1、E不等式E1不等式的概念与性质10B11、B12、E12012浙江卷 设a0，b0，e是自然对数的底数()A若ea2aeb3b，则abB若ea2aeb3b，则abD若ea2aeb3b，则aeb3b，令函数f(x)ex3x，则f(x)在(0，)上单调递增，f(a)f(b)，ab，A正确，B错误；由ea2aeb3b，有ea2aeb2b，令函数f(x)ex2x，则f(x)ex2，函数f(x)ex2x在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，)上单调递增，当a，b(0，ln2)时，由f(a)b，当a，b(ln2，)时，由f(a)f(b)得ab，故C、D错误7E1、B6、B72012湖南卷 设ab1，c0
2、，给出下列三个结论：；acbc；logb(ac)loga(bc)其中所有的正确结论的序号是()A BC D7D解析 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小由不等式的基本性质可知对；幂函数yxc(c0，BxR|(x1)(x3)0，则AB()A(，1) B.C. D(3，)1D解析 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解因为Ax|3x20，Bx|x3(，1)(3，)，所以AB(3，)，答案为D.6D3、E12012北京卷 已知an为等比数列，下面结
3、论中正确的是()Aa1a32a2 Baa2aC若a1a3，则a1a2 D若a3a1，则a4a26B解析 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式对于A选项，当数列an首项为负值，公比为负值时明显不成立，比如an(1)n，a1a32a1可得a1(q21)0，而a4a2a2(q21)a1q(q21)的符号还受到q符号的影响，不一定为正，也就得不出a4a2，故D错误E2 绝对值不等式的解法9E22012天津卷 集合A中的最小整数为_93解析 将|x2|5去绝对值得5x25，解之得3x7，x的最小整数为3.E3一元二次不等式的解法13E32012江苏卷 已知函数f(x)x2axb(a，bR)的
4、值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_139解析 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系由条件得a24b0，从而f(x)2，不等式f(x)c解集为x，故两式相减得3，c9.12E32012湖南卷 不等式x25x60的解集为_12x|2x3解析 本题考查解一元二次不等式，意在考查考生解一元二次不等式解不等式得 (x2)(x3)0，即2x3，所以不等式的解集是x|2x3易错点 本题易错一：把不等式解集的界点忘记，没包括2或者3，错解为x|2x3；易错二：没把解集写成集合或区间的形式，导致无分1
5、4A2、A3、B3、E32012北京卷 已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2，若xR，f(x)0或g(x)0，则m的取值范围是_14(4,0)解析 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力由已知g(x)2x20，可得x1，要使xR，f(x)0或g(x)0，必须使x1时，f(x)m(x2m)(xm3)0恒成立，当m0时，f(x)m(x2m)(xm3)0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m0，BxR|(x1)(x3)0，则AB()A(，1) B.C. D(3，)
6、1D解析 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解因为Ax|3x20，Bx|x3(，1)(3，)，所以AB(3，)，21B12、E32012广东卷 设0a0，BxR|2x23(1a)x6a0，DAB.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)2x33(1a)x26ax在D内的极值点21解：(1)xDx0且2x23(1a)x6a0.令h(x)2x23(1a)x6a，9(1a)248a3(3a1)(a3)当a1时，0，BR.于是DABA(0，)当a时，0，此时方程h(x)0有唯一解x1x21，B(，1)(1，)于是DAB(0,1)(1，)当0a0，此时方程h(x)0有
7、两个不同的解x1，x2.x10，B(，x1)(x2，)又x10a0，DAB(0，x1)(x2，)(2)f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)当0a1时，f(x)在(0，)上的单调性如下：x(0，a)a(a,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值当a1时，D(0，)由表可得，xa为f(x)在D内的极大值点，x1为f(x)在D内的极小值点当a时，D(0,1)(1，)由表可得，x为f(x)在D内的极大值点当0aa且x11，aD,1D.由表可得，xa为f(x)在D内的极大值点答案为D.2E32012重庆卷 不等式0f(x)g(x)0；(2)0f(x)g(x)0|，则NxR|g(x)0
8、的解集是_11x|3x3解析 原不等式可化为(x3)(x3)(x2)0，利用穿针引线法可得x|3x317B12、E42012重庆卷 已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取得极值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值17解：因f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b.由于f(x)在点x2处取得极值c16.故有即化简得解得a1，b12.(2)由(1)知f(x)x312xc；f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，
9、)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c，f(x)在x22处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.E5简单的线性规划问题2E52012天津卷 设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x2y的最小值为()A5 B4C2 D32B解析 概括题意画出可行域如图当目标函数线过可行域内点A(0,2)时，目标函数有最小值z03224.8E52012四川卷 若变量x，y满足约束条件则z3x4y的最大值是()A12 B26C28 D338C解析 由已知，画出可行域如图，
10、可知当x4，y4时，z3x4y取得最大值，最大值为28.10E52012上海卷 满足约束条件|x|2|y|2的目标函数zyx的最小值是_102解析 考查简单的线性规划问题，此题的难点是如何正确画出可行域画图可知，约束条件表示的区域是一个平行四边形区域，四个顶点分别是(0,1)，(2,0)(0，1)(2,0)通过平移参照直线yx0，可知在(2,0)处取得最小值，zmin022.9E52012辽宁卷 设变量x，y满足则2x3y的最大值为()A20 B35C45 D559D解析 本小题主要考查线性规划解题的突破口为作出可行域，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值不等式组表示的区域如图11所示，令z
11、2x3y，目标函数变为yx，故而当截距越大，z的取值越大，故当直线z2x3y经过点A时，z最大，由于故而A的坐标为(5,15)，代人z2x3y，得到zmax55，即2x3y的最大值为55.5E52012课标全国卷 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在ABC内部，则zxy的取值范围是()A(1，2) B(0,2)C(1,2) D(0,1)5A解析 由正三角形的性质可求得点C，作出ABC表示的可行域(如下图所示不含ABC的三边)可知当直线zxy经过点C(1，2)时，zxy取得最小值，且zmin1；当直线zxy经过点B(1,3)时，zxy取得最大值，
12、且zmax2.因为可行域不含ABC的三边，故zxy的取值范围是.故选A.5E52012广东卷 已知变量x，y满足约束条件则zx2y的最小值为()A3 B1C5 D65C解析 作出可行域，如图所示目标函数变形为：yxz，平移目标函数线，显然当直线经过图中A点时，z最小，由 得A(1，2)，所以zmin145.所以选择C.10E52012福建卷 若直线y2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A1 B1 C. D210B解析 根据约束条件画出可行域如下图所示，根据题意，显然当直线y2x与直线yx3相交，交点的横坐标即为m的最大值，解方程组：解得x1.所以当m1时，直线y2x上存在点
13、(x，y)满足约束条件，所以m的最大值为1.14E52012全国卷 若x，y满足约束条件则z3xy的最小值为_141解析 本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z取最小值1.8E52012安徽卷 若x，y满足约束条件则zxy的最小值是()A3 B0 C. D38A解析 作出不等式组 表示的可行域(如图所示的ABC的边界及内部)平移直线zxy，易知当直线zxy经过点C(0,3)时，目标函数zxy取得最小值，即zmin3.14E52012浙江卷 设zx2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是_14答
14、案 解析 约束条件得到的可行域为下图中的四边形ABCO及其内部，由目标函数zx2y可得yx，直线x2yz0平移通过可行域时，截距在B点取得最大值，在O点取得最小值，B点坐标为， 故z.21B9、B12、E52012陕西卷 设函数f(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)设n2，b1，c1，证明：f(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n为偶数，|f(1)|1，|f(1)|1，求b3c的最小值和最大值；(3)设n2，若对任意x1，x21,1有|f(x1)f(x2)|4，求b的取值范围21解：(1)当b1，c1，n2时，f(x)xnx1.ff(1)10.f(x)在内存在零点又当x时，f(x)nxn1
15、10，f(x)在上是单调递增的，f(x)在内存在唯一零点(2)解法一：由题意知即由图像知，b3c在点(0，2)取到最小值6，在点(0,0)取到最大值0，b3c的最小值为6，最大值为0.解法二：由题意知1f(1)1bc1，即2bc0，1f(1)1bc1，即2bc0，2得62(bc)(bc)b3c0，当b0，c2时，b3c6；当bc0时，b3c0，所以b3c的最小值为6，最大值为0.解法三：由题意知解得b，c，b3c2f(1)f(1)3.又1f(1)1，1f(1)1，6b3c0，所以b3c的最小值为6，最大值为0.(3)当n2时，f(x)x2bxc.对任意x1，x21,1都有|f(x1)f(x2)
16、|4等价于f(x)在1,1上的最大值与最小值之差M4.据此分类讨论如下：当1，即|b|2时，M|f(1)f(1)|2|b|4，与题设矛盾当10，即0b2时，Mf(1)f24恒成立当01，即2b0时，Mf(1)f24恒成立综上可知，2b2.注：，也可合并证明如下：用maxa，b表示a，b中的较大者当11，即2b2时，Mmaxf(1)，f(1)ff1c|b|24恒成立3E5、K32012北京卷 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. B.C. D.3D解析 本题考查了线性规划、圆的概念、圆的面积公式以及几何概型公式等基础知识如图所示，P.
17、14E52012湖北卷 若变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y的最小值是_14答案 2解析 作出不等式组 所表示的可行域，如下图阴影部分所示(含边界)可知当直线z2x3y经过直线xy1与直线3xy3的交点M(1,0)时，z2x3y取得最小值，且zmin2.6E52012山东卷 设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是()A. B.C1,6 D.6A解析 本题考查简单的线性规划问题，考查数据处理能力，容易题可行域为如图所示阴影部分当目标函数线l移至可行域中的A点(2,0)时，目标函数有最大值z3206；当目标函数线l移至可行域中的B点时，目标函数有最小值z33.E6基本不等式
18、9E62012浙江卷 若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A. B.C5 D69C解析 本题考查利用基本不等式求最值，考查学生观察、变形判断的能力由x0，y0，x3y5xy得1，则3x4y(3x4y)25，当且仅当即x1，y时等号成立10E6、E82012陕西卷 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v Dv10A解析 由小王从甲地往返到乙地的时速为a和b，则全程的平均时速为v，又ab，av1时，f(x)(x1)；(2)当1x3时，f(x)1时，g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减又g(1)0，有g(x)0，即f(x)
19、1时，2x1，故.令k(x)lnxx1，则k(1)0，k(x)10，故k(x)0，即lnx1时，f(x)(x1)(2)(证法一)记h(x)f(x)，由(1)得h(x)令g(x)(x5)3216x，则当1x3时，g(x)3(x5)22160.因此g(x)在(1,3)内是递减函数，又由g(1)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又h(1)0，得h(x)0.于是当1x3时，f(x).(证法二)记h(x)(x5)f(x)9(x1)，则当1x3时，由(1)得h(x)f(x)(x5)f(x)9(x1)(x5)93x(x1)(x5)(2)18x(7x232x25)0.因此
20、h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)0，所以h(x)0，即f(x).E8不等式的综合应用14E82012江苏卷 已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，clnbaclnc，则的取值范围是_14e,7解析 本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用解题突破口为将所给不等式条件同时除以c，三元换成两元题设条件可转化为记x，y，则且目标函数为z，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形由方程组得交点坐标为C，此时zmax7.又过原点作曲线yex的切线，切点为(x0，y0)，因yex，故切线斜率kex0，切线方程为yex0x，而y0ex0且y0ex0x0，解之得x01
21、，故切线方程为yex，从而zmine，所求取值范围为e,715E82012福建卷 已知关于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_15(0,8)解析 不等式在R上恒成立，则满足a242a0，解得0a8.10E6、E82012陕西卷 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v Dv10A解析 由小王从甲地往返到乙地的时速为a和b，则全程的平均时速为v，又ab，av0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值21解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)单调递增若a0，则当x(
22、，lna)时，f(x)0，所以，f(x)在(，lna)单调递减，在(lna，)单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)存在唯一的零点故g(x)在(0，)存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于k0，f(x)单调递增；而在上，f(x)0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射
23、程为10 km.(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6 km时，可击中目标16E92012四川卷 设a，b为正实数，现有下列命题：若a2b21，则ab1；若1，则ab1；若|1，则|ab|1；若|a3b3|1，则|ab|0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|0，而当1或1为方程(*)的根时，m的值为1或1，结合题设(m0)可知，m0，且m1.设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，则xQ，xR为方程(*)的两根因为|PQ|PR|，所以|xQ|1，且2.所以113，且1，所以13，且.综上所述，的取值范围是.22B14、E9、J3、D52012四川卷 已知a为正实数，n为自然数，抛物线yx2与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距(1)用a和n表示f(n)；(2)求对所有n都有成立的a的最小值；(3)当0a6.首先证明：当0x6x.设函数g(x)6x(x2x)1,0x1.则g(x)18x.当0x时，g(x)0；当x0.故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)ming0.所以，当0x0，即得6x.由0a1知0ak6ak，从而6(aa2an)66.
