1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 24 讲 平面向量的概念及其线性运算 考纲要求 考情分析 命题趋势 1了解向量的实际背景 2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 3理解向量的几何表示 4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 6了解向量线性运算的性质及其几何意义 2017 天津卷， 13 2017 浙江卷， 15 2015 全国卷 ， 7 2015 全国卷 ， 13 2015 北京卷， 13 平面向量的线性运算及其几何意义是高考的重点主要以三 角形或四边形为载体，考查向量的有关概念及简单运算 分值： 5 分 1向量的有关
2、概念 名称 定义 备注 向量 既有 _大小 _又有 _方向 _的量；向量的大小叫做向量的 _长度 _(或称 _模 _) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 _零 _的向量，其方向是任意的 记作 ！ 0 # 单位向量 长度等于 _1 个单位 _的向量 非零向量 a 的单位向量为 a|a| 平行向量 方向 _相同 _或 _相反 _的非零向量 共线向量 _方向相同或相反 _的非零向量 ，又叫做共线向量 0 与任一向量 _平行_或共线 相等向量 长度 _相等 _且方向 _相同 _的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 _相等 _且方向 _相反 _的向量 0 的相反向量为 0 2向量
3、的线性运算 =【 ;精品教育资源文库 】 = 向量 运算 定义 法则 (或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量的和运算 _三角形 _法则 _平行四边形 _法则 (1)交换律： a b b a (2)结合律： (a b) c a (b c) 减法 求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算叫做 a 与b 的差 a b a ( b) 数乘 求实数 与向量 a的积的运算 (1)| a| |a|； (2)当 0 时， a的方向与 a 的方向 _相同_；当 0 时， a 的方向与 a 的方向 _相反 _；当 0 时， a 0 ( a) ( )a； ( )a ！ a a #； (a b) ！ a b #
4、 3共线向量定理 向量 a(a0) 与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 ！ b a #. 4必会结论 (1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个 向量终点的向量，即 A1A2 A2A3 ? An 1An A1An .特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量 (2)若点 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点，则 OP 12(OA OB ) (3)若 A， B， C 是平面内不共线的三点，则 PA PB PC 0?点 P 为 ABC 的重心 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)单位向量只与
5、模有关，与方向无关 ( ) (2)零向量的模等于 0，没有方向 ( ) (3)若两个向量共线，则其方向必定相同 ( ) (4)AB BA 0.( ) 解析 (1)正确由定义知模为 1 的向量叫单位向量，与方向无关 (2)错 误零向量的方向是任意的 (3)错误可能相同，也可能相反，若有零向量，则两向量方向不定 (4)正确 .AB BA AB AB 0. 2若 mn ， nk ，则向量 m 与向量 k( D ) A共线 B不共线 C共线且同向 D不一定共线 解析 可举特例，当 n 0 时，满足 mn ， nk ，故 A， B， C 选项都不正确，故 D 项正确 3点 D 是 ABC 的 边 AB
6、上的中点，则向量 CD ( A ) A BC 12BA B BC 12BA C BC 12BA D BC 12BA 解析 如图，由于 D 是 AB 的中点，所以 CD CB BD CB 12BA BC 12BA . 4化简 OP QP MS MQ 的结果为 ！ OS #. 解析 OP QP MS MQ (OP PQ ) (MS MQ ) OQ QS OS . 5已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a b 与 (b 3a)共线，则 的值为 ！ 13 #. 解析 a b 与 (b 3a)共线， 存在实数 ，使 a b (3a b)， 即? 1 3 ， ， ? 13， 13.=【 ;精品教育
7、资源文库 】 = 一 平面向量的概念 平面向量概念中的几点注意 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 (2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关 (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈 (4)非零向量 a 的单位向量是 a|a|. 【例 1】 (1)给出下列命题： 若 |a| |b|，则 a b； 若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； 若 a b， b c，则 a c； a b 的充要条件是 |a| |b|且 ab. 其中正确命题的序号是 ( A ) A B C
8、D (2)给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； a 0( 为实数 )，则 必为零； ， 为实数，若 a b，则 a 与 b 共线 其中错误的命题的个数为 ( C ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 (1) 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确 AB DC ， |AB | |DC |且 AB DC . 又 A， B， C， D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则 AB DC 且 |AB | |DC |，因此 AB DC . 正确 a b， a，
9、b 的长度相等且方向相同，又 b c， b ， c 的长度相等且方向相同， a ， c 的长度相等且方向相同，故 a c. =【 ;精品教育资源文库 】 = 不正确当 ab 且方向相反时，即使 |a| |b|，也不能得到 a b，故 |a| |b|且 ab不是 a b 的充 要条件，而是必要不充分条件 综上所述，正确命题的序号是 ，故选 A (2) 错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点 正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小 错误，当 a 0 时，不论 为何值， a 0. 错误，当 0 时， a b 0，此时， a 与 b 可以是任意向量
10、 二 平面向量的线性运算 平面向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的 和用三角形法则 (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解 【例 2】 (1)如图，正六边形 ABCDEF 中， BA CD EF ( D ) A 0 B BE C AD D CF (2)(2017 天津卷 )在 ABC 中， A 60 ， AB 3， AC 2.若 BD 2DC ， AE AC AB( R)，且 AD AE 4，则 的值为 ！ 311 #. 解析 (1)
11、因六边形 ABCDEF 是正六边形，故 BA CD EF DE CD EF CE EF CF . (2)AD AB BD AB 23BC AB 23(AC AB ) 13AB 23AC .又 AB AC 32 12 3， 所以 AD AE ? ?13AB 23AC ( AB AC ) 13AB 2 ? ?13 23 AB AC 23 AC 2 3 3? ?13 23 23 4 113 5 4，则 311. =【 ;精品教育资源文库 】 = 三 平面向量共线定理的应用 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点 共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线
12、 (2)向量 a， b 共线是指存在不全为零的实数 1， 2，使 1a 2b 0 成立；若 1 a 2b 0，当且仅当 1 2 0 时成立，则向量 a， b 不共线 【例 3】 设两个非零向量 a 和 b 不共线 (1)如果 AB a b， BC 2a 8b， CD 3(a b)求证： A， B， D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka b 和 a kb 共线 解析 (1)证明：因为 AB a b， BC 2a 8b， CD 3(a b)， 所以 BD BC CD 2a 8b 3(a b) 5(a b) 5AB ， 所以 AB ， BD 共线又 AB 与 BD 有公共点 B，所以 A，
13、 B， D 三点共线 (2)因为 ka b 与 a kb 共线，所以存在实数 ，使 ka b (a kb)， 即? k ，1 k ， 解得 k 1 即 k 1 时， ka b 与 a kb 共线 1下列命题中正确的是 ( C ) A a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线 B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C向量 a 与 b 不 共线，则 a 与 b 都是非零向量 D有相同起点的两个非零向量不平行 解析 由于零向量与任一向量都共线，所以 A 项不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以 B 项不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以 D 项不正确；对于 C 项，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设 a 与 b 不都是非零向量，即 a 与 b 中至少有一个是零向量，而零向量与任一向量都共线，可知 a 与 b 共线，符合已知条件，所以若向量 a 与
