1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 课时 导数与函数的综合问题 题型一 导数与不等式 命题点 1 证明不等式 典例 (2017 贵阳模拟 )已知函数 f(x) 1 x 1ex ， g(x) x ln x. (1)证明： g(x)1 ； (2)证明： (x ln x)f(x)1 1e2. 证明 (1)由题意得 g( x) x 1x (x0)， 当 01 时， g( x)0， 即 g(x)在 (0,1)上是减少的，在 (1， ) 上是增加的 所以 g(x) g(1) 1，得证 (2)由 f(x) 1 x 1ex ，得 f( x) x 2ex ， 所以当 02 时， f( x)0， 即 f(x
2、)在 (0,2)上是减少的，在 (2， ) 上是增加的， 所以 f(x) f(2) 1 1e2(当且仅当 x 2 时取等号 ) 又由 (1)知 x ln x1( 当且仅当 x 1 时取等号 )， 且 等号不同时取得， 所以 (x ln x)f(x)1 1e2. 命题点 2 不等式恒成立或有解问题 典例 (2018 大同模拟 )已知函数 f(x) 1 ln xx . (1)若函数 f(x)在区间 ? ?a， a 12 上存在极值，求正实数 a 的取值范围； (2)如果当 x1 时，不等式 f(x) kx 1恒成立，求实数 k 的取值范围 解 (1)函数的定义域为 (0， ) ， f( x) 1
3、1 ln xx2 ln xx2 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 f( x) 0，得 x 1. 当 x(0,1) 时 ， f( x)0， f(x)是增加的； 当 x(1 ， ) 时， f( x)0， 所以 g(x)是增加的，所以 g(x) g(1) 2， 故 k2 ，即实数 k 的取值范围是 ( ， 2 引申探究 本例 (2)中若改为：存在 x1 ， e，使不等式 f(x) kx 1成立，求实数 k 的取值范围 解 当 x1 ， e时， k ?x 1?1 ln x?x 有解， 令 g(x) ?x 1?1 ln x?x (x1 ， e)，由例 (2)解题知， g(x)是增加的，所以 g(
4、x)max g(e) 2 2e， 所以 k2 2e，即实数 k 的取值范围是 ? ? ， 2 2e . 思维升华 (1)利用导数证明不等式的方法 证明 f(x)1 时， h( x)0， h(x)是增加的， 当 00) 易求 f(x) xln x(x0)的最小值为 f ? ?1e 1e， 设 (x) xex 2e(x0)，则 ( x) 1 xex ， 当 x(0,1) 时， ( x)0， (x)是增加的； 当 x(1 ， ) 时， ( x)xex 2e恒成立， 即 F(x)0 恒成立， 函数 F(x)无零点 思维升华 利用导数研究方程的根 (函数的零点 )的策略 研究方程的根或曲线的交点个数问题
5、，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图像，然后根据图像判断函数的零点个数 跟踪训练 (1)(2017 贵阳联考 )已知函数 f(x)的定义域为 1,4，部分对应值如下表： x 1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数 y f( x)的图像如图所示当 10，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 ( ， 2) 解析 当 a 0 时， f(x) 3x2 1 有两个零点，不合题意，故 a0 ， f( x) 3ax2 6x3x(ax 2)， 令 f( x) 0，得 x1 0， x2 2a. 若 a0，由三
6、次函数图像知 f(x)有负数零点，不合题意，故 a0 知， f? ?2a 0， 即 a ? ?2a 3 3 ? ?2a 2 10，化简得 a2 40， 又 a0)，为使耗电量最小，则速度应定为 _ 答案 40 解析 令 y x2 39x 40 0，得 x 1 或 x 40， 由于当 040 时， y0. 所以当 x 40 时， y 有最小值 一审条件挖隐含 典例 (12 分 )设 f(x) ax xln x， g(x) x3 x2 3. (1)如果存在 x1， x20,2 使得 g(x1) g(x2) M 成立，求满足上述条件的最大整数 M； (2)如果对于任意的 s， t ? ?12， 2
7、，都有 f(s) g(t)成立，求实数 a 的取值范围 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)存在 x1， x20,2 使得 g(x1) g(x2) M (正确理解 “ 存在 ” 的含义 ) g(x1) g(x2)max M 挖掘 g(x1) g(x2)max的隐含实质 g(x)max g(x)min M 求得 M 的最大整数值 (2)对任意 s， t ? ?12， 2 都有 f(s) g(t) (理解 “ 任意 ” 的含义 ) f(x)min g(x)max 求得 g(x)max 1 ax xln x1 恒成立 分离参数 a a x x2ln x 恒成立 求 h(x) x x2ln x 的
8、最大值 a h(x)max h(1) 1 a1 规范解答 解 (1)存在 x1， x20,2 使得 g(x1) g(x2) M 成立，等价于 g(x1) g(x2)max M.2 分 由 g(x) x3 x2 3，得 g( x) 3x2 2x 3x? ?x 23 . 令 g( x)0，得 x23， 又 x0,2 ，所以 g(x)在区间 ? ?0， 23 上是减少的，在区间 ? ?23， 2 上是增加的，所以 g(x)min g? ?23 8527， g(x)max g(2) 1. 故 g(x1) g(x2)max g(x)max g(x)min 11227 M， 则满足条件的最大整数 M 4.
9、5 分 (2)对于任意的 s， t ? ?12， 2 ，都有 f(s) g(t)成立，等价于在区间 ? ?12， 2 上，函数=【 ;精品教育资源文库 】 = f(x)min g(x)max. 7 分 由 (1)可知在区间 ? ?12， 2 上， g(x)的最大值为 g(2) 1. 在区间 ? ?12， 2 上， f(x) ax xln x1 恒成立等价于 a x x2ln x 恒成立 设 h(x) x x2ln x， h( x) 1 2xln x x， 可知 h( x)在区间 ? ?12， 2 上是减少的，又 h(1) 0， 所以当 10.10 分 即函数 h(x) x x2ln x 在区间
10、 ? ?12， 1 上是增加的，在区间 (1,2)上是减少的，所以 h(x)max h(1) 1， 所以 a1 ，即实数 a 的取值范围是 1， ) 12 分 1方程 x3 6x2 9x 10 0 的实根个数是 ( ) A 3 B 2 C 1 D 0 答案 C 解析 设 f(x) x3 6x2 9x 10，则 f( x) 3x2 12x 9 3(x 1)(x 3)，由此可知函数的极大值为 f(1) 60，则 ( ) A 3f(1)f(3) C 3f(1) f(3) D f(1) f(3) 答案 B 解析 由于 f(x)xf( x)，则 ? ?f?x?x xf ?x? f?x?x2 f(3)故选
11、 B. 3若不等式 2xln x x2 ax 3 对 x(0 ， ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 0) B ( ， 4 C (0， ) D 4， ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 解析 a x 2ln x 3x(x0)恒成立，设 y x 2ln x 3x，则 y 1 2x 3x2 x2 2x 3x2 ?x 3?x 1?x2 ， 当 01 时， y0. 当 x 1 时， ymin 4. a4. 4若函数 f(x) 2x3 9x2 12x a 恰好有两个不同的零点，则 a 可能的值为 ( ) A 4 B 6 C 7 D 8 答案 A 解析 由题意得 f( x
12、) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)， 由 f( x)0，得 x2，由 f( x)400，则总利润最大时，年产量是 ( ) A 100 B 150 C 200 D 300 答案 D 解析 由题意得，总成本函数为 C(x) 20 000 100x， 总利润 P(x)? 300x x22 20 000， 0 x400 ，60 000 100x， x400，又 P( x)? 300 x， 0 x400 ， 100， x400， 令 P( x) 0，得 x 300，易知当 x 300 时，总利润 P(x)最大 6 (2018 厦门调研 )已知 f(x) 12x2 bx c(b， c 是常数
13、 )和 g(x) 14x 1x是定义在 Mx|1 x4 上的函数，对于任意的 x M，存在 x0 M 使得 f(x) f(x0)， g(x) g(x0)，且f(x0) g(x0)，则 f(x)在 M 上的最大值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.72 B 5 C 6 D 8 答案 B 解析 因为当 x1,4 时， g(x) 14x 1x2 14 1(当且仅当 x 2 时等号成立 )，所以 f(2) 2 b2 c g(2) 1，所以 c 1 b2，所以 f(x) 12x2 bx 1 b2，所以 f( x) x bx2x3 bx2 .因为 f(x)在 x 2 处有最小值，且 x1, 4，所以 f(2) 0，即 b 8，所以 c 5，经检验， b 8， c 5 符合题意所以 f(x) 12x2 8x 5， f( x) x3 8x2 ，所以 f(x)在 1,2)上是减少的，在 (2,4上是增加的，而 f(1) 12 8 5 72， f(4) 8 2 5 5，所以函数 f(x)在 M 上的最大值为 5，故选 B. 7 (2017 安徽江南名校联考 )已知 x(0,2) ，若关于 x 的不等式 xex0. 即 kx2 2x 对任意 x(0,2) 恒成立，从而 k0 ， 因此由原不等式，得 k0，函数 f(x)在 (1,2)上是增加的，当 x(0,1)时， f( x)0，
