1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 67 讲 坐标系 解密考纲 高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，两种不同方式的方程的互化是考查的热点，常以解答题的形式出现 1求椭圆 x24 y2 1 经过伸缩变换? x 12x，y y后的曲线方程 解析 由? x 12x，y y得到? x 2x ，y y ， 代入 x24 y2 1，得 4x24 y2 1，即 x 2 y 2 1. 因此椭圆 x24 y2 1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2 y2 1. 2在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已
2、知点 A 的极坐标为 ? ?2， 4 ，直线 l 的极坐标方程为 cos? ? 4 a，且点 A 在直线 l上 (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程； (2)圆 C 的参数方程为? x 1 cos ，y sin ( 为参数 )，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 解析 (1)由点 A? ?2， 4 在直线 l 上，得 2cos? ? 4 4 a，则 a 2，故直线 l 的方程可化为 sin cos 2，得直线 l 的直角坐标方程为 x y 2 0. (2)圆 C 的普通方程为 (x 1)2 y2 1，圆心 C 到直线 l 的距离 d |1 0 2|12 12 121，所以直线 l 与
3、圆 C 相交 3 (2018 海南模拟 )已知曲线 C1的极坐标方程为 6cos ，曲线 C2的极坐标方程为 4( R)，曲线 C1， C2相交于 A， B 两点 (1)把曲线 C1， C2的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)求弦 AB 的长度 解析 (1)曲线 C2的直角坐标方程为 y x，曲线 C1： 6cos ， 即 2 6 cos ，所以 x2 y2 6x，即 (x 3)2 y2 9. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2) 圆心 (3,0)到直线的距离 d 3 22 ，圆 C1的半径 r 3， |AB| 2 r2 d2 3 2. 弦 AB 的长度为 3 2. 4在直角坐标系 x
4、Oy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为 2 21 sin2 ，直线 l 的极坐标方程为 42sin cos . (1)写出曲线 C1与直线 l 的直角坐标方程； (2)设 Q 为曲线 C1上一动点，求 Q 点到直线 l 的距离的最小值 解析 (1)根据 2 x2 y2， x cos ， y sin ，可得 C1的直角坐标方程为x2 2y2 2，直线 l 的直角坐标方程为 x 2y 4. (2)设 Q( 2cos ， sin )，则点 Q 到直线 l 的距离为 d | 2sin 2cos 4|3 ? ?2sin? ? 4 43 232 3
5、3 ， 当且仅当 4 2k 2 ，即 2k 4(k Z)时取等号 点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 2 33 . 5 (2016 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x 6)2 y2 25. (1)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l 的参数方程是? x tcos ，y tsin (t 为参数 )， l 与 C 交于 A， B 两点， | |AB 10，求 l 的斜率 解析 (1)由 x cos ， y sin ， 可得圆 C 的极坐标方程为 2 12 cos 11 0. (2)在 (1)中建立的极坐标系中，直线 l
6、 的极坐标方程为 ( R) 设 A， B 所对应的极径分别为 1， 2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2 12 cos 11 0. 于是 1 2 12cos ， 1 2 11. |AB| | 1 2| 1 2 2 4 1 2 144cos 2 44. 由 |AB| 10，得 cos2 38， tan 153 . 所以 l 的斜率为 153 或 153 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 6 (2017 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为? x 2 t，y kt (t 为参数 )，直线 l2的参数方程为? x 2 m，y mk (m 为参数 )设 l1与
7、 l2的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程； (2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： (cos sin ) 2 0， M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径 解析 (1)消去参数 t 得 l1的普通方程 l1： y k(x 2)；消去参数 m 得 l2的普通方程 l2： y 1k(x 2) 设 P(x， y)，由题设得? y k x ，y 1k x ， 消去 k 得 x2 y2 4(y0) 所以 C 的普通方程为 x2 y2 4(y0) (2)C 的极坐标方程为 2(cos 2 sin 2 ) 4(0 2 ， ) 联立 ? 2 2 sin2 4， sin 2 0 得 cos sin 2(cos sin ) 故 tan 13，从而 cos 2 910， sin 2 110. 代入 2(cos 2 sin 2 ) 4 得 2 5，所以交点 M 的极径为 5.
