1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 算术平均数与几何平均数 1下列命题正确的是 ( ) A函数 y x 1x的最小值为 2 B函数 y x2 3x2 2的最小值为 2 C函数 y 2 3x 4x(x 0)的最小值为 2 4 3 D函数 y 2 3x 4x(x 0)的最大值为 2 4 3 2若函数 f(x) x 1x 2(x2)在 x a 处取得最小值，则 a ( ) A 1 2 B 1 3 C 3 D 4 3设正实数 x， y， z 满足 x2 3xy 4y2 z 0，则当 zxy取得最小值时， x 2y z 的最大值为 ( ) A 0 B.98 C 2 D.94 4若 log4(3
2、a 4b) log2 ab，则 a b 的最小值是 ( ) A 6 2 3 B 7 2 3 C 6 4 3 D 7 4 3 5 (2015 年湖 南 )若实数 a， b 满足 1a 2b ab，则 ab 的最小值为 ( ) A. 2 B 2 C 2 2 D 4 6 (2015 年陕西 )设 f(x) ln x,0 a b，若 p f( ab)， q f? ?a b2 ， r 12f(a)f(b)，则下列关系式正确的是 ( ) A q r p B q r p C p r q D p r q 7已知正数 x， y 满足 x 2y xy 0，则 x 2y 的最小值为 ( ) A 8 B 4 C 2
3、D 0 8 (2017 年河南郑州第二次质量预测 )已知正数 x， y 满足 x2 2xy 3 0，则 2x y 的最小值是 _ 9 (1)设 x 1，则函数 y x xx 1 的最小值为 _ (2)已知 x 54，则 f(x) 4x 2 14x 5的最大值为 _； 10 (1)(2016 年湖北七市联考 )已知 a0， b0，且 2a b 1，若不等式 2a 1b m 恒成立，则 m 的最大值等于 ( ) A 10 B 9 C 8 D 7 (2)已知 x0， y0， x 3y xy 9，则 x 3y 的最小值为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 算术平均数与几何平均数 1 D
4、 解析： y x 1x的定义域为 x|x0 ，当 x 0 时，有最小值 2，当 x 0 时，有最大值 2.故 A 项不正确； y x2 3x2 2 x2 2 1x2 22 ， x2 2 2， 取不到 “ ” 故 B 项不正确； 当 x 0 时， 3x 4x2 3x 4x 4 3， 当且仅当 3x 4x，即 x 2 33 时取 “ ” y 2 ? ?3x 4x 有最大值 2 4 3.故 C 项不正确， D 项正 确 2 C 解析： x 2， f(x) x 1x 2 (x 2) 1x 2 22 x 1x 22 4，当且仅当 x 2 1x 2，即 x 3 时取等号 3 C 解析： z x2 3xy
5、4y2， zxyx2 3xy 4y2xy 2x2 y 3xyxy xyxy 1. 当且仅当 x 2y 时， zxy取最小值，此时 z 2y2. x 2y z 4y 2y2 2(y2 2y) 2(y 1)2 2，最大值为 2.故选 C. 4 D 解析：由题意知， ab0，且 3a 4b0，所以 a0， b0.又 log4(3a 4b) log2 ab，所以 3a 4b ab.所以 4a 3b 1.所以 a b (a b) ? ?4a 3b 7 4ba 3ab 7 2 4ba 3ab 7 4 3.当且仅当 4ba 3ab ，即 a 4 2 3， b 3 2 3时，等号成立故选 D. 5 C 解析：
6、 1a 2b ab， a 0， b 0. ab 1a 2b2 1a 2b 2 2ab， ab2 2(当且仅当 b 2a 时取等号 )， ab 的最小值为 2 2.故选 C. 6 C 解析： p f( ab) ln ab 12ln(ab)， q f? ?a b2 ln a b2 ， r 12f(a) f(b) 12ln(ab) 因为 a b2 ab， 由 f(x) ln x 在区间 (0， ) 内是增函数，可知 f? ?a b2 f( ab)，所以 q p r.故选 C. 7 A 解析：方法一，由 x 2y xy 0，得 2x 1y 1，且 x0， y0. x 2y (x2y) ? ?2x 1y
7、 4yx xy 44 4 8(当且仅当 x 4， y 2 等号成立 ) 方法二，由 x 2y xy 12x2 y 12? ?x 2y2 2 ( )x 2y28 ， x 2y8( 当且仅当 x 2y时取等号 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 8 3 解析：由 x2 2xy 3 0，得 y 3 x22x 32x12x. 则 2x y 2x 32x 12x 3x2 32x2 3x2 32x 3，当且仅当 x 1 时，等号成立所以 (2x y)min 3. 9 (1)9 (2)1 解析： (1)因为 x 1，所以 x 1 0， 所以 y x xx 1 x2 7x 10x 1 x2 x 4x 1 (
8、x 1)4x 1 5 2 x 4x 1 5 9.当且仅当 x 1 4x 1， 即 x 1 时等号成立故函数 y x xx 1 的最小值为 9. (2)因为 x 54，所以 5 4x 0.则 f(x) 4x 2 14x 5 ? ?5 4x 15 4x 3 23 1. 当且仅当 5 4x 15 4x，即 x 1 时，等号成立 故 f(x) 4x 2 14x 5的最大值为 1. 10 (1)B (2)6 解析： 2a 1b a ba 2a bb 4 2ba 2ab 1 5 2? ?ba ab 5 22 ba ab 9. 当且仅当 a b 13时取等号 2a 1b m， m9 ，即 m 的最大值等于 9.故选 B. (2)由已知，得 x 9 3y1 y. 方法一， (消元法 ) x0， y0， 00， y0， 9 (x 3y) xy 13x(3 y) 13 ? ?x 3y2 2， 当且仅当 x 3y 时等号成立 设 x 3y t0，则 t2 12t 1080. (t 6)(t 18)0. 又 t0， t6. 故当 x 3， y 1 时， (x 3y)min 6.
