1、第一页，共25页。课件说明课件说明 本节课以数学史中的一个经典问题本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮将军饮 马问题马问题”为载体开展对为载体开展对“最短路径问题最短路径问题”的课题研的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “ “两点之间，线段最短两点之间，线段最短”（或（或“三角形两边之和大三角形两边之和大 于第三边于第三边”）问题）问题 第二页，共25页。 学习目标：学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形能利用轴对称解决简单的
2、最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 学习重点：学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线两点之间，线 段最短段最短”问题问题 课件说明课件说明第三页，共25页。引言：引言： 前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线两点的所有连线中，线 段最短段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问等的问题，我们称它们为最短路径问 题现实生活中经常涉及到选择最短路径
3、的问题，本节题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题将军饮马问题” 引入新知引入新知第四页，共25页。问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走
4、的路线全程最短？最短？探索新知探索新知BAl第五页，共25页。精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 探索新知探索新知BAl第六页，共25页。追问追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 探索新知探索新知BAl第七页，共25页。（1）从）从A 地出发，
5、到河边地出发，到河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地；地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到饮马地点，再回到到饮马地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； 探索新知探索新知追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？ 第八页，共25页。探索新知探索新知追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗
6、？并把它抽象为数学问题吗？ （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线短的直线l上的点设上的点设C 为直线上的一个动点，上为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点面的问题就转化为：当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时， AC 与与CB 的和最小（如图）的和最小（如图） BAlC第九页，共25页。追问追问1对于问题对于问题2，如何，如何将点将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度的长度相等？相等？ 探索新知探索新知问题问题2 如图，点如
7、图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ BlA第十页，共25页。追问追问2你能利用轴对称的你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条有关知识，找到上问中符合条件的点件的点B吗？吗？ 探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？ BlA第十一页，共25页。作法：作法：（1）作点）作点B 关
8、于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ BlABC第十二页，共25页。探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABC第十三页，共25页。证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），
9、连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABCC第十四页，共25页。探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABCC证明：证明：在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短第十五页，共25页。若直线若直线l 上任意一
10、点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + BC 最小最小 探索新知探索新知BlABCC追问追问1证明证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC AC+ +BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 第十六页，共25页。探索新知探索新知追问追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？ BlABC
11、C第十七页，共25页。造桥选址问题造桥选址问题如图，如图，A和和B两地在一条河的两岸，现要在河上造两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥一座桥MN.乔早在何处才能使从乔早在何处才能使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）与河垂直）BA第十八页，共25页。思维分析思维分析BA 1、如图假定任选位置造桥、如图假定任选位置造桥，连接和，从，连接和，从A到到B的路径是的路径是AM+MN+BN，那么怎，那么怎样确定什么情况下最短呢？样确定什么情况下最短呢？ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障、利用线段公理解决问题我们遇到
12、了什么障碍呢？碍呢？第十九页，共25页。 我们能否在不改变我们能否在不改变AM+MN+BN的前提的前提下下把桥转化到一侧把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？什么图形变换能帮助我们呢？呢？思维火花思维火花各抒己见各抒己见1、把、把A平移到岸边平移到岸边.2、把、把B平移到岸边平移到岸边.3、把桥平移到和、把桥平移到和A相连相连.4、把桥平移到和、把桥平移到和B相连相连.古有愚公移山，今有学子古有愚公移山，今有学子搬桥，呵呵搬桥，呵呵!第二十页，共25页。上述方法都能做到使上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验不变呢？请检验.合作与交流合作与交流1、2两种方法改变了两种方法改变了
13、.怎样调整呢？怎样调整呢？把把A或或B分别向下或上平移一个桥长分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢那么怎样确定桥的位置呢?第二十一页，共25页。问题解决问题解决BAA1MN如图，平移如图，平移A到到A1，使，使A1等于河宽，连接等于河宽，连接A1交交河岸于作桥，此时路河岸于作桥，此时路径最短径最短.理由；另任作桥理由；另任作桥，连接，连接，.由平移性质可知，由平移性质可知，.AM+MN+BN转化为转化为，而，而转化为转化为.在在中，由线段公理知中，由线段公理知A1N1+BN1A1B因此因此 AM+MN+BN第二十二页，共25页。归纳小结归纳小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？）轴对称在所研究问题中起什么作用？第二十三页，共25页。教科书复习题教科书复习题13第第15题题 布置作业布置作业第二十四页，共25页。谢谢！第二十五页，共25页。
