线的方程，即 x y 2，又点 P(a， b)(a0， b0)在两圆的公共弦上，所以 a b 2，则 1a 9b 12(a b)? ?1a 9b 12? ?10 ba 9ab 5 12 ? ?ba 9ab 5 122 ba 9ab 8? 当且仅当 b 3a，即 a 12， ?b 32时，等号成立 ，所以 1a 9b的最
7、小值为 8. 易错点 不会凑出常数 错因分析：式子的最大、最小值应为常数，为凑出常数，需要 “ 拆 ”“ 拼 ”“ 凑 ” 等技巧 【例 1】 已知正数 x， y 满足 x 2 2xy (x y)恒成立，则 的最小值为 _. 解析 由已知得 x 2 2xyx y 恒成立 x 2 2xyx y x 2 x2 yx y x x 2yx y 2， (当且仅当 x 2y 时取等号 ) 2 ， 的最小值为 2. 答案 2 【跟踪训练 1】 已知 x 为正实数，且 x2 y22 1，求 x 1 y2的最大值 解析 因为 x0， 所以 x 1 y2 2 x2? ?12 y22 22 ?x2?12y22 .
8、又 x2 ? ?12 y22 ?x2 y22 1232. 所以 x 1 y2 2? ?12 32 3 24 ，当且仅当 x2 12 y22， 即 x 32 时，等号成立故 (x 1 y2)max 3 24 . 课时达标 第 35 讲 解密考纲 考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现在解答题中也渗透基本不等式的应用 一、选择题 1已知 f(x) x 1x 2(x0，则下列不等式中，恒成立的是 ( C ) A a b2 ab B 1a 1b 1ab C ba ab2 D a2 b22ab 解析 ab 0， ba 0， ab 0， ba ab2 ba ab 2，当且仅当 a b 时取等号 3若
9、 a0 ， b0 ，且 a(a 2b) 4，则 a b 的最小值为 ( C ) A 2 B 4 C 2 D 2 2 解析 a0 ， b0 ， a 2b0 ，又 a(a 2b) 4， 4 a(a 2b) ?a a 2b?24 ，当且仅当 a a 2b 2 时等号成立 (a b)24 ， a b2. 4函数 y x2 2x 1(x1)的最小值是 ( A ) A 2 3 2 B 2 3 2 C 2 3 D 2 解析 x 1， x 1 0. y x2 2x 1x2 2x 2x 2x 1 x2 2x 1 2?x 1? 3x 1 ?x 1?2 2?x 1? 3x 1 x 13x 1 2 2 ?x 1? ?
10、3x 1 2 2 3 2. 当且仅当 x 1 3x 1，即 x 1 3时，取等号 5若正数 a， b 满足 a b 2，则 1a 1 4b 1的最小值是 ( B ) A 1 B 94 C 9 D 16 解析 1a 1 4b 1 ? ?1a 1 4b 1 ?a 1? ?b 1?4 14 ? ?1 4 b 1a 1 4?a 1?b 1 14(5=【 ;精品教育资源文库 】 = 2 4) 94，当且仅当 b 1a 1 4?a 1?b 1 ， b 1 2(a 1)时取等号，故选 B 6小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a0)图象上的点，则 x y 的最小值为 _2 2_. 解析 因为 x
11、0，所以 y 0，且 xy 2.由基本不等式得 x y2 xy 2 2，当且仅当x y 时等号成立 8已知正数 x， y 满足 x 2y 2，则 x 8yxy 的最小值为 _9_. 解析 由已知得 x 2y2 1，则 x 8yxy 1y 8x ? ?1y 8x ? ?x 2y2 12? ?10 xy 16yx 12(102 16) 9，当且仅当 x 43， y 13时取等号 9已知 x， y 为正实数， 3x 2y 10， 3x 2y的最大值为 _2 5_. 解析 由 a b2 a2 b22 得 3x 2y 2 ? 3x?2 ? 2y?2 2 3x 2y 2 5， 当且仅当 x 53， y 5
12、2时取等号 三、解答题 10 (1)当 x0， y 12(2x 3) 82x 3 32 =【 ;精品教育资源文库 】 = 12? ?3 2x? 163 2x 32 122 ?3 2x? 163 2x 32 4 32 52， 当且仅当 3 2x 163 2x，即 x 12时， ymax 52. 函数 y 的最大值为 52. (2) 00， y x?4 2x? 122 x?4 2x? 12? ?2x 4 2x2 2 2，当且仅当 2x 4 2x，即x 1 时， ymax 2. 11已知 x0， y0，且 2x 8y xy 0，求： (1)xy 的最小值； (2)x y 的最小值 解析 (1) x0
13、， y0,2x 8y xy 0， xy 2x 8y2 16xy 8 xy， xy( xy 8)0 ，又 xy0 ， xy8 即 xy64. 当且仅当 x 4y 即 8y 8y 4y2 0 时，即 y 4， x 16 时取等号， xy 的最小值为 64. (2) 2x 8y xy0， 2y 8x 1， x y (x y)? ?2y 8x 10 2xy 8yx 10 2 2xy 8yx 18. 当且仅当 2xy 8yx ，即 x 2y 即 4y 8y 2y2 0 时，即 y 6， x 12 时取等号， x y的最小值为 18. 12某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站 (又称泵站 )经预算，修建一个增压站的费用为 400 万元，铺设距离为 x km 的相邻两增压站之间的输油管 道的费用为 (x2 x)万元设余下工程的总费用为 y 万元 (1)试将 y 表示成 x 的函数； (2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小，其最小值为多少？ 解析 (1)设需要修建 k 个增压站，
