1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5 讲 垂直关系 一、选择题 1.(2015 浙江卷 )设 ， 是两个不同的平面 ， l， m 是两条不同的直线 ， 且 l ， m ( ) A.若 l ， 则 B.若 ， 则 l m C.若 l ， 则 D.若 ， 则 l m 解析 由面面垂直的判定定理 ， 可知 A 选项正确； B 选项中 ， l 与 m 可能平行； C 选项中 ， 与 可能相交； D 选项中 ， l 与 m 可能异面 . 答案 A 2.(2017 深圳四校联考 )若平面 ， 满足 ， l， P ， P?l， 则下列命题中是假命题的为 ( ) A.过 点 P 垂直于平面 的直 线平行于
2、平面 B.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 内 C.过点 P 垂直于平面 的直线在平面 内 D.过点 P 且在平面 内垂直于 l 的直线必垂直于平面 解析 由于过点 P 垂直于平面 的直线必平行于平面 内垂直于交线的直线 ， 因此也平行于平面 ， 因此 A 正确 .过点 P 垂直于直线 l 的直线有可能垂直于平面 ， 不一定在平面 内 ， 因此 B 不正确 .根据面面垂直的性质定理知 ， 选项 C， D 正确 . 答案 B 3.如图 ， 在正四面体 P ABC 中 ， D， E， F 分别是 AB， BC， CA 的中点 ，下面四个结论不成立的是 ( ) A.BC 平面 PDF B.DF
3、 平面 PAE C.平面 PDF 平面 PAE D.平面 PDE 平面 ABC 解析 因为 BC DF， DF 平面 PDF， BC?平面 PDF， 所以 BC 平面 PDF， 故选项 A 正确 . 在正四面体中 ， AE BC， PE BC， AE PE E， BC 平面 PAE， DF BC，则 DF 平面 PAE， 又 DF 平面 PDF， 从而平面 PDF 平面 PAE.因此选项 B， C 均正确 . 答案 D 4.(2017 西安调研 )设 l 是直线 ， ， 是两个不同的平面 ， 则下列说法正确的是 ( ) A.若 l ， l ， 则 B.若 l ， l ， 则 =【 ;精品教育资
4、源文库 】 = C.若 ， l ， 则 l D.若 ， l ， 则 l 解析 A 中 ， 或 与 相交 ，不正确 .B 中 ， 过直线 l 作平面 ， 设 l ，则 l l， 由 l ， 知 l ， 从而 ， B 正确 .C 中 ， l 或 l ， C 不正确 .D中 ， l 与 的位置关系不确定 . 答案 B 5.(2017 天津滨海新区模拟 )如图 ， 以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕 ，把 ABD 和 ACD 折成互相垂直的两个平面后 ， 某学生得出下列四个结论： BD AC； BAC 是等边三角形； 三棱锥 D ABC 是 正三棱锥； 平面 ADC 平面 A
5、BC. 其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 由题意知 ， BD 平面 ADC， 且 AC 平面 ADC， 故 BD AC， 正确； AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高 ， 平面 ABD 平面 ACD， 所以 AB AC BC， BAC 是等边三角形 ， 正确；易知 DA DB DC， 又由 知 正确；由 知 错 . 答案 B 二、填空题 6.如图 ， 已知 PA 平面 ABC， BC AC， 则图中直角三角形的个数为 _. 解析 PA 平面 ABC， AB， AC， BC 平面 ABC， PA AB， PA AC， PA BC， 则 PAB， PAC 为直角三角形 .由
6、BC AC， 且 AC PA A， BC 平面 PAC， 从而 BC PC， 因此 ABC， PBC 也是直角 三角形 . 答案 4 7.如图所示 ， 在四棱锥 P ABCD 中 ， PA 底面 ABCD， 且底面各边都相等 ， M 是 PC 上的一动点 ， 当点 M 满足 _时 ， 平面 MBD 平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可 ). =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由定理可知 ， BD PC. 当 DM PC(或 BM PC)时 ， 有 PC 平面 MBD. 又 PC 平面 PCD， 平 面 MBD 平面 PCD. 答案 DM PC(或 BM PC 等 ) 8.(201
7、6 全国 卷 ) ， 是两个平面 ， m， n 是两条直线 ， 有下列四个命题： 如果 m n， m ， n ， 那么 ； 如果 m ， n ， 那么 m n； 如果 ， m ， 那么 m ； 如果 m n， ， 那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 . 其中正确的命题有 _(填写所有正确命题的编号 ). 解析 对于 ， ， 可以平行 ， 也可以相交但不垂直 ， 故错误 . 对于 ， 由线面平行的性质定理知存在直线 l ， n l， m ， 所以 m l， 所以 m n，故正确 . 对于 ， 因为 ， 所以 ， 没有公共点 .又 m ， 所以 m， 没有公共点 ， 由线面平行的定义可
8、知 m ， 故正确 . 对于 ， 因为 m n， 所以 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 .因为 ， 所以 n与 所成的角和 n 与 所成的角相等 ， 所以 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 ，故正确 . 答案 三、解答题 9.(2017 南昌 质检 )如图 ， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直 ， 且 ABBC BD 2， ABC DBC 120， E， F， G 分别为 AC， DC， AD 的中点 . (1)求证： EF 平面 BCG； (2)求三棱锥 D BCG 的体积 . (1)证明 由已知得 ABC DBC， 因此 AC DC. 又 G 为 AD 的中点 ， 所
9、以 CG AD. 同理 BG AD， 又 BG CG G， 因此 AD 平面 BCG. 又 EF AD， 所以 EF 平面 BCG. (2)解 在平面 ABC内 ， 作 AO BC， 交 CB的延长线于 O， 如图由平面 ABC平面 BCD， 平面 ABC 平面 BDC BC， AO 平面 ABC， 知 AO 平面 BDC. 又 G 为 AD 中点 ， 因此 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半 . 在 AOB 中 ， AO AB sin 60 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 VD BCG VG BCD 13S DBC h 13 12BD BC sin 120 3
10、2 12. 10.(2016 北京卷 )如图 ， 在四棱锥 P ABCD 中 ， PC 平面 ABCD， AB DC， DC AC. (1)求证： DC 平面 PAC； (2)求证：平面 PAB 平面 PAC； (3)设点 E 为 AB 的中点 ， 在棱 PB 上是否存在点 F， 使得 PA 平面 CEF？说明理由 . (1)证明 因为 PC 平面 ABCD， 所以 PC DC.又因为 AC DC， 且PC AC C， 所以 DC 平面 PAC. (2)证明 因为 AB CD， DC AC， 所以 AB AC. 因为 PC 平面 ABCD， 所以 PC AB. 又因为 PC AC C， 所以
11、AB 平面 PAC. 又 AB 平面 PAB， 所以平面 PAB 平面 PAC. (3)解 棱 PB 上存在点 F， 使得 PA 平面 CEF. 理由如下：取 PB 的 中点 F， 连接 EF， CE， CF， 又因为 E 为 AB 的中点 ， 所以 EF PA.又因为 PA?平面 CEF， 且 EF 平面 CEF， 所以 PA 平面 CEF. 11.设 m， n 是 两条不同的直线 ， ， 是两个不同的平面 .则下列说法正确的是 ( ) A.若 m n， n ， 则 m B.若 m ， ， 则 m C.若 m ， n ， n ， 则 m D.若 m n， n ， ， 则 m 解析 A 中 ，
12、 由 m n， n 可得 m 或 m 与 相交或 m ， 错误； B 中 ， 由 m ， 可得 m 或 m 与 相交或 m ， 错误； C 中 ， 由 m ， n 可得 m n， 又n ， 所以 m ， 正确； D 中 ， 由 m n， n ， 可得 m 或 m 与 相交或 m ， 错误 . 答案 C 12.(2017 合肥 模拟 )如图 ， 在正方形 ABCD 中 ， E， F 分 别是 BC， CD 的中点 ， 沿 AE， AF，EF 把正方形折成一个四面体 ， 使 B， C， D 三点重合 ， 重合后的点记为 P， P 点在 AEF 内的射影为 O， 则下列说法正确的是 ( ) =【 ;
13、精品教育资源文库 】 = A.O 是 AEF 的垂心 B.O 是 AEF 的内心 C.O 是 AEF 的外心 D.O 是 AEF 的重心 解析 由题意可知 PA， PE， PF 两两垂直 ， 所以 PA 平面 PEF， 从而 PA EF， 而 PO 平面 AEF，则 PO EF， 因为 PO PA P， 所以 EF 平面 PAO， EF AO， 同理可知 AE FO， AF EO， O 为 AEF 的垂心 . 答案 A 13.如图 ， 已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形 ， PA 平面 ABC，PA 2AB， 则下列结论中： PB AE； 平面 ABC 平面 PBC； 直线 BC
14、平面 PAE； PDA 45 . 其中正确的有 _(把所有正 确的序号都填上 ). 解析 由 PA 平面 ABC， AE 平面 ABC， 得 PA AE， 又由正六边形的性质得 AE AB， PA AB A， 得 AE 平面 PAB， 又 PB 平面 PAB， AEPB， 正确；又平面 PAD 平面 ABC， 平面 ABC 平面 PBC 不成立 ， 错；由正六边形的性质得 BC AD， 又 AD 平面 PAD， BC?平面 PAD， BC 平面 PAD， 直线 BC 平面 PAE也不成立 ， 错；在 Rt PAD 中 ， PA AD 2AB， PDA 45 ， 正确 . 答案 14.(2016
15、 四川卷 )如图 ， 在四棱锥 P ABCD 中 ， PA CD， AD BC， ADC PAB 90， BC CD 12AD. (1)在平面 PAD 内找一点 M， 使得直线 CM 平面 PAB， 并说明理由 . (2)证明：平面 PAB 平面 PBD. (1)解 取棱 AD 的中点 M(M 平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点 ，理由如下： 因为 AD BC， BC 12AD.所以 BC AM， 且 BC AM. 所以四边形 AMCB 是平行四边形 ， 从而 CM AB. 又 AB 平面 PAB.CM?平面 PAB. 所以 CM 平面 PAB. =【 ;精品教育资源文库 】 = (说明：取棱 PD 的中点 N， 则所找的点可以是直线 MN 上任意一点 ) (2)证明 由已知 ， PA AB， PA CD. 因为 AD BC， BC 12AD，
