1、概率论与数理统计1教材：教材：概率论与数理统计概率论与数理统计上海交通大学数学系上海交通大学数学系 编编上海交通大学上海交通大学出版社出版社2参考书概率论与数理统计概率论与数理统计 浙江大学浙江大学 盛骤等盛骤等 编编 高等教育出版社高等教育出版社概率论与数理统计概率论与数理统计 教与学参考教与学参考 阎国辉阎国辉 主编主编 中国致公出版社中国致公出版社概率论与数理统计试题分析与解答概率论与数理统计试题分析与解答 上海交通大学数学系编上海交通大学数学系编 上海交通大学出版社上海交通大学出版社3概率论的诞生概率论的诞生概率(或然率或几率) 随机事件出现的可能性的量度, 其起源与博弈问题有关. 1
2、6世纪意大利学者(Girolamo Cardano（15011 576）， Galileo Galilei（15641642）等)开始研究掷骰子等赌博中的一些问题； 1651年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( ac ),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望。 17世纪中叶，B. 帕斯卡(法国数学家)、C. 惠更斯(荷兰数学家)等,基于排列组合的方法，研究了较复杂的赌博问题， 解决了“ 合理分配赌注问题” ( 即得分问题
3、). 4 对客观世界中随机现象的分析产生了概率论；概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律. 使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后. 第二次世界大战军事上的需要以及大工业与 管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、 控制论与数理统计学等学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的数学分支学科.5 统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，
4、故可以这样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系.6本学科的应用 概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中. 例如1. 气象、水文、地震预报、人口控制 及预测都与概率论紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能 否在临床中应用，均需要用到假设检验；3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计和数据 处理；74. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制与发射都离不开可靠性估计;5.探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列分析方法非常有用;6. 研究化学反应的时变率，要以马尔可夫过程来描述;7. 在生物
5、学中研究群体的增长问题时提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程；88. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知识就是排队论. 目前, 概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领域,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题, 都大量采用概率统计方法. 法国数学家拉普拉斯(Laplace) 说对了: “ 生活中最重要的问题, 其中绝大多数在实质上只是概率的问题.” 英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正的领路人,
6、 如果没有对概率的某种估计, 那么我们就寸步难行, 无所作为.”9在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为的现象称为确定性现象确定性现象. . “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,1.确定性现象确定性现象 “可导必连续可导必连续”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例：实例：自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象随机现象随机现象确定性现象的特征确定性现象的特征: 条件完全决定结果条件完全决定结果10在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为称为随机现象随机现象.实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同
7、条件下掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况”.2. 随机现象随机现象 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.随机现象随机现象。每次试验前不能预言出现什么结果。每次试验前不能预言出现什么结果。每次试验后出现的结果不止一个。每次试验后出现的结果不止一个。在相同的条件下进行大量的观察或试验时，出现的结。在相同的条件下进行大量的观察或试验时，出现的结 果有一定的规律性果有一定的规律性-称之为称之为统计规律性统计规律性11结果有可能为结果有可能为:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”. 实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,
8、观观 察出现的点数察出现的点数”. 实例实例2 “用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结果: “弹落点会各不相同弹落点会各不相同”.12实例实例4 “从一批含有正从一批含有正品和次品的产品中任意抽品和次品的产品中任意抽取一个产品取一个产品”.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.实例实例5 “过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯”.实例实例6 “一只灯泡的寿命一只灯泡的寿命” 可长可短可长可短.随机现象的特征随机现象的特征:条件不能完全决定结果
9、条件不能完全决定结果132. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性性, 但在大量重复试验或观察中但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现这种结果的出现具有一定的具有一定的统计规律性统计规律性 , 概率论就是研究随机现概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明：说明：1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系系 , 其数量关系
10、无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.141.1 1.1 随机试验随机试验( (简称简称“试验试验”) )随机试验的特点随机试验的特点：1.1.可在相同条件下重复进行；可在相同条件下重复进行； 2.2.试验可能结果不止一个试验可能结果不止一个, ,但能确定所有的可但能确定所有的可 能结果；能结果；3.3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。说明：说明： 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包 括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进也包括对客观事物进 行的行的 “调查调
11、查”、“观察观察”、或、或 “测量测量” 等等. 2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.15实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察正面察正面,反面出现的情况反面出现的情况”.分析：分析：(1) 试验可以在相同的条件下试验可以在相同的条件下重复地重复地进行进行;(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面，反面正面，反面;(3) 进行一次试验之前不能进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. 故为故为随机试验随机试验.162.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”.3.“从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记
12、录出现正品的件数录出现正品的件数”.4. 考察某地区考察某地区 10 月份的平均气温月份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命. 17同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验1. 掷一枚均匀的硬币三次掷一枚均匀的硬币三次,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况 样本空间、随机事件样本空间、随机事件 实验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 或 S；试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e. 由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件, 记为e. 例：例： 给出给出E1-E5E1-E5的样本空间的样本空间 18
13、（二）（二）随机事件定义定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事随机事件件”, 简称“事件”.记作A、B、C等.任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集. .称事件事件A A发生发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素两个特殊事件两个特殊事件: : 必然事件 、不可能事件. 19 例如例如 对于试验E1，以下A 、 B、C即为三个随机事件:A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH；B=“三次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如再如，试验E5中D“灯泡寿命超过1000小时
14、” x:1000 xm),(nm),要求第要求第 i i 组恰有组恰有n ni i个球个球(i=1,m)(i=1,m)，共有分法：，共有分法：!.!1mnnn57例例9 9（分球问题）将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解解: :设设A:A:每盒恰有一球每盒恰有一球,B:,B:空一盒空一盒33)(SN! 3)(AN92)(AP1)(全有球空两合PPBP3292331358 设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:Nk（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；（4）恰有 k
15、个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；km（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( )（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例例1010 （分房模型）（分房模型）59解解kNn 设 (1) (6)的各事件分别为61AA 则!1kmAkANknmAP!)(11kkNNkCAP!)(4kkNNAP) 1()(3kmkmkNNCAP) 1()(2kkNkNkCNAP!)(5)(14APkANm) 1(3mkmkANCm) 1(2!4kCmkNA!5kCNmkNkA!6kCmkNA)()(46APAP60例例10的的“分房模型分房模型”可应用于很多类似场合可应用于很多类似
16、场合“球”可视为人“盒子”相应视为房子信封信钥匙门锁女舞伴生日人男舞伴61例例11 11 “分房模型分房模型”的应用的应用生物系二年级有 n 个人，求至少有两人生日相同（设为事件A ) 的概率.解解为 n 个人的生日均不相同,这相当于A本问题中的人可被视为“球”，365天为 365只“盒子”若 n = 64，每个盒子至多有一个球. 由例10（6）nnnCAP365!)(365.365!1)(1)(365nnnCAPAP.997. 0)(AP62解解.5040P410n例例1212 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.设 A为“能排成首位非零的四位
17、偶数” 四位偶数的末位为偶数, 故有 种可能15C而前三位数有 种取法,由于首位为零的四 位偶数有 种取法,所以有利于A发生的904150402296)(AP39P2814PC 取法共有 种.2296PCPCn28143915A632121AAAAA解解nn9 设 A 表示事件 “n 次取到的数字的乘积能被10整除”设 A1 表示事件 “n 次取到的数字中有偶数” A2表示事件 “n 次取到的数字中有5”A = A1 A2例例1313 在1,2,3, ,9中重复地任取 n ( )个数, 求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.264 nnAP951nnAP982nnAAP9421 nnnnAA
18、PAPAPAAPAP9485212121 .94851nnnnAP65例例1414 证明: 对任意事件A , B, 有证: P(A)P(B)B)P(AB)P(AP(A)P(B)P(AB)AB)-P(AB)(P(BAB)-(P(AP(AB)P(AB)AB)P(AB)-P(BAB)P(AB)-P(AAB)-AB)P(B-P(AP(AB)P(AB)AB)P(AB)-P(BAB)P(AB)-P(A)P(AB)P(ABAB)-P(BAB)-(P(A)P(AB)P(ABB)AP()B(P(AAB)P(AB)BABP(AB)P(AB)P(A661o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试
19、验, 使其成为等可能概型.3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式, 将复杂问题简单化. 如例13.2o 同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设计的不同而不同, 如 例6不放回试验的两种不同设计. 一般 越小越好.nn计算古典概率注意事项计算古典概率注意事项67例例1515 把标有1,2,3,4 的4 个球随机地放入标有1,2,3,4 的4 个盒子中，每盒放一球，求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率解设A为所求的事件设Ai表示i 号球放入i 号盒，i = 1,2,3,4则iiAA41241)(41,241! 4! 1)(41,121! 4! 2)(4 , 3 , 2 ,
20、1,41! 4! 3)(4321AAAAPkjiAAAPjiAAPiAPkjijii68由加法公式，85)()()()()(4321414141AAAAPAAAPAAPAPAPkjikjijijiii69例例1616 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率9点10点10分钟616010)(AP几何概型几何概型 (等可能概型的推广)70几何概型几何概型 设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率为的测度的测度GAP)(71例例1717 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内独
21、立随机地到达码头. 若两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待空出码头的概率.解解 设船1 到达码头的瞬时为 x , 0 x 24 船2 到达码头的瞬时为 y , 0 y 24设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头72xy2424y = xy = x + 1y = x - 2224S22222321AS1207. 01)(SSAPA240 ,240),(yxyx20, 10,),(),(yxxyyxyxA73 用几何概型可以回答用几何概型可以回答“概率为概率为 1 1 的事件的事件为什么不一定发生为什么不一定发生? ?”这
22、一问题这一问题. .如图，设试验E 为“ 随机地向边0 1 x Y1 长为1 的正方形内投点” 事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内” , 11111)(2121正方形蓝三角形黄三角形SSSAP由于点可能投在正方形的对角线上, 所以事件A未必一定发生.)(AP 求74例例1818 利用概率模型证明恒等式:证明: 构造概率模型: 一袋内有N个球,(M个黑球,N-M个红球), 逐不放回取球n个.设显然有,而, 证得, .),min(,0NMMnsCCknMNskkMnNCs0,1,k ,kn个黑球个球中有KA1)P()P(A)P(s0kks0kKAs ,0,1,k,)P(AknNknMNkMCCC1,)P(As0ks0kknNknMNkMCCC).,min(,0MnsCCknMNskkMnNC75作业 习题一 8，9，10, 11，12, 1976
