1、=【 ;精品教育资源 文库 】 = 第 6 讲 空间向量及其运算 一、选择题 1.(2017 铜川调研 )已知向量 a (2m 1， 3， m 1)， b (2， m， m)， 且 a b， 则实数m 的值等于 ( ) A.32 B. 2 C.0 D.32或 2 解析 a b， 2m 12 3m m 1 m ， 解得 m 2. 答案 B 2.(2017 海南模拟 )在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， M， N 分别为棱 AA1和 BB1的中点 ， 则 sin CM ， D1N 的值为 ( ) A.19 B.4 59 C.2 59 D.23 解析 如图 ， 设正方体棱长为 2， 则易得
2、CM (2， 2， 1)， D1N (2，2， 1)， cos CM ， D1N CM D1N|CM |D1N | 19， sin CM ， D1N 1 ? ? 192 4 59 . 答案 B 3.空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等 ， E 是 BC 的中点 ， 那么 ( ) A.AE BC AE CD B.AE BC AE CD C.AE BC AE CD D.AE BC 与 AE CD 的大小不能比较 解析 取 BD 的中点 F， 连接 EF， 则 EF 綊 12CD， 因为 AE ， EF AE ， CD 90 ， 因为 AE BC 0， AE CD 0， 所以 AE BC AE
3、 CD . 答案 C 4.已知向量 a (1， 1， 0)， b ( 1， 0， 2)， 且 ka b 与 2a b 互 相垂直，则 k 的值是 ( ) A. 1 B.43 C.53 D.75 解析 由题意得 ， ka b (k 1， k， 2)， 2a b (3， 2， 2).所以 (ka b)(2 a b)=【 ;精品教育资源 文库 】 = 3(k 1) 2k 22 5k 7 0， 解得 k 75. 答案 D 5.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a， 点 E， F 分别是 BC， AD 的中点 ，则 AE AF 的值为 ( ) A.a2 B.12a2 C.14a2 D
4、. 34 a2 解析 如图 ， 设 AB a， AC b， AD c， 则 |a| |b| |c| a， 且 a， b， c 三向量两两夹角为 60 . AE 12(a b)， AF 12c， AE AF 12(a b) 12c 14(a c b c) 14(a2cos 60 a2cos 60 ) 14a2. 答案 C 二、填空题 6.已知 2a b (0， 5， 10)， c (1， 2， 2)， a c 4， |b| 12， 则以 b， c 为方向向量的两直线的夹角为 _. 解析 由题意得 ， (2a b) c 0 10 20 10. 即 2a c bc 10， 又 ac 4， bc 18
5、， cos b， c bc|b| c| 1812 1 4 4 12， b， c 120 ， 两直线的夹角为 60 . 答案 60 7.正四面体 ABCD 的棱长为 2， E， F 分别为 BC， AD 中点 ， 则 EF 的长为 _. 解析 |EF |2 (EC CD DF )2 EC 2 CD 2 DF 2 2(EC CD EC DF CD DF ) 12 22 12 2(12 cos 120 0 21 cos 120 ) 2， |EF | 2， EF 的长为 2. 答案 2 8.(2017 南昌调研 )已知空间四边形 OABC， 其对角线为 OB， AC， M， N 分别是 OA， BC
6、的中点 ， 点 G 在线段 MN 上 ， 且 MG 2GN ， 现用基底 OA ， OB ， OC 表示向量 OG ， 有 OG xOA yOB=【 ;精品教育资源 文库 】 = zOC ， 则 x， y， z 的值分别为 _. 解析 OG OM MG 12OA 23MN 12OA 23(ON OM ) 12OA 23? ?12（ OB OC ） 12OA 16OA 13OB 13OC ， x 16， y 13， z 13. 答案 16， 13， 13 三、解答题 9.已知空间中三点 A( 2， 0， 2)， B( 1， 1， 2)， C( 3， 0， 4)， 设 a AB ， b AC .
7、(1)若 |c| 3， 且 c BC ， 求向量 c. (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值 . 解 (1) c BC ， BC ( 3， 0， 4) ( 1， 1， 2) ( 2， 1， 2)， c mBC m( 2， 1， 2) ( 2m， m， 2m)， |c| （ 2m） 2（ m） 2（ 2m） 2 3|m| 3， m 1. c ( 2， 1， 2)或 (2， 1， 2). (2) a (1， 1， 0)， b ( 1， 0， 2)， ab (1， 1， 0)( 1， 0， 2) 1， 又 | a| 12 12 02 2， |b| （ 1） 2 02 22 5， cos a，
8、 b ab|a| b| 110 1010 ， 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为 1010 . 10.如图 ， 在棱长为 a 的正方体 OABC O1A1B1C1中 ， E， F 分别是棱 AB，BC 上的动点 ， 且 AE BF x， 其中 0 x a， 以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. (1)写出点 E， F 的坐标； (2)求证： A1F C1E； (3)若 A1， E， F， C1四点共面 ， 求证： A1F 12A1C1 A1E . (1)解 E(a， x， 0)， F(a x， a， 0). =【 ;精品教育资源 文库 】 = (2)证明 A1(a， 0， a)，
9、 C1(0， a， a)， A1F ( x， a， a)， C1E (a， x a， a)， A1F C1E ax a(x a) a2 0， A1F C1E ， A1F C1E. (3)证明 A1， E， F， C1四点共面 ， A1E ， A1C1 ， A1F 共面 . 选 A1E 与 A1C1 为在平面 A1C1E 上的一组基向量 ， 则存在唯一实数对 ( 1， 2)， 使 A1F 1A1C1 2A1E ， 即 ( x， a， a) 1( a， a， 0) 2(0， x， a) ( a 1， a 1 x 2， a 2)， ? x a 1，a a 1 x 2， a a 2，解得 1 12，
10、2 1.于是 A1F 12A1C1 A1E . 11.在空间四边形 ABCD 中 ， AB CD AC DB AD BC ( ) A. 1 B.0 C.1 D.不确定 解析 如图 ， 令 AB a， AC b， AD c， 则 AB CD AC DB AD BC a( c b) b( a c) c( b a) a c a b b a b c c b c a 0. 答案 B 12.若 a， b， c是空间的一个基底 ， 且向量 p xa yb zc， 则 (x， y， z)叫向量 p 在基底a， b， c下的坐标 . 已知 a， b， c是空间的一个基底 ， a b， a b， c是空间的另一个
11、基底 ， 一向量 p 在 基底 a， b， c下的坐标为 (4， 2， 3)， 则向量 p 在基底 a b， a b， c下的坐标是 ( ) A.(4， 0， 3) B.(3， 1， 3) C.(1， 2， 3) D.(2， 1， 3) 解析 设 p 在基底 a b， a b， c下的坐标为 x， y， z.则 p x(a b) y(a b) zc (x y)a (x y)b zc， 因为 p 在 a， b， c下的坐标为 (4， 2， 3)， p 4a 2b 3c， =【 ;精品教育资源 文库 】 = 由 得?x y 4，x y 2，z 3，?x 3，y 1，z 3，即 p 在 a b， a
12、 b， c下的坐标为 (3， 1， 3). 答案 B 13.(2017 郑州调研 )已知 O 点为空间直角坐标系的原点 ， 向量 OA (1， 2， 3)， OB (2，1， 2)， OP (1， 1， 2)， 且点 Q 在直线 OP 上运动 ，当 QA QB 取得最小值时 ， OQ 的坐标是_. 解析 点 Q 在直线 OP 上 ， 设点 Q( ， ， 2 )， 则 QA (1 ， 2 ， 3 2 )， QB (2 ， 1 ， 2 2 )， QA QB (1 )(2 ) (2 )(1 ) (3 2 )(2 2 ) 6 2 16 106? ? 432 23.即当 43时 ， QA QB 取得最小
13、值 23.此时 OQ ? ?43， 43， 83 . 答案 ? ?43， 43， 83 14.如图所示 ， 已知空间四边 形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1， 点 E，F， G 分别是 AB， AD， CD 的中点 ， 计算： (1)EF BA ； (2)EG 的长； (3)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值 . 解 设 AB a， AC b， AD c. 则 |a| |b| |c| 1， a， b b， c c， a 60 ， (1)EF 12BD 12c 12a， BA a， DC b c， EF BA ? ?12c 12a ( a) 12a2 12ac 14， (2)EG EB BC CG 12a b a 12c 12b 12a 12b 12c， |EG |2 14a2 14b2 14c2 12ab 12bc 12ca 12， 则 |EG | 22 . (3)AG 12b 12c， CE CA AE b 12a， =【 ;精品教育资源 文库 】 = cos AG ， CE AG CE|AG |CE | 23， 由于异面直线所成角的范围是 ? ?0， 2 ， 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 23.
