1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 13 讲 解密考纲 本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第 (1)问 一、选择题 1已知函数 f(x) logax(a0 且 a1) ，若 f(1) 1，则 a ( B ) A e B 1e C 1e2 D 12 解析 因为 f( x) 1xln a，所以 f(1) 1ln a 1，得 ln a 1，所以 a 1e. 2若 f(x) 2xf(1) x2，则 f(0) ( D ) A 2 B 0 C 2 D 4 解析 f( x) 2f(1) 2
2、x，令 x 1，则 f(1) 2f(1) 2，得 f(1) 2，所以 f(0) 2f(1) 0 4. 3 (2018 河南八市质检 )已知函数 f(x) sin x cos x，且 f( x) 12f(x)，则 tan 2x 的值是 ( D ) A 23 B 43 C 43 D 34 解析 因为 f( x) cos x sin x 12sin x 12cos x， 所以 tan x 3，所以 tan 2x 2tan x1 tan2x 61 9 34，故选 D 4已知点 P 在曲线 y 4ex 1上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是 ( B ) A ? ?0， 4 B ? ?
3、34 ， C ? ? 2 ， 34 D ? ? 4 ， 2 解析 y 4ex 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = y 4exx 2 4exx 2 2ex 1 4ex 1ex 2 1， 当且仅当 ex 1ex，即 x 0 时取等号， 1tan 0， a 1， f( 1) 13. 二、填空题 7已知函数 f(x)的图象在点 M(1， f(1)处的切线方程是 y 12x 3，则 f(1) f(1) _4_. 解析 由题意知 f(1) 12， f(1) 121 3 72， =【 ;精品教育资源文库 】 = f(1) f(1) 72 12 4. 8 (2018 广东惠州模拟 )曲线 y 5ex 3
4、在点 (0， 2)处的切线方程为 _5x y 2 0_. 解析 由 y 5ex 3 得， y 5ex，所以切线的斜率 k y| x 0 5，所以切线方程为 y 2 5(x 0)，即 5x y 2 0. 9已知曲线 y x24 3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点坐标为 ?3， 94 3ln 3 . 解析 y x2 3x， ? x23x12，x0，解得 x 3. 故切点坐标为 ? ?3， 94 3ln 3 . 三、解答题 10 (1)已知 f(x) e xsin x，求 f( x)及 f ? ?12 ； (2)已知 f(x) (x 1 x2)10，求 ff . 解析 (1) f( x) e
5、 xsin x e xcos x， f ? ?12 e 2 ? ?sin 2 cos 2 e 2. (2) f (x) 10(x 1 x2)9 ? ?1 x1 x2 ， f(1) 10(1 2)9 ? ?1 12 102(1 2)10 5 2(1 2)10. 又 f(1) (1 2)10， ff 5 2. 11已知曲线 C： y x3 6x2 x 6. (1)求 C 上斜率最小的切线方程； (2)证明： C 关于斜率最小时切线的切点对称 解析 (1)y 3x2 12x 1 3(x 2)2 13.当 x 2 时， y 最小，即切线斜率的最小值为 13，切点为 (2， 12)，切线方程为 y 12
6、 13(x 2)，即 13x y 14 0. (2)证明：设点 (x0， y0) C，点 (x， y)是点 (x0， y0)关于切点 (2， 12)对称的点，则? x0 4 x，y0 24 y. 点 (x0， y0) C， 24 y (4 x)3 6(4 x)2 (4 x) 6，整理得 y x3 6x2 x=【 ;精品教育资源文库 】 = 6. 点 (x， y) C，于是曲线 C 关于切点 (2， 12)对称 12设函数 f(x) ax 1x b(a， b Z)，曲线 y f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程为 y 3. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 y f(x)上任一
7、点的切线与直线 x 1 和直线 y x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值 解析 (1)f( x) a 1x b 2，依题意， f(2) 0， f(2) 3， 即? 2a 12 b 3，a 1 b 2 0，解得? a 1，b 1 或 ? a 94，b 83.因为 a， b Z，所以 a 1， b 1，故 f(x) x 1x 1. (2)证明：在曲线上任取一点 ? ?x0， x01x0 1 ， 由 f( x0) 1 1x02知，过此点的切线方程为 y x20 x0 1x0 1 ?1 1x0 2 (x x0) 令 x 1 得 y x0 1x0 1，切线与直线 x 1 的交点为 ? ?1， x0 1x0 1. 令 y x 得 x 2x0 1，切线与直线 y x 的交点为 (2x0 1,2x0 1) 直线 x 1 与直线 y x 的交点为 (1,1)从而所围三角形的面积为 12?x0 1x0 1 1 |2 x0 1 1|12?2x0 1 |2 x0 2| 2. 所以所围三角形的面积为定值 2.
