1、 第 1 页 共 3 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 27.2.2 相似三角形的性质相似三角形的性质 1理解相似三角形的性质；(重点) 2会利用相似三角形的性质解决简单的问题(难点) 一、情境导入 两个三角形相似， 除了对应边成比例、 对应角相等之外， 还可以得到许多有用的结论 例 如，在图中，ABC 和ABC是两个相似三角形，相似比为 k，其中 AD、AD分别为 BC、 BC边上的高，那么 AD、AD之间有什么关系？ 二、合作探究 探究点一： 相似三角形的性质 【类型一】 利用相似比求三角形的周长和面积 如图所示，平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，且 BEEC，BD、AE
2、相交 于 F 点 (1)求BEF 与AFD 的周长之比； (2)若 SBEF6cm2，求 SAFD. 解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解 解：(1)在平行四边形 ABCD 中，ADBC，且 ADBC，BEFAFD.又BE 1 2BC， BE AD BF DF EF AF 1 2，BEF 与AFD 的周长之比为 BEBFEF ADDFAF 1 2； (2)由(1)可知BEFDAF，且相似比为1 2， SBEF SAFD( 1 2) 2，S AFD4SBEF46 24cm2. 方法总结： 理解相似三角形的周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方是解决问题 的
3、关键 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 4、6 题 【类型二】 利用相似三角形的周长或面积比求相似比 若ABCABC，其面积比为 12，则ABC 与ABC的相似比为( ) A12 B. 22 C14 D. 21 解析： ABCABC， 其面积比为 12， ABC 与ABC的相似比为 1 2 第 2 页 共 3 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 22.故选 B. 方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方 【类型三】 利用相似三角形的性质和判定进行计算 如图所示，在锐角三角形 ABC 中，AD，CE 分别为 BC，AB 边上的高，ABC 和 BDE 的面积分
4、别为 18 和 8，DE3，求 AC 边上的高 解析：求 AC 边上的高，先将高线作出，由ABC 的面积为 18，求出 AC 的长，即可求 出 AC 边上的高 解：过点 B 作 BFAC，垂足为点 F.ADBC, CEAB，RtADB RtCEB， BD BE AB CB， 即 BD AB BE CB， 且ABCDBE， EBDCBA, SBED SBCA( DE AC) 2 8 18.又DE3，AC4.5.SABC 1 2ACBF18, BF8. 方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比 的平方来解答 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 6 题
5、 【类型四】 利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题 如图所示，PNBC，ADBC 交 PN 于 E，交 BC 于 D. (1)若 APPB12，SABC18，求 SAPN； (2)若 SAPNS四边形PBCN12，求AE AD的值 解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由APN 与四边形 PBCN 的面积比可得APN 与ABC 的面积比，进而可得其对应边的比 解：(1)因为 PNBC，所以APNB，ANPC，APNABC，所以S APN SABC (AP AB) 2.因为 APPB12，所以 APAB13.又因为 S ABC18，所以S APN SABC( 1 3
6、) 21 9，所 以 SAPN2； (2)因为 PNBC，所以APEB，AEPADB，所以APEABD，所以AP AB AE AD， SAPN SABC( AP AB) 2(AE AD) 2.因为 S APNS四边形PBCN12， 所以S APN SABC 1 3( AE AD) 2， 所以AE AD 1 3 3 3 . 方法总结： 利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于 相似比的平方 第 3 页 共 3 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 7 题 【类型五】 利用相似三角形的性质解决动点问题 如图，已知ABC 中，AB
7、5，BC3，AC4，PQAB，P 点在 AC 上(与 A、C 不重合)，Q 点在 BC 上 (1)当PQC 的面积是四边形 PABQ 面积的1 3时，求 CP 的长； (2)当PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等时，求 CP 的长 解析： (1)由于 PQAB， 故PQCABC， 当PQC 的面积是四边形 PABQ 面积的1 3时， CPQ 与CAB 的面积比为 14， 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方， 可求出 CP 的长；(2)由于PQCABC，根据相似三角形的性质，可用 CP 表示出 PQ 和 CQ 的长， 进而可表示出 AP、BQ 的长根据CPQ 和四边形 PABQ 的周
8、长相等，可将相关的各边相 加，即可求出 CP 的长 解：(1)PQAB，PQCABC，SPQC1 3S 四边形PABQ，SPQCSABC14， 1 4 1 2，CP 1 2CA2； (2)PQCABC，CP CA CQ CB PQ AB， CP 4 CQ 3 ，CQ3 4CP.同理可知 PQ 5 4CP， CPCQCPPQCQCP5 4CP 3 4CP3CP， C 四边形PABQPAABBQPQ(4CP) AB(3CQ)PQ4CP533 4CP 5 4CP12 1 2CP，12 1 2CP3CP， 7 2CP 12，CP24 7 . 方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段 的问题是解题的关键 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8 题 三、板书设计 1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对 应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比； 3相似三角形的面积的比等于相似比的平方 本节教学过程中， 学生们都主动地参与了课堂活动， 积极地交流探讨， 发现的问题较多： 相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好 相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等同学们讨论非常激烈，本节课堂教学 取得了明显的效果.
