1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 12 讲 函数与方程 1 (2015 年安徽 )下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ( ) A y ln x B y x2 1 C y sin x D y cos x 2函数 f(x) 2x 2x a 的一个零点在区间 (1,2)内，则实数 a 的取值范围是 ( ) A (1,3) B (1,2) C (0,3) D (0,2) 3 (2016 年辽宁大连模拟 )设方程 log4x ? ?14 x 0， log14x ? ?14 x 0 的根分别为 x1， x2，则 ( ) A 01，9x( )1 x 2， x1 ，若函数 g(x) f(x) k 仅有一
2、个零点，则 k 的取值范围是 ( ) A.? ?43， 2 B ( ， 0) ? ?43， C ( ， 0) D ( ， 0) ? ?43， 2 8 (2017 年广东深圳二模 )若对任意的实数 a，函数 f(x) (x 1)ln x ax a b 有两个不同的零点，则实数 b 的取值范围是 ( ) A ( ， 1 B ( ， 0) C (0,1) D (0， ) 9 (2016 年河南郑州模拟 )已知 y f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x 0， ) 时，f(x) x2 2x. (1)写出函数 y f(x)的解析式； (2)若方程 f(x) a 恰有 3 个不同的解，求 a 的取值范围
3、 =【 ;精品教育资源文库 】 = 10已知 f(x)是二次函数， 不等式 f(x) 0 的解集是 (0,5)，且 f(x)在点 (1， f(1)处的切线与直线 6x y 1 0 平行 (1)求 f(x)的解析式； (2)是否存在 t N，使得方程 f(x) 37x 0 在区间 (t， t 1)内有两个不相等的实数根？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由 =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 12 讲 函数与方程 1 D 解析： y ln x 的定义域为 (0， ) ，故 y ln x 不具备奇偶性，故选项 A 错误； y x2 1 是偶函数，但 y x2 1 0 无解，即不存在零点，故
4、选项 B 错误； y sin x是奇函数，故选项 C 错误； y cos x 是偶函数，且 y cos x 0?x 2 k ， k Z.故选项 D 正确 2 C 解析：因为函数 f(x) 2x 2x a 在区间 (1,2)上单调递增，又函数 f(x) 2x 2xa 的一个零点在区间 (1,2)内，则有 f(1) f(2) 0，所以 ( a)(4 1 a) 0，即 a(a 3) 0.所以 0 a 3. 3 A 解析：在同一平面直角坐标系内画出函数 y ? ?14 x， y log4x， y log14x 的图象，如图 D99， 图 D99 则 x11x20，则 log4x1 ? ?14 1x ，
5、 log14x2 ? ?14 2x ，得 log4(x1x2) ? ?14 1x ? ?14 2x 0， g(a)f(1) 0，解得 b0，即实数 b 的取值范围是 ( ， 0)故选 B. 9解： (1)当 x ( ， 0)时， x (0， ) 因为 y f(x)是奇函数， 所以 f(x) f( x) ( x)2 2( x) x2 2x. 所以 f(x)? x2 2x， x0 ， x2 2x， x0. (2)当 x 0， ) 时， f(x) x2 2x (x 1)2 1， 最小值为 1； 当 x ( ， 0)时， f(x) x2 2x 1 (x 1)2，最大值为 1. 所以据此可作出函数 y
6、f(x)的图象 (如图 D101)，根据图象，若方程 f(x) a 恰有 3个不同的解，则 a 的取值范围是 ( 1,1) 图 D101 10解： (1)方法一， f(x)是二次函数，不等式 f(x) 0 的解集是 (0,5)， 可设 f(x) ax(x 5)， a 0. f( x) 2ax 5a. 函数 f(x)在点 (1， f(1)处的切线与直线 6x y 1 0 平行， f(1) 6. 2 a 5a 6.解得 a 2. f(x) 2x(x 5) 2x2 10x. 方法二，设 f(x) ax2 bx c， 不等式 f(x) 0 的解集是 (0,5)， 方程 ax2 bx c 0 的两根为
7、0,5. c 0,25a 5b 0. f( x) 2ax b. 又函数 f(x)在点 (1， f(1)处的切线与直线 6x y 1 0 平行， f(1) 6. 2 a b 6. 由 ，解得 a 2， b 10. f(x) 2x2 10x. (2)由 (1)知，方程 f(x) 37x 0 等价于方程 2x3 10x2 37 0. 设 h(x) 2x3 10x2 37， 则 h( x) 6x2 20x 2x(3x 10) 当 x ? ?0， 103 时， h( x) 0，函数 h(x)在 ? ?0， 103 上单调递减； 当 x ? ?103 ， 时， h( x) 0，函数 h(x)在 ? ?103 ， 上单调递增 h(3) 1 0， h? ?103 127 0， h(4) 5 0， 方程 h(x) 0 在区间 ? ?3， 103 ， ? ?103 ， 4 内分别有唯一实数根，在区间 (0,3)， (4，) 内没有实数根 =【 ;精品教育资源文库 】 = 存在唯一的自然数 t 3，使得方程 f(x) 37x 0 在区间 (t， t 1)内 有且只有两个不相等的实数根
