1、1.2点、线、面之间的位置关系1.2.2空间两条直线的位置关系理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章立体几何初步知识点一考点一考点二知识点二考点三下图为一输电线路，请观察：下图为一输电线路，请观察： 问题问题1：电线杆：电线杆a，b所在的直线有什么样的位置关所在的直线有什么样的位置关系？系？ 提示：提示：平行平行 问题问题2：两电线杆之间的保险杠：两电线杆之间的保险杠c，d所在的直线有所在的直线有什么样的位置关系？什么样的位置关系？ 提示：提示：相交相交 问题问题3：电线：电线e与电线杆与电线杆a所在的直线共面吗？所在的直线共面吗？ 提示：提示：不共面不共面空间两直线之间的位置关系空间两直
2、线之间的位置关系位置关系位置关系共面情况共面情况公共点个数公共点个数相交直线相交直线在同一平面内在同一平面内 平行直线平行直线在同一平面内在同一平面内 异面直线异面直线不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内 有且只有一个有且只有一个没有没有没有没有 在初中学过，在同一平面内，若两条直线都与第三在初中学过，在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行条直线平行，那么这两条直线互相平行 问题问题1：在空间中是否有类似的规律？：在空间中是否有类似的规律？ 提示：提示：有有 问题问题2：你能否利用教室中的物体举出符合这一规：你能否利用教室中的物体举出符合这一规律的实例？律的实例
3、？ 提示：提示：可以如教室前后墙与地面和屋顶的交线可以如教室前后墙与地面和屋顶的交线 问题问题3：观察教室地面和后墙的墙角与前墙和天花：观察教室地面和后墙的墙角与前墙和天花板的墙角大小怎样？板的墙角大小怎样？ 提示：提示：相等相等 1平行公理平行公理(公理公理4) (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相 这一性质叫做空间这一性质叫做空间 平行平行平行线的传递性平行线的传递性ac 2等角定理等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别如果一个角的两边和另一个角的两边分别 并且并且方向方向 ，那么这两角相等，那么这两角相等平行平行相同相同定理定理文
4、字语言文字语言符号表示符号表示图形语言图形语言异面直异面直线的判线的判定定 定定 理理过平面内一点过平面内一点和平面外一点和平面外一点的直线，和这的直线，和这个平面内不经个平面内不经过该点的直线过该点的直线是异面直线是异面直线 ，则，则l与与AB异面异面l，A/ ，B，B/ l3异面直线异面直线(1)异面直线的判定定理：异面直线的判定定理：ab锐角锐角直角直角 1对于异面直线的定义的理解对于异面直线的定义的理解 异面直线是不同在任何一个平面异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线注意异面直线定义中内的两条直线注意异面直线定义中“任何任何”两字，它指空间中的所有平面，两字，它指空间中的所有平面，
5、因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过使其同时经过a、b两条直线例如，如图所示的长方体两条直线例如，如图所示的长方体中，棱中，棱AB和和B1C1所在的直线既不平行又不所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故故AB与与B1C1是异面直线是异面直线 2对平行公理与等角定理的理解对平行公理与等角定理的理解 公理公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明平行的
6、依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，方法等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补相同时，它们相等，否则它们互补 如图在正方体如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F，E1，F1分别为棱分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点的中点 求证：求证：EA1FE1CF1. 思路点拨思路点拨解答本题时，可先证明角的两边分别平解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即行，即A1ECE1，A1FCF1，然后根据等
7、角定理，得出，然后根据等角定理，得出结论结论 精解详析精解详析如图所示，如图所示， 一点通一点通运用公理运用公理4的关键是寻找的关键是寻找“中间量中间量”即第三即第三条直线证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可条直线证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现以通过证明三角形相似或全等来实现 1空间两个角空间两个角、且且与与的两边对应平行，若的两边对应平行，若 60，则，则的大小为的大小为_ 解析：解析：由等角定理可知，由等角定理可知，或或180， 60或或120. 答案：答案：60或或120 已知平面已知平面平面平面a，b，baA，c且且ca.求证：求证：b，c
8、是异面直线是异面直线 思路点拨思路点拨可利用定理或反证法解题可利用定理或反证法解题 精解详析精解详析法一：法一：a，b，baA， b ，A.ca，A c，b，c是异面直线是异面直线 法二：法二：(反证法反证法)若若b与与c不是异面直线，则不是异面直线，则bc或或b与与c相相交交 (1)若若bc，ac，ab，这与，这与abA矛盾矛盾 (2)若若b，c相交于相交于B，则，则B，又，又abA，A. AB，即，即b，这与，这与bA矛盾，矛盾， b，c是异面直线是异面直线 一点通一点通应用定理证明异面直线时要注意定理中条应用定理证明异面直线时要注意定理中条件的确定应用反证法时要注意矛盾的推导件的确定应用
9、反证法时要注意矛盾的推导3.如图，平面如图，平面，相交于相交于EF，AEF， BEF，分别在平面，分别在平面，内作内作EAC FBD，则，则AC和和BD的关系是的关系是_ 解析：解析：由于由于AC，D ，B，B AC，所以，所以AC与与BD 异面异面 答案：答案：异面异面4.如图，如图，AB、CD是两异面直线，是两异面直线， 求证：直线求证：直线AC、BD也是异面也是异面 直线直线 证明：法一：证明：法一：假设假设AC和和BD不是异面直线，则不是异面直线，则AC和和BD在在 同一平面内，设这个平面为同一平面内，设这个平面为， 由由AC，BD，知，知A，B，C，D. 故故AB，CD. 这与这与A
10、B和和CD是异面直线矛盾，是异面直线矛盾， 所以假设不成立，则直线所以假设不成立，则直线AC和和BD是异面直线是异面直线 法二：法二：由题图可知，直线由题图可知，直线AB，AC相交于点相交于点A，所以它们，所以它们确定一个平面为确定一个平面为.由直线由直线AB和和CD是异面直线，是异面直线，知知D ，即直线，即直线BD过平面过平面外一点外一点D与平面与平面内一点内一点B.又又AC，B AC，所以直线，所以直线AC和和BD是异面直线是异面直线. 思路点拨思路点拨找过找过E点且与点且与CD平行的直线，在平行的直线，在ACD中，中，E为中点，则取为中点，则取AC的中点的中点F，连结，连结EF，有，有
11、EFCD，则可知异面直线则可知异面直线BE和和CD所成的角为所成的角为BEF或其补角或其补角 精解详析精解详析取取AC的中点的中点F，连结，连结EF，BF，在，在ACD中，中，E、F分别是分别是AD、AC的中点，所以的中点，所以EFCD.所所以以BEF即为所求的异面直线即为所求的异面直线BE与与CD所成的角或其补所成的角或其补角角 一点通一点通异面直线所成角的定义明确给出了异面异面直线所成角的定义明确给出了异面直线所成角的范围及求异面直线所成角的方法，即平移直线所成角的范围及求异面直线所成角的方法，即平移法作出异面角后转化为解三角形求角，体现了把空间角法作出异面角后转化为解三角形求角，体现了把
12、空间角转化为平面角来求的基本思想转化为平面角来求的基本思想5在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知棱长为中，已知棱长为a，则异，则异 面直线面直线A1B与与B1C所成角的大小为所成角的大小为_解析：解析：如图，连结如图，连结A1D，BD，A1DB1C，BA1D为所求，为所求，在在A1DB中，中，A1DBDA1B，DA1B60.答案：答案：606如图，已知正三棱柱如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，的各条棱长都相等， M是侧棱是侧棱CC1的中点，求异面直线的中点，求异面直线AB1和和BM所成的角为所成的角为 _(正三棱柱是指底面为正三角形且侧棱与底正三棱柱是指底面为正三角形且侧棱与底 面垂直的三棱柱面垂直的三棱柱)答案：答案：90 1证明两线平行的方法：证明两线平行的方法：(1)定义法定义法(多用反证法多用反证法)，(2)利用公理利用公理4即平行传递性即平行传递性 2等角定理为两条异面直线所成的角的定义提等角定理为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性供了可能性与唯一性 3求两条异面直线所成角的方法步骤求两条异面直线所成角的方法步骤
