1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考专题突破三 高考中的数列问题 【考点自测】 1 (2017 洛阳模拟 )已知等差数列 an的公差和首项都不等于 0，且 a2， a4， a8成等比数列，则 a1 a5 a9a2 a3等于 ( ) A 2 B 3 C 5 D 7 答案 B 解析 在等差数列 an中， a2， a4， a8 成等比数列， a24 a2a8， ( a1 3d)2 (a1 d)(a1 7d)， d2 a1d， d0 ， d a1， a1 a5 a9a2 a3 15a15a1 3.故选 B. 2 (2018 衡水调研 )已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a5 5， S5 1
2、5，则数列 ? ?1anan 1的前 100 项和为 ( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100 答案 A 解析 设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d. a5 5， S5 15， ? a1 4d 5，5a1 5 ?5 1?2 d 15， ? a1 1，d 1， an a1 (n 1)d n. 1anan 1 1n?n 1? 1n 1n 1， 数列 ? ?1anan 1的前 100 项和为 ? ?1 12 ? ?12 13 ? ?1100 1101 1 1101 100101. 3若 a， b 是函数 f(x) x2 px q(p 0， q 0)的两个不同的
3、零点，且 a， b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值等于 ( ) A 6 B 7 C 8 D 9 答案 D 解析 由题意知 a b p， ab q， p 0， q 0， a 0， b 0.在 a， b， 2 这三个数的6 种排序中，成等差数列的情况有： a， b， 2； b， a， 2； 2， a， b； 2， b， a；成等比数列的情况有： a， 2， b； b， 2， a. =【 ;精品教育资源文库 】 = ? ab 4，2b a 2 或 ? ab 4，2a b 2， 解得 ? a 4，b 1 或 ? a 1，b 4. p 5， q 4， p
4、 q 9，故选 D. 4 (2017 江西高安中学等九校联考 )已知数列 an是等比数列，数列 bn是等差数列，若a1 a6 a11 3 3， b1 b6 b11 7 ，则 tan b3 b91 a4 a8的值是 ( ) A 1 B. 22 C 22 D 3 答案 D 解析 an是等比数列， bn是等差数列，且 a1 a6 a11 3 3， b1 b6 b11 7 ， a36( 3)3， 3b6 7 ， a6 3， b6 73 ， tan b3 b91 a4 a8 tan 2b61 a26 tan2 731 ? 3?2 tan? ? 73 tan? ? 2 3 tan 3 3. 5 (2018
5、 保定模拟 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn，对任意 n N 都有 Sn 23an 13，若 10， n N . (1)若 a2， a3， a2 a3成等差数列，求数列 an的通项公式； (2)设双曲线 x2 y2a2n 1 的离心率为 en，且 e2 2，求 e21 e22 e2n. 解 (1)由已知， Sn 1 qSn 1，得 Sn 2 qSn 1 1，两式相减得 an 2 qan 1， n1. 又由 S2 qS1 1 得 a2 qa1， 故 an 1 qan对所 有 n1 都成立 所以数列 an是首项为 1，公比为 q 的等比数列， 从而 an qn 1. 由 a2， a3， a2
6、 a3成等差数列，可得 2a3 a2 a2 a3， 所以 a3 2a2，故 q 2. 所以 an 2n 1(n N ) (2)由 (1)可知， an qn 1， 所以双曲线 x2 y2a2n 1 的离心率 en 1 a2n 1 q2?n 1?. 由 e2 1 q2 2，解得 q 3， 所以 e21 e22 e2n (1 1) (1 q2) 1 q2(n 1) n 1 q2 q2(n 1) n q2n 1q2 1 n12(3n 1) 思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差 (公比
7、 )等，确定解题的顺序 (2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题 中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的 跟踪训练 1 (2018 沧州模拟 )已知首项为 32的等比数列 an不是递减数列，其前 n 项和为Sn(n N )，且 S3 a3， S5 a5， S4 a4成等差数列 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求数列 an的通项公式； (2)设 Tn Sn 1Sn(n N )，求数列 Tn的最大项的值与最小项的值 解 (1)设等比数列 an的公比为 q， 因 为 S3 a
8、3， S5 a5， S4 a4成等差数列， 所以 S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5，即 4a5 a3， 于是 q2 a5a3 14. 又 an不是递减数列且 a1 32，所以 q 12. 故等比数列 an的通项公式为 an 32 ? ? 12 n 1 ( 1)n 1 32n. (2)由 (1)得 Sn 1 ? ? 12 n? 1 12n， n为奇数，1 12n， n为偶数 .当 n 为奇数时， Sn随 n 的增大而减小， 所以 1Sn 1Sn S2 1S2 34 43 712. 综上，对于 n N ，总有 712 Sn 1Sn 56. 所以数列 Tn的最大项的值为 56，最小项的
9、值为 712. 题型二 数列的通项与求和 例 2 (2018 邢台模拟 )已知等差数列 an的公差为 2，前 n 项和为 Sn， 且 S1， S2， S4成等比数列 (1)求数列 an的通项公式； (2)令 bn ( 1)n 1 4nanan 1，求数列 bn的前 n 项和 Tn. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)因为 S1 a1， S2 2a1 212 2 2a1 2， S4 4a1 432 2 4a1 12， 由题意得 (2a1 2)2 a1(4a1 12)， 解得 a1 1，所以 an 2n 1. (2)bn ( 1)n 1 4nanan 1 ( 1)n 1 4n?2n 1?
10、2n 1? ( 1)n 1? ?12n 1 12n 1 . 当 n 为偶数时， Tn ? ?1 13 ? ?13 15 ? ?12n 3 12n 1 ? ?12n 1 12n 1 1 12n 1 2n2n 1. 当 n 为奇数时， Tn ? ?1 13 ? ?13 15 ? ?12n 3 12n 1 ? ?12n 1 12n 1 1 12n 1 2n 22n 1. 所以 Tn? 2n 22n 1， n为奇数，2n2n 1， n为偶数 .(或 Tn 2n 1 ? 1?n 12n 1 ) 思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时从要证的结论出发，这是很重要的解题信息 (2)根据数列的特
11、点选择合适的求和方法，常用的求 和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等 跟踪训练 2 (2018 大连模拟 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1 12， an 1 n 12n an(n N ) (1)证明：数列 ? ?ann 是等比数列； (2)求数列 an的通项公式与前 n 项和 Sn. (1)证明 a1 12， an 1 n 12n an， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 n N 时， ann0 ， 又 a11 12， an 1n 1 ann 12(n N )为常数， ? ?ann 是以 12为首项， 12为公比的等比数列 (2)解 由 ? ?ann 是以 12为首
12、项， 12为公比的等比数列， 得 ann 12 ? ?12 n 1， an n ? ?12 n. Sn 1 12 2 ? ?12 2 3 ? ?12 3 n ? ?12 n， 12Sn 1 ?122 2?123 (n 1)?12n n?12n 1， 两式相减得 12Sn 12 ? ?12 2 ? ?12 3 ? ?12 n n ? ?12 n 112 ?12n 11 12 n ? ?12 n 1， Sn 2 ? ?12 n 1 n ? ?12 n 2 (n 2) ? ?12 n. 综上， an n ? ?12 n， Sn 2 (n 2) ? ?12 n. 题型三 数列与其他知识的交汇 命题点
13、1 数列与函数的交汇 例 3 (2018 长春模拟 )设等差数列 an的公差为 d，点 (an， bn)在函数 f(x) 2x的图像上 (n N ) (1)若 a1 2，点 (a8,4b7)在函数 f(x)的图像上，求数列 an的前 n 项和 Sn； (2)若 a1 1，函数 f(x)的图像在点 (a2， b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2 1ln 2，求数列 ? ?anbn的前 n 项和 Tn. 解 (1)由已知，得 b7 72a ， b8 82a 4b7， 有 82a 4 72a 72a 2， 解得 d a8 a7 2， 所以 Sn na1 n?n 1?2 d 2n n(n 1) n2
14、 3n. (2)f( x) 2xln 2， f( a2) 22a ln 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故函数 f(x) 2x在 (a2， b2)处的切线方程为 y 22a 22a ln 2(x a2)， 它在 x 轴上的截距为 a2 1ln 2. 由题意，得 a2 1ln 2 2 1ln 2， 解得 a2 2， 所以 d a2 a1 1. 从而 an n， bn 2n， anbn n2n. 所以 Tn 12 222 323 n 12n 1 n2n， 2Tn 11 22 322 n2n 1. 两式相减，得 2Tn Tn 1 12 122 12n 1 n2n 2 12n 1 n2n 2n
15、 1 n 22n . 所以 Tn 2n 1 n 22n . 命题点 2 数列与不等式的交汇 例 4 (2016 天津 )已知 an是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 n N ， bn是an和 an 1的等比中项 (1)设 cn b2n 1 b2n， n N ，求证：数列 cn是等差数列； (2)设 a1 d， Tn 2nk 1 ( 1)kb2k， n N ，求证： nk 1 1Tk12d2. 证明 (1)由题意得 b2n anan 1， cn b2n 1 b2n an 1an 2 anan 1 2dan 1. 因此 cn 1 cn 2d(an 2 an 1) 2d2， 所以 cn是等差数列 (2)Tn ( b21 b22) ( b23 b24) ( b22n 1 b22n) 2d(a2 a4 a2n) 2d n?a2 a2n?2
