1、 1 / 9 20142014 年中考数学分类汇编年中考数学分类汇编与函数有关的选择题压轴题与函数有关的选择题压轴题 2014 年与函数有关的选择题压轴题，考点涉及：一次函数性质；反比例函数性质，反 比例函数比例系数 k 的几何意义及不等式的性质， ；曲线上点的坐标与方程的关系；二次函 数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点，二次函数与一元二次方程的 关系，二次函数与不等式；相似三角形的判定和性质；轴对称的性质.数学思想涉及：数形 结合；化归；方程.现选取部分省市的 2014 年中考题展示，以飨读者. 【题 1】 （2014济宁第 8 题）“如果二次函数 y=ax2+bx+
2、c 的图象与 x 轴有两个公共点，那么 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面问 题：若 m、n（mn）是关于 x 的方程 1（xa） （xb）=0 的两根，且 ab，则 a、b、 m、n 的大小关系是（ ） A mabn B amnb C ambn D manb 【考点】 ： 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 ： 依题意画出函数 y=（xa） （xb）图象草图，根据二次函数的增减性求解 【解答】 ： 解：依题意，画出函数 y=（xa） （xb）的图象，如图所示 函数图象为抛物线，开口向上，与 x 轴两个交点的横坐标分别为 a，b（ab） 方
3、程 1（xa） （xb）=0 转化为（xa） （xb）=1，方程的两根是抛物线 y= （xa） （xb）与直线 y=1 的两个交点 由 mn，可知对称轴左侧交点横坐标为 m，右侧为 n 由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随 x 增大而减少，则有 ma；在对称轴 右侧，y 随 x 增大而增大，则有 bn 综上所述，可知 mabn 故选 A 2 / 9 【点评】 ： 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想解题 时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算 【题 2】 （2014 年山东泰安第 20 题）二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c
4、 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表： X 1 0 1 3 y 1 3 5 3 下列结论： （1）ac0； （2）当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小 （3）3 是方程 ax2+（b1）x+c=0 的一个根； （4）当1x3 时，ax2+（b1）x+c0来源:学#科#网 其中正确的个数为（ ） A4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 【分析】 ： 根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x=1.5， 然后根据二次函数的性质对各 小题分析判断即可得解 【解答】 ：由图表中数据可得出：x=1 时，y=5 值最大，所以二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下， a0
5、；又 x=0 时，y=3，所以 c=30，所以 ac0，故（1）正确； 二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下，且对称轴为 x=1.5，当 x1.5 时，y 的值随 x 值 的增大而减小，故（2）错误； x=3 时，y=3，9a+3b+c=3，c=3，9a+3b+3=3，9a+3b=0，3 是方程 ax2+（b1） x+c=0 的一个根，故（3）正确； x=1 时，ax2+bx+c=1，x=1 时， ax2+ （b1）x+c=0，x=3 时，ax2+ （b1）x+c=0， 且函数有最大值，当1x3 时，ax2=（b1）x+c0，故（4）正确 3 / 9 故选 B 【点评】 ：本题考查了二次函
6、数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点， 二次函数与不等式，有一定难度熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键 【题 3】 （2014 年山东烟台第 11 题）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过 点（1，0） ，对称轴为直线 x=2，下列结论： 4a+b=0；9a+c3b；8a+7b+2c0；当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而增大 其中正确的结论有（ ） A1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【分析】 ：根据抛物线的对称轴为直线 x=2，则有 4a+b=0；观察函数图象得到当 x= 3 时，函数值小于 0，则 9a3b+c0，即 9a+
7、c3b；由于 x=1 时，y=0，则 ab+c=0， 易得 c=5a，所以 8a+7b+2c=8a28a10a=30a，再根据抛物线开口向下得 a0，于是 有 8a+7b+2c0；由于对称轴为直线 x=2，根据二次函数的性质得到当 x2 时，y 随 x 的增 大而减小来源:学*科*网 【解答】 ：抛物线的对称轴为直线 x=2，b=4a，即 4a+b=0，所以正确； 当 x=3 时，y0，9a3b+c0，即 9a+c3b，所以错误； 抛物线与 x 轴的一个交点为（1，0） ，ab+c=0， 而 b=4a，a+4a+c=0，即 c=5a，8a+7b+2c=8a28a10a=30a， 抛物线开口向下
8、，a0，8a+7b+2c0，所以正确； 对称轴为直线 x=2， 当1x2 时，y 的值随 x 值的增大而增大，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，所以 错误故选 B 【点评】 ：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，二次项系 数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下 开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时（即 ab0） ， 4 / 9 对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛
9、物线与 y 轴交于（0，c） ；抛物线与 x 轴交点个数由决定，=b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b24ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点 【题 4】（2014威海第 11 题）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列说法： c=0；该抛物线的对称轴是直线 x=1；当 x=1 时，y=2a；am2+bm+a0（m1） 其中正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4来源:学&科& 网 Z&X&X&K 【考点】： 二次函数图象与系数的关系 【分析】： 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0
10、的关系，然后根据对称轴及抛 物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】： 解：抛物线与 y 轴交于原点，c=0，故正确； 该抛物线的对称轴是：，直线 x=1，故正确； 当 x=1 时，y=2a+b+c， 对称轴是直线 x=1， ，b=2a， 又c=0， y=4a，故错误； x=m 对应的函数值为 y=am2+bm+c， x=1 对应的函数值为 y=ab+c，又 x=1 时函数取得最小值， 5 / 9 ab+cam2+bm+c，即 abam2+bm， b=2a， am2+bm+a0（m1）故正确 故选：C 【点评】： 本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数 y=ax2+
11、bx+c （a0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的 交点抛物线与 x 轴交点的个数确定 【题 5】（2014宁波第 12 题）已知点 A（a2b，24ab）在抛物线 y=x2+4x+10 上，则点 A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）来源:163文库 A （3，7） B （1，7） C （4，10） D （0，10） 【考点】： 二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化对称 【分析】： 把点 A 坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理， 然后 根据非负数的性质列式求出 a、b，再求出点 A 的坐标，然后求 出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可 【解答】： 解：
12、点 A（a2b，24ab）在抛物线 y=x2+4x+10 上， （a2b）2+4 （a2b）+10=24ab， a24ab+4b2+4a8ab+10=24ab， （a+2）2+4（b1）2=0， a+2=0，b1=0， 解得 a=2，b=1， a2b=22 1=4， 24ab=24 （2） 1=10，来源:学+科+网 点 A 的坐标为（4，10）， 对称轴为直线 x=2， 点 A 关于对称轴的对称点的坐标为（0，10） 故选 D 【点评】： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性， 坐标与图形的变化对称， 把点的坐标代入抛物线解析式并整理 6 / 9 成非负数的形式是解题的关键
13、 【题 6】 （2014温州第 10 题）如图，矩形 ABCD 的顶点 A 在第一象限，ABx 轴，ADy 轴，且对角线的交点与原点 O 重合在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，若矩形 ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点 A 的反比例函数 y= （k0）中 k 的值的变化情况 是（ ） A 一直增大 B 一直减小 C 先增大后减小 D 先减小后增大 【考点】 ： 反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质来源:163文库 【分析】 ： 设矩形 ABCD 中，AB=2a，AD=2b，由于矩形 ABCD 的周长始终保持不变，则 a+b 为定值根据矩形对角线的交点与原点 O 重
14、合及反比例函数比例系数 k 的几何意 义可知 k= AB AD=ab，再根据 a+b 一定时，当 a=b 时，ab 最大可知在边 AB 从 小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，k 的值先增大后减小 【解答】 ： 解：设矩形 ABCD 中，AB=2a，AD=2B 矩形 ABCD 的周长始终保持不变， 2（2a+2b）=4（a+b）为定值， a+b 为定值 矩形对角线的交点与原点 O 重合 k= AB AD=ab， 又a+b 为定值时，当 a=b 时，ab 最大， 在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，k 的值先增大后减小 故选 C 【点评】 ： 本题考查了矩形的性质，反比例函
15、数比例系数 k 的几何意义及不等式的性质，有 7 / 9 一定难度根据题意得出 k= AB AD=ab 是解题的关键 【题 7】 （2014 年山东泰安第 17 题）已知函数 y=（xm） （xn） （其中 mn）的图象如图 所示，则一次函数 y=mx+n 与反比例函数 y=的图象可能是（ ） AB CD 【分析】 ： 根据二次函数图象判断出 m1，n=1，然后求出 m+n0，再根据一次函数 与反比例函数图象的性质判断即可 【解答】 ：由图可知，m1，n=1，所以，m+n0， 所以，一次函数 y=mx+n 经过第二四象限，且与 y 轴相交于点（0，1） ， 反比例函数 y=的图象位于第二四象限
16、，来源:163文库 纵观各选项，只有 C 选项图形符合故选 C 【点评】 ：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象 判断出 m、n 的取值是解题的关键 【题 8】（2014.福州第 10 题）如图，已知直线yx2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点， 与双曲线 k y x 交于 E，F 两点. 若 AB=2EF，则 k 的值是【 】来源:学|科|网 Z|X|X|K 来 A1 B1 C 1 2 D 3 4 8 / 9 【考点】：1.反比例函数与一次函数交点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.相似三 角形的判定和性质；4.轴对称的性质. 【题 9】 （2
17、014. 泸州第 12 题）如图，在平面直角坐标系中，P 的圆心坐标是（3，a） （a 3） ，半径为 3，函数 y=x 的图象被P 截得的弦 AB 的长为，则 a 的值是（ ） A 4 B C D 【解答】 ： 解：作 PCx 轴于 C，交 AB 于 D，作 PEAB 于 E，连结 PB，如图， P 的圆心坐标是（3，a） ， OC=3，PC=a， 把 x=3 代入 y=x 得 y=3，来源:163文库 D 点坐标为（3，3） ， 9 / 9 CD=3， OCD 为等腰直角三角形， PED 也为等腰直角三角形， PEAB， AE=BE= AB= 4=2， 在 RtPBE 中，PB=3， PE=， PD=PE=， a=3+ 故选 B 【点评】 ： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也 考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质
