1、1.（本题12分）【基础巩固】（1）如图1，在中，点为延长线上一点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结.求证：；【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连接，若交于点，已知，求线段的长；【拓展提高】（3）如图3，在正方形中，点是对角线延长线上的一点，连结，过点作的垂线交于点，交于点，若，求的长.2.（本题14分）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点是轴负半轴上一点，过、三点的（圆心落在第四象限）交轴负半轴于点，连结，已知.（1）_（请用的代数式表示），并求证：；（2）若，求点的坐标；（3）如图2，连结并延长，交于点，交于点，若，求的长；若，请直接写出四边形的面
2、积.3（本题12分）如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形如图1，是的中线，则和就是互补三角形（1）根据定义判断下面两个命题的真假（填“真”或“假”）互补三角形一定不全等_命题互补三角形的面积相等_命题（2）如图2，和为互补三角形，是的中线求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，若，三点共线，连结，四边形为圆内接四边形当时，求的值4（本题14分）【证明体验】（1）如图1，是等腰的外接圆，在上取一点，连结，求证：；【思考探究】（2）如图2，在（1）条件下，若点为的中点，求的值；【拓展延伸】（3）如图3，的半径为5，弦，弦，延长交的延长线于点，且，求的值5.
3、（本题12分）【证明体验】（1）如图1，在和中，连结，.求证：.【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，若，求的长.【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，求的值.6.（本题14分）如图1，在中，是上一点（不与点，重合），以为圆心，长为半径作交于点，连结并延长交于点，连结，.（1）求证：. （2）如图2，若，求证：. （3）如图3，.若，求的半径长.求的最大值.7.（本题12分）【基础巩固】（1）如图1,为等腰直角三角形，求证：.【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结，求的长.【拓展提高】（3）如图3，在中，分别在直角边，上，求.8.（本题14分）如图，是的外接圆，点在上，连结，过
4、点作的平行线交于点.（1）如图1，求证：；（2）如图2，若，求；（3）如图3，为的内心，若在线段上，当最大时，求出的半径.9.（本题12分）如图，中，且点为边的中点.将绕点旋转，在旋转过程中，射线与线段相交于点，射线与射线相交于点，连结.（1）如图1，当点在线段上时，求证：；线段，之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当为等腰三角形时，求的值.10.（本题14分）如图1，为的直径，点为弦的中点，延伸并延长交于点，过点作于点，连结，.（1）求证：；（2）如图2，连结，已知，当，时，求的长.已知，求的值；（3）设，求与的关系式.11.（本题14分）如果三角形的两个内角与满足，我们称这样的三角形
5、为“准直角三角形”.（1）若是“准直角三角形”，则（2）如图1，是的外接圆，半径为10，是的直径，是上的一点，若，请判断是否为准直角三角形，并说明理由.（3）如图2，是的外接圆，半径为10，是的直径，是直径下方半圆上的一点，若为“准直角三角形”，求的长.12.（本题12分）（1）证明推断：如图1，在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，.求证：；推断：的值为_；（2）类比探究：如图2，在矩形中，（为常数）.将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点.试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，求的长.13.（本题14
6、分）如图，为的直径，弦交于点，且（1）求证：；（2）点在上，且，连接交于点，求证：；（3）在（2）的条件下，若，设，求关于的函数关系式；求出使得有意义的的最小整数值，并求出此时的半径.14.（本小题12分）【基础巩固】（1）如图，在中，为上一点，.求证：.【尝试应用】（2）如图2，在菱形中，分别为，上的点，且，射线交的延长线与点，射线交的延长线于点.若，.求：的长；的长.【拓展进步】（3）如图3，在菱形中，以点为圆心作半径为3的圆，其中点是圆上的动点，请直接写出的最小值.15.（本小题14分）有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.（1）如图1，在等邻边互补四边形中，.且，则_.
7、（2）如图2，在等邻边互补四边形中，且，求证：.（3）如图3，四边形内接于，连结并延长分别交，于点，交于点，若点是的中点，求的长.16（本题14分）在中，是的半径，点在劣弧上，连结（1）如图1，求证：平分；（2）点在弦的延长线上，连结，如果是直角三角形，请你在图2中画出点的位置并求的长；（3）如图，点在弦上，与点不重合，连结与弦交于点，设点与点的距离为，的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围17.（本小题12分）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形.我们把这类对角线互相垂直的
8、圆内接四边形称为“婆氏四边形”.（1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是_（填序号）；矩形菱形正方形（2）如图，四边形内接于圆，为圆内一点，且，求证：四边形为“婆氏四边形”；（3）在（2）的条件下，且.当时，求的长度；当的长度最小时，请直接写出的值.18.（本小题14分）等腰三角形中，且内接于圆，、为边上两点（在、之间），分别延长、交圆于、两点（如图1），记，.（1）求的大小（用，表示）；（2）连接，交于（如图2）.若，且，求证：；（3）在（2）的条件下，取中点，连接，（如图3），若.求证：，；请直接写出的值.19. （本题12分）【证明体验】（1）如图1，正方形中，分别是边和对角线上的
9、点，. 求证：. 【思考探究】（2）如图2，矩形中，分别是边和对角线上的点，求的长. 【拓展延伸】（3）如图3，菱形中，对角线，交的延长线于点，分别是线段和上的点，求的长. 20. （本题14分）如图，四边形内接于半圆，是半圆的直径，是半圆的切线，交的延长线于点，与相交于点，连结并延长交的延长线于点，连结. （1）求证：. （2）探究与的数量关系. （3）求的值. 21.（本题12分）对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”.如图（1）中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则.（
10、1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点、的坐标分别为、.求直线的解析式；（2）如图2，直线与双曲线交于点、，点是双曲线上的一个动点，点、的横坐标分别为、（），直线、分别与轴于点、；求证：直线与直线为“等腰三角线”；过点作轴的垂线，在直线上存在一点，连结，当时，求出线段的值（用含的代数式表示）22.（本题14分）如图1，在等腰中，点是线段上一点，以为直径作，经过点.（1）求证：是的切线；（2）如图2，过点作垂足为，点是上任意一点，连结.如图2，当点是的中点时，求的值；如图3，当点是上的任意一点时，的值是否发生变化？请说明理由.（3）在（2）的基础上，若射线与的另一交点，连结，当时，直接写
11、出的值.23.（本题12分）【证明体验】（1）如图1，在和中，点、在同一直线上，求证：.（2）如图2，图3，点线段上的点，连结，为中点，将线段绕点顺时针旋转至，连结.【思考探究】如图2，当时，求的长.【拓展延伸】如图3，点是延长线上一点，且，连结，求的长.24.（本题14分）如图1，在中，为弦的中点，过点作直径，为线段上一点，连结并延长交于点，连结，.（1）证明：.（2）当时，求.（3）如图2，连结交于点，当时，设，求关于的函数解析式，并确定的最大值.25.（本题12分）一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角. （1）若，是的倍余角，则的度数为_；若，是的倍余角，则的度数为_；（用的代数式表示）
12、（2）如图1，在中，在上截取，在上截取. 求证：是的倍余角；（3）如图2，在（2）的情况下，作交于点，将沿折叠得到，交于点，若，设，求的度数.26. （本题14分）【基础认知】（1）如图1，点为内部一点，交于点，已知，求证：平分；【综合运用】（2）在（1）的情况下，作于点. 如图2，若，求的长；如图3，延长至点，使，过，三点的圆交于点，交延长线于点. 若，求圆的直径；（用含的代数式表示）在的情况下，设，当时，求关于的函数关系式. 27.（本题14分）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”.（1）如图1，在“对角互余四边形”中，求四边形的面积.（2）如图2，
13、在四边形中，连接，点是外接圆的圆心，连接，.求证：四边形是“对角互余四边形”；（2）如图3，在（2）的条件下，已知，连接，求的值.（结果用带有，的代数式表示）.28（本题12分）【问题情境】（1）如图1，在正方形中，分别是，上的点，于点求证：【尝试应用】（2）如图2，正方形网格中，点，为格点，交于点求的值【拓展提升】（3）如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点、，求的值29（本题14分）如图，为等腰三角形的外接圆，延长交于点，过点作垂直交于点，交于点，交于点，连结，若（1）求证：（2）如图1，若，求的面积（3）如图2，若，求的长30.（本题14分）
14、如图1，四边形是的内接四边形，其中，对角线、相交于点，在上取一点，使得，过点作交于点、.（1）证明：.（2）如图2，若，且恰好经过圆心，求的值.（3）若，设的长为.如图3，用含有的代数式表示的周长.如图4，恰好经过圆心，求内切圆半径与外接圆半径的比值.31.（本题14分）定义：三角形的两个内角平分线相交所成的钝角称为该三角形的遥望角.（1）如图1，已知是中的遥望角度，设，用含的代数式表示.（2）如图2，内接于，点是的中点，连结，在上取一点，使得，连结，求证：是中的遥望角.（3）如图3，在（2）的条件下，取的中点，连结并延长交于点，若.求的度数；已知，交于点，若，求当取得最小值时，的面积.32（
15、本题14分）已知是的一条对角线，且，是的外接圆，与的另一个交点为，连结.（1）当点在线段上时，如图1.求证：；若,的面积为，求的半径.（2）当点在直线上时，过点作于点，直线与直线交于点.如图2，若时，求的值.33（本题12分）若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形.（1）已知是和谐三角形，请写出所有满足条件的的长.（2）在中，为边上一点，且，连结，若为和谐三角形，求的长.（3）如图，在等腰中，为的中点，且，为上一点，满足，连结，求证：为和谐三角形.34（本题14分）如图1，在中，于点，为边上的点，过点、三点的交于点，连结，.（1）求证：.（2）若，求的面积.
16、（3）如图2，点为上一动点，连结，.若为的中点，设为，的面积为，求关于的函数表达式.在点运动的过程中，试探索，之间的数量关系，并证明.35.（本题12分）若一动点到一条线段的两个端点的距离满足，则称点为线段的点，但点不是线段的点.（1）如图1，在中，若点是线段的点，求的长.（2）如图2，在中，是边上一点，连结，若点分别是线段，线段的点，求证：点是线段的点.（3）如图3，在菱形中，点，分别是，上的点，且满足，连结.点是线段的点，求的长.36.（本题14分）已知为的直径，弦交于点（点不与重合），连结，且.（1）如图1，求证：.（2）如图2，过点作弦于点，求证：.（3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，连结，交于点，若，.求的长；求的半径.
