1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 13.1 归纳与类比 最新考纲 考情考向分析 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的 “ 三段论 ” ，并能运用 “ 三段论 ” 进行一些简单推理 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 . 以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中、高档题 . 1归纳推理 根据一类事物中 部分事 物 具有某种属性，推断该类事物中 每一个事物 都有这种属
2、性我们将这种推理方式称为归纳推理简言之，归纳推理是由 部分 到 整体 ，由 个别 到 一般 的推理 归纳推理的基本模式： a， b， c M 且 a， b， c 具有某属性， 结论：任意 d M， d 也具有某属性 2类比推理 由于 两类不同对象 具有某些类似的特征，在此基础上，根据 一类对象 的其他特征，推断 另一类对象 也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理 =【 ;精品教育资源文库 】 = 类比推理的基本模式： A：具有属性 a， b， c， d； B：具有属性 a ， b ， c ； 结论： B 具有属性 d. (a， b， c，
3、d 与 a ， b ， c ， d 相似或相同 ) 3归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果 不一定正确 4演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确 ( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的 性质，这是一种合情推理 ( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 ( ) (4)“ 所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数
4、” ，这是三段论推理，但其结论是错误的 ( ) (5)一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是 an n(n N ) ( ) (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确 ( ) 题组二 教材改编 2已知在数列 an中， a1 1，当 n2 时， an an 1 2n 1，依次计算 a2， a3， a4后，猜想an的表达式是 ( ) A an 3n 1 B an 4n 3 C an n2 D an 3n 1 答案 C 解析 a2 a1 3 4， a3 a2 5 9， a4 a3 7 16， a1 12， a2 22， a3 32， a4 42，猜想an n2. 3
5、在等差数列 an中，若 a10 0，则有 a1 a2 ? an a1 a2 ? a19 n (n0(i 1,2,3， ? ， n)，观察下列不等式： a1 a22 a1a2； a1 a2 a33 3 a1a2a3； a1 a2 a3 a44 4 a1a2a3a4； ? ； 照此规律，当 n N ， n2 时， a1 a2 ? ann _. 答案 n a1a2? an 解析 根据题意得 a1 a2 ? ann n a1a2? an(n N ， n2) 命题点 3 与数列有关的推理 典例 (2017 湖北七市教科研协作体联考 )观察下列等式： 1 2 3 ? n 12n(n 1)； 1 3 6 ?
6、 12n(n 1) 16n(n 1)(n 2)； =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 4 10 ? 16n(n 1)(n 2) 124n(n 1)(n 2)(n 3)； ? ； 可以推 测， 1 5 15 ? 124n(n 1)(n 2)(n 3) _. 答案 1120n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)(n N ) 解析 根据式子中的规律可知，等式右侧为 154321 n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) 1120n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) (n N ) 命题点 4 与图形变化有关的推理 典例 (2017 大连调研 )某种树的分枝生长规律如 图所示，第 1 年到
7、第 5 年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第 10 年树的分枝数为 ( ) A 21 B 34 C 52 D 55 答案 D 解析 由 2 1 1,3 1 2,5 2 3 知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第 6年为 8，第 7 年为 13，第 8 年为 21，第 9 年为 34，第 10 年为 55，故选 D. 思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解 (2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后 可解 (3)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出
8、数列的项与项数的关系，列出即可 (4)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性 跟踪训练 (1)将自然数 0,1,2， ? 按照如下形式进行摆列： 根据以上规律判定，从 2 016 到 2 018 的箭头方向是 ( ) 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说， 01 ，箭头垂直指下， 45 箭头也是垂直指下， 89 也是如此，而 2 016 4504 ，所以 2 0162 017 也是箭头垂直指下，之后 2 0172 018 的箭头是水平向右，故选 A. (2)如图，有一个六
9、边形的点阵，它的中心是 1 个点 (算第 1 层 )，第 2 层每边有 2 个点，第3层每边有 3个点， ? ，依此类推，如果一个六边形点阵共有 169个点，那么它的层数为 ( ) A 6 B 7 C 8 D 9 答案 C 解析 由题意知，第 1 层的点数为 1，第 2 层的点数为 6，第 3 层的点数为 26 ，第 4 层的点数为 36 ，第 5 层的点数为 46 ， ? ，第 n(n2 ， n N*)层的点数为 6(n 1)设一个点阵有 n(n2 ， n N )层，则共有的点数为 1 6 62 ? 6(n 1) 1 6 n?n 1?2 3n2 3n 1，由题意，得 3n2 3n 1 169
10、，即 (n 7)( n 8) 0，所以 n 8，故共有 8层 题型二 类比推理 典例 (1)等差数列 an的公差为 d，前 n 项的和为 Sn，则数列 ? ?Snn 为等差数列，公差为 d2.类似地，若各项均为正数的等比数列 bn的公比为 q，前 n 项的积为 Tn，则等 比数列 n Tn的公比为 ( ) A.q2 B q2 C. q D.n q 答案 C 解析 由题设，得 Tn b1 b2 b3? bn b1 b1q b1q2? b1qn 1 bn1q1 2 ? (n 1) bn1( 1)2nnq? . n Tn b1 12nq? ， 等比数列 n Tn的公比为 q，故选 C. (2)在平面
11、上，设 ha， hb， hc是 ABC 三条边上的高， P 为三角形内任一点， P 到相应三边的距离分别为 Pa， Pb， Pc，我们可以得到结论： Paha Pbhb Pchc 1.把它类比到空间，则三棱锥中的=【 ;精品教育资源文库 】 = 类似结论为 _ 答案 Paha Pbhb Pchc Pdhd 1 解析 设 ha， hb， hc， hd分别是三棱锥 A BCD 四个面上的高， P 为三棱锥 A BCD 内任一 点，P到相 应四个面的距离分别为 Pa， Pb， Pc， Pd，于是可以得出结论： Paha Pbhb Pchc Pdhd 1. 思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出
12、发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键 (2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等 跟踪训练 (2018 晋江模拟 )在我国南宋数学家杨辉所著的详解 九章算法 (1261 年 )一书中，用如下图 1 所示的三角形，解释二项和的乘方规律在欧洲直到 1623 年以后，法国数学家布莱士 帕斯卡的著作 (1655 年 )介绍了这个三角形近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是 “ 中国三角形 ”(Chinese triangle) 如图 1,17 世纪德国数学家
13、莱布尼茨发现了 “ 莱布尼茨三角形 ” 如下图 2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式： CrnCr 1n Cr 1n 1，其中 n 是行数， r N.请类 比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 _ 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ? C0n C1n ? Crn ? Cn 1n Cnn 图 1 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16 ? =【 ;精品教育资源文库 】 = 1C1n 1C0n 1C1n 1C1n ? 1C1n 1Crn ?
14、1C1n 1Cn 1n 1C1n 1Cnn 图 2 答案 1C1n 1Crn 1C1n 2Crn 1 1C1n 2Cr 1n 1解析 类比观察得，将莱布尼茨三 角形的每一行都能提出倍数 1C1n 1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子 Crn Cr 1n Cr 1n 1， 有 1C1n 1Crn 1C1n 2Crn 1 1C1n 2Cr 1n 1. 题型三 演绎推理 典例 (2018 保 定模拟 )数列 an的前 n 项和记为 Sn，已知 a1 1， an 1 n 2n Sn (n N )证明： (1)数列 ? ?Snn 是等比数列； (2)Sn 1 4an. 证明 (1) a
15、n 1 Sn 1 Sn， an 1 n 2n Sn， ( n 2)Sn n(Sn 1 Sn)，即 nSn 1 2(n 1)Sn. Sn 1n 1 2 Snn，又 S11 10 ， (小前提 ) 故 ? ?Snn 是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列 (结论 ) (大前提是等比数列的定义，这里省略了 ) (2)由 (1)可知 Sn 1n 1 4 Sn 1n 1(n2) ， Sn 1 4(n 1) Sn 1n 1 4 n 1 2n 1 Sn 1 4an(n2) ， (小前提 ) 又 a2 3S1 3， S2 a1 a2 1 3 4 4a1， (小前提 ) 对于任意正整数 n，都有 Sn 1 4an.(结论 ) (第 (2)问的大前提是第 (1)问的结论以及题中
