1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 50 讲 椭 圆 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 2了解圆锥曲线的简单应用，了解椭圆的实际背景 3理解数形结合的思想 . 2017 全国卷 ，10 2017 浙江卷， 2 2016 江苏卷， 10 1.求解与椭圆定义有关的问题，利用椭圆的定义求轨迹方程，求椭圆的标准方程，确定椭圆焦点的位置 2求解与椭圆的范围、对称性有关的问题；求解椭圆的离心率，求解与椭圆的焦点三角形有关的问题 . 分值： 5 12 分 1椭圆的定义 平面内与两个 定点 F1， F2的距离之和等于常数 (大于 | |F1F2 )的点的轨迹
2、叫做 _椭圆 _这两个定点叫做椭圆的 _焦点 _，两焦点间的距离叫做椭圆的 _焦距 _ 集合 P M| |MF1 | |MF2 2a， | |F1F2 2c，其中 a0， c0，且 a， c 为常数 (1)若 _a c_，则集合 P 为椭圆； (2)若 _a c_，则集合 P 为线段； (3)若 _a c_，则集合 P 为空集 2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b2 1(a b 0) x2b2y2a2 1(a b 0) 图形 性 质 范围 _ a_ x_ a_， _ b_ y_ b_ _ b_ x_ b_， _ a_ y_ a_ 对称性 对称轴： _坐标轴 _，对称中心： _(
3、0,0)_ 顶点 A1_( a,0)_，A2_(a,0)_， A1_(0， a)_， A2_(0， a)_， B1_( b,0)_， B2_(b,0)_ =【 ;精品教育资源文库 】 = B1_(0， b)_， B2_(0， b)_ 轴 长轴 A1A2的长为 _2a_，短轴 B1B2的长为 _2b_ 焦距 | |F1F2 _2c_ 离心率 e _ca_， e _(0,1)_ a， b，c 的关系 c2 _a2 b2_ 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)平面内与两个定点 F1， F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1， F2构成 P
4、F1 F2的周长为 2a 2c(其中 a 为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距 ) ( ) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 ( ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 ( ) 解析 (1)错误由椭圆的定义知，当该常数大于 | |F1F2 时，其轨迹才是椭圆，而常数等于 | |F1F2 时，其轨迹为线段 F1F2，常数小于 | |F1F2 时，不存在图形 (2)正确由椭圆的定义得， | |PF1 | |PF2 2a，又 | |F1F2 2c，所以 | |PF1 | |PF2 | |F1F2 2a 2c. (3)错误因为 e ca a2 b2a 1 ?ba2，所以 e 越大，则
5、 ba越小，椭圆就越扁 (4)正确由椭 圆的对称性知，其关于原点中心对称也关于两坐标轴对称 2 (2017 浙江卷 )椭圆 x29y24 1 的离心率是 ( B ) A 133 B 53 C 23 D 59 解析 根据题意知， a 3， b 2，则 c a2 b2 5， 椭圆的离心率 e ca 53 ，故选 B 3设 P 是椭圆 x24y29 1 上的点，若 F1， F2是椭圆的两个焦点，则 | |PF1 | |PF2 ( C ) A 4 B 8 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 6 D 18 解析 依定义知 | |PF1 | |PF2 2a 6. 4若方程 x25 my2m 3 1 表示
6、椭圆，则 m 的范围是 ( C ) A ( 3,5) B ( 5,3) C ( 3,1) (1,5) D ( 5,1) (1,3) 解析 由方程表示椭圆知? 5 m 0，m 3 0，5 m m 3，解得 3 m 5 且 m1. 5已知 F1， F2是椭圆 C 的左，右焦点，点 P 在椭圆上，且满足 | |PF1 2| |PF2 ， PF1F2 30 ，则椭圆的离心率为 _ 33 _. 解析 在 PF1F2中，由正弦定理得 sin PF2F1 1，即 PF2F1 2 ，设 | |PF2 1，则 | |PF1 2， | |F2F1 3，所以离 心率 e 2c2a 33 . 一 椭圆的定义 椭圆定义
7、的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1， F2组成的三角形通常称为 “ 焦点三角形 ” ，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求 | |PF1 | |PF2 ，通过整体代入可求其面积等 【例 1】 (1)如图所示，一圆形 纸片的圆心为 O， F 是圆内一定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是 ( A ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 (2)已知 F1， F2是椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的两个焦点， P
8、 为椭圆 C 上的一点，且 PF1 =【 ;精品教育资源文库 】 = PF2 .若 PF1F2的面积为 9，则 b _3_. 解析 (1)由折叠过程可 知点 M 与点 F 关于直线 CD 对称，故 | |PM | |PF ，所以 | |PO | |PF | |PO | |PM | |OM r，由椭圆的定义可知， P 点的轨迹为椭圆 (2)设 | |PF1 r1， | |PF2 r2，则? r1 r2 2a，r21 r22 4c2， 2r1r2 (r1 r2)2 (r21 r22) 4a2 4c2 4b2. 又 S PF1F2 12r1r2 b2 9， b 3. 二 椭圆的标准方程 求椭圆的标准
9、方程的方法 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a， b 的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx2 ny2 1(m0， n0， m n)的形式 【例 2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程 (1)过点 ( 3， 5)，且与椭 圆 y225x29 1 有相同的焦点； (2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5,3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点； (3)经过两点 ? ? 32， 52 ， ( 3， 5) 解析 (1)椭圆 y2
10、25x29 1 的焦点为 (0， 4)， (0,4)，即 c 4. 由椭圆的定义知， 2a ? 3 0?2 ? 5 4?2 ? 3 0?2 ? 5 4?2. 解得 a 2 5. 由 c2 a2 b2可得 b2 4. 所以所求椭圆的标准方程为 y220x24 1. (2)设椭圆的长半轴长，短半轴长，焦距分别为 2a,2b,2c， 由已知条件得? 2a 5 3，?2c?2 52 32， 解得 a 4， c 2， b2 12. 故椭圆方 程为 x216y212 1 或y216x212 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)设椭圆方程为 mx2 ny2 1(m， n 0， m n)， 由? ?
11、 322m?522n 1，3m 5n 1，解得 m 16， n 110. 椭圆方程为 y210x26 1. 三 椭圆的几何性质 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出 a， c，从而求解 e，通过已知条件列方程组，解出 a， c 的值 (2)构造 a， c 的齐次式，解出 e，由已知条件得出 a， c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解 (3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率 【例 3】 (1)(2017 全国卷 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且 以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离
12、心率为 ( A ) A 63 B 33 C 23 D 13 (2)已知 F1( c,0)， F2 (c,0)为椭圆 x2a2y2b2 1 的两个焦点， P 在椭圆x2a2y2b2 1 上，且满足 PF1 PF2 c2，则此椭圆离心率的取值范围是 ( C ) A ? ?33 ， 1 B ? ?13， 12 C ? ?33 ， 22 D ? ?0， 22 解析 (1)以线段 A1A2 为直径的圆的方程为 x2 y2 a2，由原点到直线 bx ay 2ab 0的距离 2abb2 a2 a，得 a2 3b2，所以 C 的离心率 e 1 b2a263 ，故选 A (2)由椭圆的定义得 | |PF1 |
13、|PF2 2a， 平方得 | |PF1 2 | |PF2 2 2| |PF1 | |PF2 4a2. 又 PF1 PF2 c2， | |PF1 | |PF2 cos F1PF2 c2. 由余弦定理得 | |PF1 2 | |PF2 2 2| |PF1 | |PF2 cos F1PF2 | |F1F2 2 4c2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 ，得 cos F1PF2 c22a2 3c2. 又 0 cos F1PF21 ， e 22 . | |PF1 | |PF2 ? ?| |PF1 | |PF22 2 a2， 2a2 3c2 a2， a23 c2， e 33 ， 故椭圆离心率的取值范
14、围是 ? ?33 ， 22 ，故选 C 四 直线与椭圆的综合问题 直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 (1)求直线方程可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程 (2)求面积先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值 (3)判断图形的形状可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边之间的 关系 (4)弦长问题利用根与系数的关系、弦长公式求解 (5)中点弦或弦的中点一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否相交 【例 4】 已知点 A(0， 2)，椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为32 ， F 是椭圆 E的右焦点，直线 A
15、F 的斜率为 2 33 ， O 为坐标原点 (1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P， Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求 l 的方程 解析 (1)设 F(c,0)，由条件知， 2c 2 33 ， 得 c 3.又 ca 32 ，所以 a 2， b2 a2 c2 1. 故 E 的方程为 x24 y2 1. (2)当 l x 轴时不合题意，故设 l： y kx 2， P(x1， y1)， Q(x2， y2) 将 y kx 2 代入 x24 y2 1，得 (1 4k2)x2 16kx 12 0. 当 16(4k2 3) 0，即 k2 34时， x1,2 8k2 4k2 34k2 1 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 从而 | |PQ k2 1| |x1 x2 4 k2 1 4k2 34k2 1 . 又点 O 到直线 PQ 的距离 d 2k2 1， 所以 OPQ 的面积 S OPQ 12d | |PQ 4 4k2 34k2 1 ， 设 4k2 3 t，则 t
