1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 35 讲 基本不等式 解密考纲 考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现在解答题中也渗透基本不等式的应用 一、选择题 1已知 f(x) x 1x 2(x0，则下列不等式中，恒成立的是 ( C ) A a b2 ab B 1a 1b 1ab C ba ab2 D a2 b22ab 解析 ab 0， ba 0， ab 0， ba ab2 ba ab 2，当且仅当 a b 时取等号 3若 a0 ， b0 ，且 a(a 2b) 4，则 a b 的最小值为 ( C ) A 2 B 4 C 2 D 2 2 解析 a0 ， b0 ， a 2b0 ，又 a(a 2b)
2、 4， 4 a(a 2b) a a 2b24 ，当且仅当 a a 2b 2 时等号成立 (a b)24 ， a b2. 4函数 y x2 2x 1(x1)的最小值是 ( A ) A 2 3 2 B 2 3 2 C 2 3 D 2 解析 x 1， x 1 0. y x2 2x 1x2 2x 2x 2x 1 x2 2x 1 x 3x 1 x2 x 3x 1 x 13x 1 2 2 x ? ?3x 1 2 2 3 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当 x 1 3x 1，即 x 1 3时，取等号 5若正数 a， b 满足 a b 2，则 1a 1 4b 1的最小值是 ( B ) A 1 B
3、 94 C 9 D 16 解析 1a 1 4b 1 ? ?1a 1 4b 1 a b4 14 ? ?1 4 b 1a 1 ab 1 14(5 2 4) 94，当且仅当 b 1a 1 ab 1 ， b 1 2(a 1)时取等号，故选 B 6小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a0)图象上的点，则 x y 的 最小值为 _2 2_. 解析 因为 x 0，所以 y 0，且 xy 2.由基本不等式得 x y2 xy 2 2，当且仅当x y 时等号成立 8已知正数 x， y 满足 x 2y 2，则 x 8yxy 的最小值为 _9_. 解析 由已知得 x 2y2 1，则 x 8yxy 1y 8x
4、 ? ?1y 8x ? ?x 2y2 12? ?10 xy 16yx 12(102 16) 9，当且仅当 x 43， y 13时取等号 9已知 x， y 为正实数， 3x 2y 10， 3x 2y的最大值为 _2 5_. 解析 由 a b2 a2 b22 得 3x 2y 2 3x2 2y 2 2 3x 2y2 5， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当 x 53， y 52时取等号 三、解答题 10 (1)当 x0， y 12(2x 3) 82x 3 32 12? ? 2x 163 2x 32 122 2x 163 2x 32 4 32 52， 当且仅当 3 2x 163 2x，即 x
5、12时， ymax 52. 函数 y 的最大值为 52. (2) 00， y x 2x 122 x 2x 12? ?2x 4 2x2 2 2，当且仅当 2x 42x，即 x 1 时， ymax 2. 11已知 x0， y0，且 2x 8y xy 0，求： (1)xy 的最小值； (2)x y 的最小值 解析 (1) x0， y0,2x 8y xy 0， xy 2x 8y2 16xy 8 xy， xy( xy 8)0 ，又 xy0 ， xy8 即 xy64. 当且仅当 x 4y 即 8y 8y 4y2 0 时，即 y 4， x 16 时取等号， xy 的最小值为 64. (2) 2x 8y xy
6、0， 2y 8x 1， x y (x y)? ?2y 8x 10 2xy 8yx 10 2 2xy 8yx 18. =【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当 2xy 8yx ，即 x 2y 即 4y 8y 2y2 0 时，即 y 6， x 12 时取等号， x y的最小值为 18. 12某地需要修建一条大 型输油管道通过 240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站 (又称泵站 )经预算，修建一个增压站的费用为 400 万元，铺设距离为 x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为 (x2 x)万元设余下工
7、程的总费用为 y 万元 (1)试将 y 表示成 x 的函数； (2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小，其最小值为多少？ 解析 (1)设需要修建 k 个增压站， 则 (k 1)x 240，即 k 240x 1， 所以 y 400k (k 1)(x2 x) 400 ? ?240x 1 240x (x2 x) 96 000x 240x 160. 因为 x 表示相邻两增压站之间的距离，则 0 x 240. 故 y 与 x 的函数关系是 y 96 000x 240x 160(0 x 240) (2)y 96 000x 240x 1602 96 000x 240 x 160 24 80 0 160 9 440，当且仅当 96 000x 240x，即 x 20 时等号成立， 此时 k 240x 1 24020 1 11. 故需要修建 11 个增压站才能使 y 最小，其最小值为 9 440 万元
