1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 26 讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 . 2016 全国卷 ， 13 2016 全国卷 ， 3 2016 北京卷，4 2016 天津卷，7 2016 山东卷，8 1.平面向量的数量积是高考的热点，主要考查平面向量数量积的运
2、算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题 2数量积的综合应用是高考的重点，常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查 . 分值： 5 分 1平面向量的数量积 若两个 _非零 _向量 a 与 b，它们的夹角为 ，则 _|a|b|cos _叫做 a 与 b 的数量积 (或内积 )，记作 _ab |a|b|cos _. 规定：零向量与任一向量的数量积为 _0_. 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 _ab 0_，两 个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是 _ab |a|b|_. 2平面向量数量积的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 方向上的投影 _|b
3、|cos _的乘积 3平面向量数量积的重要性质 (1)ea ae _|a|cos a， e _； (2)非零向量 a， b， a b?_ab 0_； (3)当 a 与 b 同向时， a b _|a|b|_；当 a 与 b 反向时， ab _ |a|b|_， aa _a2_， |a| _ aa _； (4)cos _ a b|a|b|_； (5)|ab| _ _|a|b|. =【 ;精品教育资源文库 】 = 4平面向量数量积满足的运算律 (1)ab _ba _(交换律 )； (2)(a ) b (ab ) _a( b)_( 为实数 )； (3)(a b)c _ac bc _. 5平面向量数量积性
4、质的坐标表示 设向量 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 ab _x1x2 y1y2_； 由此得到： (1)若 a (x， y)，则 |a|2 _x2 y2_，或 |a| _ x2 y2_； (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 A， B 两点间的距离 |AB| |AB | _ ?x1 x2?2 ?y1 y2?2_； (3)设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b?_x1x2 y1y2 0_. 6平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a b) (a b) a2 b2； (2)(a b)2 a2 2ab b2； (3)(a b)2 _a2 2a
5、b b2_. 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)一个向 量在另一个向量方向上的投影为数量，且有正有负，也可为零 ( ) (2)若 a b，则必有 ab 0 .( ) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量 ( ) (4)若 ab 0 且 a 与 b 不共线， 则? 3 2 4 0，2 6 20 ， 解得 13， 所以 的取值范围是 ? ? ， 43 ? ?0， 13 ? ?13， . 三 平面向量的模及综合应用 =【 ;精品教育资源文库 】 = 向量模的运算方法 (1)若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量 a 的模可直接利用 |a| x2 y
6、2. (2)若向量 a， b是非坐标形式出现的，求向量 a的模可应用公式 |a|2 a2 aa 或 |a b|2 (a b)2 a22 ab b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解 【例 3】 (1)在平面直角坐标系内，已知 B( 3， 3 3)， C(3， 3 3)，且 H(x， y)是曲线 x2 y2 1 上任意一点，则 BH CH 的最大值为 _6 3 19_. (2)(2018 河北石家庄二模 )已知向量 a， b， c 满足 |a| 2， |b| ab 3，若 (c2a) (2b 3c) 0，则 |b c|的最大值是 _ 2 1_. 解析 (1)由题意得 BH (x 3，
7、 y 3 3)， CH (x 3， y 3 3)，所以 BH CH (x 3，y 3 3)( x 3， y 3 3) x2 y2 9 6 3y 27 6 3y 19 6 3 19，当且仅当 y 1 时取最大值 (2)设 a 与 b 的夹角为 ，则 ab |a|b|cos ， cos ab|a|b| 33 2 22 ， 0， ， 4. 设 OA a， OB b， c (x， y)，建立如图所示的平面直角坐标系则 A(1,1)， B(3,0)， c 2a (x 2， y 2)， 2b 3c (6 3x， 3y)， (c 2a) (2b 3c) 0， (x 2)(6 3x) (y 2)( 3y) 0
8、. 即 (x 2)2 (y 1)2 1.又知 b c (3 x， y)， |b c| ?x 3?2 y2 ?3 2?2 ?0 1?2 1 2 1， 即 |b c|的最大值为 2 1. 1在 ABC 中，已知向量 AB (2,2)， |AC | 2， AB AC 4，则 ABC 的面积为 ( C ) A 4 B 5 C 2 D 3 解析 AB (2,2)， |AB | 22 22 2 2. AB AC |AB | AC |cos A 2 22cos A 4， =【 ;精品教育资源文库 】 = cos A 22 ， 00， |a b| 2cos x. (2)f(x) cos 2x 2cos x 2
9、cos 2x 2cos x 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2? ?cos x 12 2 32. x ? ? 3 ， 4 ， 12cos x1 ， 当 cos x 12时 ， f(x)取得最小值 32； 当 cos x 1 时 ， f(x)取得最大值 1. 易错点 忽视或弄错向量的几何表示 错因分析：利用向量的几何意义表示三角形的四心，关键是弄清这四心的定义及性质 【例 1】 已知点 O， N， P 在 ABC 所在平面内，且 |OA | |OB | |OC |， NA NB NC 0，PA PB PB PC PC PA ，则点 O， N， P 依次是 ABC 的 ( ) A重心、外心、
10、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心 解析 第一个条件表明 O 到 A， B， C 三顶点的距离相等，即为 ABC 的外心，设 D 为 BC的中点，则 NB NC 2ND ， NA 2ND 0，则 N 为 ABC 的中线 AD 靠近 D 的三等分点，即为 ABC 的重心 ；由 PA PB PB PC 得 PB ( PC PA ) 0， PB AC 0，同理 PA BC 0， PC AB 0，则知 P 与三顶点的连线和对边垂直，所以 P 为 ABC 的垂心，故选 C 答案 C 【跟踪训练 1】 已知 O 是平面内的一定点， A， B， C 是此平面内不共线的三个动点，
11、若动点 P 满足 OP OA (AB AC )， (0， ) ，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的 ( C ) A内心 B外心 C重心 D垂心 解析 由原等式，得 OP OA (AB AC )，即 AP (AB AC )，根据平行四边形法则，知 AB AC 是 ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点 )所对应向量 AD 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过 ABC 的重心 课时达标 第 26 讲 解密考纲 本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难 一、选择题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1已知向量
12、 a (x 1,2)， b (2,1)，则 a b 的充要条件是 ( D ) A x 12 B x 1 C x 5 D x 0 解析 由向量垂直的充要条件，得 2(x 1) 2 0.解得 x 0. 2已知非零向量 a， b， |a| |b| |a b|，则 cos a， a b ( C ) A 12 B 12 C 32 D 32 解析 设 |a| |b| |a b| 1，则 (a b)2 a2 2ab b2 1， ab 12， a (a b) a2 ab 1 12 32. |a b| a2 b2 2ab 1 1 1 3， cos a， a b321 332 . 3已知向量 |OA | 2， |
13、OB | 4， OA OB 4，则以 OA ， OB 为邻边的平行四边形的面积为( A ) A 4 3 B 2 3 C 4 D 2 解析 因为 cos AOB OA OB|OA |OB | 424 12，所以 AOB 60 ， sin AOB 32 .所以所求的平行四边形的面积为 |OA | OB |sin AOB 4 3，故选 A 4 (2018 山西四校二联 )已知平面向量 a， b 满足 a (a b) 3，且 |a| 2， |b| 1，则向量 a 与 b 夹角的正弦值为 ( D ) A 12 B 32 C 12 D 32 解析 a (a b) a2 ab 22 21cos a， b 4
14、 2cos a， b 3， cos a， b 12，又 a， b 0， ， sin a， b 1 cos2 a， b 32 ，故选 D 5 (2018 甘肃兰州模拟 )若 ABC 的三个内角 A， B， C 度数成等差数列，且 (AB AC ) BC 0，则 ABC 一定是 ( C ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A等腰直角三角形 B非等腰直角三角形 C等边三角形 D钝角三角形 解析 因为 (AB AC ) BC 0，所以 (AB AC )( AC AB ) 0，所以 AC 2 AB 2 0，即 |AC | |AB |，又 A， B， C 度数成等差数列，故 2B A C，又 A B C ，所以 2B B，所以 3B ， B 3
