1、第四章第四章 流体动力学基础流体动力学基础 第一节第一节 流体的运动微分方程流体的运动微分方程第二节第二节 元流的伯努利方程元流的伯努利方程第三节第三节 总流的伯努利方程总流的伯努利方程第四节第四节 总流的动量方程总流的动量方程第五节第五节 理想流体的无旋流动理想流体的无旋流动第一节第一节 流体的运动微分方程流体的运动微分方程一、理想流体运动微分方程一、理想流体运动微分方程 在运动的理想流体中，取微小平行六面体(质点)，正交的三个边长dx,dy,dz,分别平行于x,y,z坐标轴(图41)。设六面体的中心点o，速度压强，分析该微小六面体方向的受力和运动情况。 1. 1.表面力：表面力：理想流体内
2、不存在切应力只有压强方向受压面(abcd面和abcd面)形心点 图图4141连续性微分方程连续性微分方程的压强为： 受压面上的压力为： 质量力：由牛顿第二定律 得：( ) -( ) + dtdudxdydzxdxppxpM21dxppxpN21dydzpPMMdydzpPNNdxdydzXFBxdtduxxmFdxpxp21dxpxp21dydzdxdydzX化简得： （41） 将加速度项展成欧拉法表达式 : （42） dtduzpdtduypdtduxpzyxZYX111zuzyuyxuxtuzpzuzyuyxuxtuypzuzyuyxuxtuxpzzzzyyyyxxxxuuuZuuuYuu
3、uX111uupftu1用矢量表示为： （43） 上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程式。该式是牛顿第二定律的表达式，因此是控制理想流体运动的基本方程式。1755年欧拉在所著的流体运动的基本原理中建立了欧拉运动微分方程式，及上一节所述的连续性微分方程式。对于理想流体的运动，含 有和四个未知量，由式(330)和式(336)组成的基本方程组，满足未知量和方程式数目一致，流动可以求解。因此说，欧拉运动微分方程和连续性微分方程奠定了理想流体动力学的理论基础。 zyxuuu,二、粘性流体运动微分方程二、粘性流体运动微分方程1 1粘性流体的动压强粘性流体的动压强 理想流体因无粘滞性，运动时不
4、出现切应力，只有法向应力，即动压强。用类似分析流体静压强特性的方法，便可证明任一点动压强的大小与作用面的方位无关，是空间坐标和时间变量的函数， 即 （，）。 粘性流体的应力状态和理想流体不同，由于粘性作用，运动时出现切应力，使任一点的法向应力的大小与作用面的方位有关。如以应力符号的第个下角标表示作用面的方位， 第二个角标表示应力的方向，则法向应力 进步研究证明，任一点任意三个正交面上的法向应力之和都不变，即 据此，在粘性流体中，把某点三个正文面上的法向应力的平均值定义为该点的动压强以p表示： （44） 如此定义，粘性流体的动压强也是空间坐标和时间变量的函数 。zzyyxxpppppppppzz
5、yyxxtzyxpp,zzyyxxpppp312. 2. 应力和变形速度的关系应力和变形速度的关系粘性流体的应力与变形速度有关，其中法向应力与线变形速度有关，切应力则与角变形速度有关 流动中某点的动压强是过该点三个相互正交平面上法向应力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称为附加法向应力，以表示，它是流体微团在法线方向上发生线变形(伸长或缩短)引起的。 （45） 切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中符合牛顿内摩擦定律 zzyypppxx,zuzzzzyuyyyyxuxxxxzyxpppppppppppp222dyduu将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动,得出 （46） 3 3粘性
6、流体运动微分方程粘性流体运动微分方程采用类似于推导理想流体运动微分方程式（41）的方法，取微小平行 六面体，根据牛顿第二定律建立以应力(包括切应力)表示的运动微分方程式，并以式(45)、式(46)代人整理，使得到粘性液体运动微分方程： yuxuyxxyxuzuxzzxzuyuzyyzxyzxyz 用矢量表示为 式中： 拉普拉斯算子。 粘性流体运动微分方程，又称为纳维斯托克斯方程(简写为NS方程)。zuzyuyxuxtuzzpzuzyuyxuxtuyypzuzyuyxuxtuxxpzzzzyyyyzyxxuuuuZuuuuYuuuuX212121uuupftu212222222zyx（48） N
7、S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力(压力和粘性力) 的相平衡。由NS方程式和连续性微分方程式组成的基本方程组，原则上可以求解速度场和压强场p,可以说粘性流体的运动分析，归结为对NS方程的研究。例41 理想流体速度场为 为常数。试求：（1）流动是否可能实现；（2）流线方程；（3）等压面方程(质量力忽略不计) 解 (1)由连续性微分方程 满足连续性条件，流动是可能实现的。 (2)由流线方程 得 ：baubxuayuzyx,0,0zuyuxuzyxyxudyudxbxdyaydxaydybxdx 积分得流线方程a,b同号，流线是双曲线a,b异号,流线是圆。 (3)由欧拉运动微分方程式，不
8、计质量力： 将方程组化为全微分形式:abyxuuabxyuuyxypxyxp11)(1)()(1ydyxdxabdpydyxdxabdyypdxxpcaybx22积分，得令p=常数 即得等压面方程 等压面是以坐标原点为中心的圆。222cyxabpcyx22第二节第二节 元流的伯努利方程元流的伯努利方程一、理想流体运动微分方程的伯努利积分一、理想流体运动微分方程的伯努利积分 理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组，只有特定条件下的积分，其中最为著名的是伯努利(Daniel Bernoull，17001782，瑞士科学家)积分。 （410） zuzyuyxuxzpzuzyuyxuxypzuzy
9、uyxuxxpzzzyyyzyxuuuZuuuYuuuX111由理想流体运动微分方程式 各式分别乘以沿流线的坐标增量dx，dy，dz，然后相加得： 、1.引人限定条件： 作用在流体上的质量力只有重力：X=Y=0,Z=-g; dzdydxZdzYdyXdxzpypxp1)(dzdtdudydtdudxdtduzyxgdzZdzYdyXdx)(dtduzpdtduypdtduxpzyxZYX111.不可压缩，恒定流：,Czyxpp, pzpypxpddpdzdydx11.恒定流流线与迹线重合：dx=uxdt，dy=uydt，dz=uzdt 则2222zyxzyxuuuddzdtdudydtdudx
10、dtdu相加带入后得：dzdydxZdzYdyXdxzpypxp1)(dzdtdudydtdudxdtduzyxgupzgupz2222222111Cgzugp22Czgup22理想流体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分， 由于元流的过流断面积无限小，所以沿流线的伯努利方程就 是元流的伯努利方程。推导该方程引入的限定条件，就是理想流体元流伯努利方程的应用条件，归纳起来有：理想流体；恒定流动；质量力中只有重力；沿元流(流线)；不可压缩流体。1. 1.物理意义式物理意义式 式子中的前两项 、 和 的物理意义分别是单位重量流体具有的比位能压能或比势能；单位重量流体具有的动能。gpzgu22gpz
11、, 三项之和 是单位重量流体具有的机械能，沿同一无流(沿同一流线)。单位重量流体的机械能守恒。伯努利方程又称为能量方程。gugpz222. 2.流体意义流体意义 各项的流体力学意义为：z是位置水头， 压强水头；两项之和 是测压管水头， 是流速水头，三项之和 称为总水头gpgu22gpzHpgugpzH22 图42水头线表示理想流体的恒定流动，沿同一元流(沿同一流线)各断式(423)则面的总水头相等理想流体的水头线是水平线 3. 3.几何意义几何意义各项的几何意义是不同的几何高度：z是位置高度，测压管高度。总结如下：p 例例42 应用皮托(Pito，H.)管测量点流速 前文指出，流速水头可直接量
12、测，现以均匀管流为例加以说明。设均匀管流，欲量测过流断面上某点A的流速(图43)。在该点放置一根两端开口，前端弯转90的细管，使前端管口正对来流方向，另一端垂直向上，此管称为测速管。来流在A点受测速管的阻滞速度为零，动能全部转化为压能测速管中液面升高。 另在A点上游的同一流线取相距很近的o点，因这两点相距很近，o点的压强p实际上等于放置测速管以前A点的压强 应用理想流体元流伯努利方程： （425） （426）022hgpgpgugpgugp22图43点流速的测量式中o点的压强水头，由另根测压管量测，于是测速管和测压管中液面的高度差,就是A点的流速水头，该点的流速： （427） 根据上述原理，将
13、测速管和测风管组合成测量点流速的仪器，图44所示，与迎流孔(测速孔)相通的是测速管，与侧面顺流孔（测压孔或环形窄缝）相通的是测压管。考虑到粘性流体从迎流孔至顺流孔存在粘性效应，以及皮托管队员流场的干扰等影响，引用修正系数C：022ghCgppgCu 图44 毕托管构造022ghgppgu录像 式中C是修正系数数值接近于1.0，由实验测定。 【例4-3】 有一贮水装置如图（4-5）所示，水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。 【解解】 当阀门全开时列1
14、-l、2-2截面的伯努利方程当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程 ， 求出值：gVgppgpHaaa26.00022图45aaappgHp8 . 2OmHgpHa2289806980608 .28 .2 所以管内流量：smgpHgVa/78.209806980606 .08 .2806.926 .022smVdqV/235.078.20785.04322三、粘性流体元流的伯努利方程三、粘性流体元流的伯努利方程 能量守恒原理：能量可以从一种形式转换成另一种形式，既不能创造、也不能消灭，总能量是恒定的 粘性流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程减少，总水头线是沿程下降。 因此，
15、设为粘性流体元流单位重量流体由过流断面11运动至过流断面22的机械能损失，称为元流的水头损失，根据能量守恒原理，便可得到粘性流体元流的伯努利方程水头损失 也具有长度的量纲。whgupz2121122222wguphz 第三节第三节 总流的伯努利方程总流的伯努利方程 上一节的最后得到了粘性液体元流的伯努利方程式，为了解决实际问题，还需要将其推广到总流中去。一、渐变流及其性质一、渐变流及其性质 渐变流： 凡质点的迁移加速度(位变加速度)很小，的流动，或者说流线近于平行直线的流动渐变流是均匀流的宽延，所以均匀流的性质，对于渐变流都近似成立，主要是： 1渐变流的过流断面近于平面。面上各点的速度方向近于
16、平行； 2恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的规律分布，即： czp二、总流的伯努利方程二、总流的伯努利方程 设恒定总流，过流断面11、22为渐变流断面，面积为A1,A2由元流的伯努利方程： 图47急变流和渐变流gupz2121122222wguphz单位时间通过元流两过流断面的能量关系 总流是由无数元流构成的，上式对总流过流断面积分便得到单位时间通过总流两过流断面的总能量关系 分别确定三种类型的积分第一类积分： 因所取过流断面是渐变流断面 dQzgup21211dQzgup22222dQhw11111ApdAuz121112AgudAu22222ApdAuz222222AgudAuQwaQ
17、hApudAzczp 第二类积分： 动能校正系数，式中 是为校正以断面平均速度计算的动能与实际功能的差异而引入的校正系数， 值取决于过流断面上的流速分布情况，分布均匀的流动 。 通常取 AguudA22AguudA22AgudA23Qgv22AvdAudAdAAAgvAgu33232310. 105. 11QpzudAzAp第三类积分： 为总流单位重量流体由11至22断面的平均机械能损失，称总流的水头损失 两断面间无分流及汇流，Q1Q2Q，并以 除上式，得 QwdQhwhQhdQhwQwQhQgvQpzQgvQpzw22222221112gQ wgvpgvphzz2221222221112.
18、2. 伯努利方程的适用条件伯努利方程的适用条件 式式(437)(437)即粘性流体总流的伯努利方程。将元流的伯努利方即粘性流体总流的伯努利方程。将元流的伯努利方程推广为总流的伯努利方程，引入了某些限制条件，也就是程推广为总流的伯努利方程，引入了某些限制条件，也就是总流伯努利方程的适用条件包括：总流伯努利方程的适用条件包括： . .不可压缩流体恒定流；不可压缩流体恒定流； . .质量力只有重力；质量力只有重力； 不可压缩流体不可压缩流体( (以上引自粘性流体元流的伯努利方程以上引自粘性流体元流的伯努利方程) )； . .所取过流断面为渐变流断面；所取过流断面为渐变流断面； . .两断面间无分流和
19、汇流；两断面间无分流和汇流； . .两断面间无能量的输入或支出；两断面间无能量的输入或支出； . .不存在相对运动。不存在相对运动。3. 伯努利方程的方法步骤伯努利方程的方法步骤. .断面选择断面选择 通常选择未知量所在的断面和已知量最多的断面，它们 都必须是渐 变流断面；. .代表点选择代表点选择 无压流一般选择自由液面，有压流一般选在管道中心；. .位置基准面选择位置基准面选择 习惯选择在过各代表点最低者的水平面。位置准面选择对结果无影响；. .压强基准面选择压强基准面选择 液体一般选取相对压强；气体一般选取绝对压强。压强准面选择对结果无影响；. .列伯努利方程列伯努利方程 对于初学者，应
20、该分项列出，哪怕是零，也应该写 出。但一般只用符号代替，而不代入具体数值，以 便推导出未知量的计算公式；. .解伯努利方程解伯努利方程 求解出题目中所要求的未知量；. .给出答案给出答案 给出正确的答案 例例43 用直径d100mm的水管从水箱引水(图49)。水箱水面与管道出口断面中心的高差H4m保持恒定，水头损失 3m水柱。试求管道的流量。 解解 这是一道简单的总流问题，应用伯努利方程：图49管道出流whgvpz21211wgvphz22222 求解的关键是“三选”：选基准面、计算断面和计算点。为便于计算，选通过管道出口断面中心的水平面为基准面00(图49)。计算断面应选在渐变流断面，并使其
21、中一个已知量最多，另一个含待求量。技以上原则本题选水箱水面为11断面，计算点在自由水面上、运动参数z1=H,p1=0 (相对压强), v1=0 。选管道出口断面为22断面，以出H断面的中心运动参数z2=0,p2=0, v2待求。将各量代人总流伯努利方程： 取 得： wgvhH2220 . 12smhHgvw/43. 4)(22录像1录像2录像3 四、总流伯努利方程应用的修正四、总流伯努利方程应用的修正 伯努利方程是古典水动力学应用最广的基本方程。应用伯努利方程要重视方程的应用条件，切忌不顾应用条件，随意套用公式，要对实际问题做具体分析，灵活运用。下面结合三种情况加以讨论。 1.气体的伯努利方程
22、 总流的伯努利方程式(436)是对不可 压缩流体导出的，气体是可压缩流体，但 是对流速不很大(60ms)，压强变化不 大的统，如工业通风管道、烟道等，气流 在运动过程中密度的变化很小，在这样的 条件下，伯努利方程仍可用于气流。由于 气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。 设恒定气流(图410)、气流的密度为 外部空气的密度为 ，过流断面上计算点的绝对压强 。 列11和22断面的伯努利方程式：aabsabsPP21,图410恒定气流wgvphz22222gvpz21211 （438） 进行气流计算，通常把上式表示为压强的形式 （43
23、9） 式中pw为压强损失 （440） 将式(439)中的压强用相对压强p1,p2表示，则： （441） （442） 式中 为 处的大气压， 为高程 处的大 压，代人式(437)，整理得： （443） 12122111vpzabswabspvpz22222wwghpaabsppp111222zzpppaaabs12zzpaaap1z2z122121zzpavwvpp2222 这里 称为静压； 称为动压。 为单位体积气体所受有效浮力， 为气体沿 浮力方向升高的距离，乘积 为11断面相对于22 断面单位体积气体的位能，称为位压。 式（442）就是以相对压强计算的气流伯努利方程。 当气流的密度和外界空
24、气的密度相同 ，或两计算点的高 度相同 时，位压为零，式（442）化简为： （444） 式中静压与动压之和称为全压。 当气流的密度远大于外界空气的密度( )，此时相当 于液体总流，式(443)中 可忽略不计，认为各点的当地大气 压相同，式(443)化简为： 21, pp2,22221vvga12zz 12zzgaa21zz 2121vpwvpp2222aa （445） 除以 ，即 （446） 由此可见，对于液体总流来说，压强 不论是绝对压强，还是相对压强，伯努利方程的形式不变。 2.有能量输入或输出有能量输入或输出 总流伯努利方程式(437)是在两过流断面问除水头损失之外，在无能量输入或输出的
25、条件下导出的。当面过流断面间有水泵、风机(图411)或水轮机(图412)等流体机械时，存在能量的输入或输出。 此种情况，根据能量守恒原理，计入单位重量流体经流体机械获得或失去的机械能， 122121zzpvwgvpp2222ggvzp22111wphgvz2222221, pp 式(429)便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程式： （447） 式中：+H表示单位重量流体通过流体机械(如水泵)获得的机械 能，对于水泵称为水泵的扬程； -H 表示单位重量流体给流体机械(如水轮机)的机械 能，又称为水轮机的设计水头。Hpzgv211211wphvz22222 图412有能量输出的总流 图411有能量
26、输入的总流 3.两断面间有分流或汇流两断面间有分流或汇流 总流的伯努利方程式(436)，是在两过流断面间无分流和汇流的条件下导出的。而实际的供水供气管道沿程多有分流和汇流这种情况式(436)是否还能用呢?对于两断面间有分流的流动(图413)，设想11断面的来流，分为两股(以虚线划分)分别通过22、33断面。 对 (11断面中的一部分)和22断面列伯努利方程，其间无分流： （448）图413沿程分流 1 1 gvgpz211212 122222whgvgpz 因所取11断面为渐变流断面。面上各点的势能相等，则： （449） 如11断面流速分布较为均匀，则： （450） 故 （451） 近似成立。
27、同理可得： （452） 由以上分析，对于实际I程中沿程分流的总流，当所取过流断面为渐变流断面，断面上流速分布较为均匀，并计人相应断面之间的水头损失。 gPZgPZ111gvgPZgvgPZ2221112 111212221212221wPhgvgZgvgpZ312333211122whgvgPZgvgPZgvgv22212 1第四节第四节 总流的动量方程总流的动量方程 总流的动量方程是继连续性方程式、伯努利方程式(436)之后的第三个积分形式基本方程，它们在流体力学及水力学中习惯地被称为三大方程，下面由动量原理，推导总流的动量方程。 一、总流的动量方程一、总流的动量方程 设恒定总流，取过流断面
28、、为渐变流断面，面积为以过流断面及总流的例表面围成的空间为控制体(图314)。控制体内的流体，经dt时间，由运动到位置。 在流过控制体的总流内，任取元流12,断面面积dA1,dA2，点流速为 ，dt时间，元流动量的增量 （453） （454） 21, uu2121KKKddttKK22212111KK 1122KKKd2221KK2111KK dt时间，总流动量的增量，因为过流断面为渐变流断面，各点的流速平行，按平行矢量和的法则，定义为方向的基本单位向量，为方向的基本单位向量（455）对于不可压缩液体，并引入校正系数，以断面平均流速v代替点流速 积分得： （456） 式中 是为校正以断面平均速
29、度计算的动量与实际动量的差异而引入的校正系数，称为流速分布不均匀动量校正系数： （457） 2i2u1i1uKd222222iudtdAuA111111iudtdAuAKd212222vAvdt1111vAvdt1122vvdtQdtFAvdAuA22 值取决于过流断面上的速度分布，速度分布较均匀的流动， 1.021. 05，通常取 1.0 由动量原理，质点系动员的增量等于作用于该质点系上的外力的冲量： (458) 投影式： (459) 式(458)、式(459)就是恒定总流的动量方程。方程表 明，作用于控制体内流体上的外力，等于单位时间控制体流出动量与流人动量之差。综合推导式(447)规定的
30、条件，总流动量方程的应用条件有：恒定流；过流断面为渐变流断面，不可压缩流体。 dtF1122vvdtQF1122vvQzzzyyyxxxvvQFvvQFvvQF112211221122录像 二、动量方程应用举例二、动量方程应用举例 【例例39】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面11上压力表读数p1=17.6104Pa ，管中流量qv=0.1m3/s，若直径d1=300，d2=200，转角=60，如图414所示。求水对弯管作用力F的大小。 【解解】 水流经弯管，动量 发生变化，必然产生作用力F。而 F与管壁对水的反作用力R平衡。 管道水平放置在xoy面上，将R
31、分 解成Rx和Ry两个分力。 取管道进、出两个截面和管内壁 为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。 图414 .根据连续性方程可求得： .列管道进出口的伯努利方程 ，则： .所取控制体受力分析，进、出口控制面上得总压力：smdqvv/42. 13 . 041 . 042211smdqvv/18. 32 . 041 . 042222gvgpgvgp222222112222112vvpp218. 342. 11000106 .17223Pa3102 .17 43.123 .04106 .1723111ApP40.52 .04106 .1723222ApP（kN） （kN） 壁面对控制体内水的反力
32、Rx、Ry，其方向先假定如图(414)所示。 .写出动量方程 选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，为负值。 沿x轴方向 沿y轴方向coscos1221vvqRPPVxcoscos1221PPvvqRVx568. 060cos43.1240. 560cos42. 118. 31 . 0(KN) sin0sin11vqRPVxsinsin11vqPRVy88.1060sin42. 11 . 060sin43.12(KN) 管壁对水的反作用力 水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。总流动量方程是动量原理的总流表达式，方程给出了总流动量变化与作用力之间
33、的关系。根据这一特点，求总流与边界面之间的相互作用力问题，以及因水头损失难以确定运用伯努利方程受到限制的问题，适于用动量方程求解。三、动量矩方程三、动量矩方程 上面对动量定理的推导过程中所用之方法、步骤，对动量矩定理也完全适用，而所得结果与动量定理完全相似，只要在以上的相应式个，将动量换成动量短就成为动量矩定理；这里不作重复的推演。 恒定流动的动量矩定理为：89.1088.10568. 02222YXRRR(KN) 上式表明，在流出面上的流出动量矩与流入面上的流入动量矩之差等于外力矩之和。 常见的流体机械中，离心式水泵、风机都是将其机械能转换为流体的动能和压能的。水轮机则是利用流体的动能使叶片
34、机械转动向外输出功率，其工作原理都是相同的。 图415表示水轮机叶轮的两个叶片所形成的槽道，流体自叶轮外径 的圆周面流入槽道， 经叶轮内径的 圆周面流出槽道，进入叶轮中心区域的导管沿轴向流出；叶轮叶片就是在流体流动时获得力矩而转动向外作功的。 iinAnAFrdAVVrdAVVrINou(460) 图4151r2r 假定叶片数目足够多，则叶片间的槽道可近似为一元流动，各截面上的速度是均匀的。还假定叶轮作等角速 的旋转，则叶轮个流场虽为不定常，但叶轮中的总体动量矩不随时间变化，可适用定常的动量矩公式，下面我们来导出水轮机(也称涡轮机)的动量矩公式。 先选取控制面：半径的 进口圆周团和半径 的出口
35、圆周团之间的流体表面，其中包括各叶片与流体的接触面； 现在分析控制面上的运动情况及受力情况。设流体以相对速度 经半径 的圆周团流入叶片槽道，由于半径 的圆周速度即牵连速度 ，则流体流入槽道的绝对速度为 (461) 设绝对速度为 与圆周切向夹角为 则其径向分量 和周向分量 的大小分别为： (462) 1r2rrv1r1r11rVe111erVVV111sinVVn 111cosVVt1V11Vn1Vt (463) 同理，流体在流出半径 圆周面上的相对速度 ，牵连速度 ，则绝对速度为 (464) 设绝对速度为 与圆周切向夹角为 ，则其径向分量 和周向分量 的大小分别为： (465) (466) 在
36、流量为Q的情况下，流出控制面的动量矩为其切向动量 与半径 的乘积，即： (467) 同理，流入控制团的动量矩为其切向动量与半径之乘积，即 ： (468) 假定无粘性力作用，则控制面中的两圆周面上的压力合力不产生力矩，只有叶片对流体的作用力矩。 2r2Vr22rVe222erVVV2V22Vn2Vt222sinVVn 222cosVVt2tQV2r22222cosrQVrQVt11111cosrQVrQVt则根据动量矩定理，(464)式减(465)式等于外力矩： (469) 根据作用反作用原理，叶片上获得流体所给的作用力矩力 （470）这就是欧拉涡轮方程式，是涡轮机械的基本方程式。叶轮所获得的功
37、率为 （471）当流出叶片槽道的绝对速度 的方向取半径方向，即 时，则叶轮获得的力矩公式变为 （472）相应地，叶轮所获得的功率公式为 （473） 11221112220coscosrVtrVtQrVrVQM22112221110coscosrVtrVtQrVrVQM22112211110coscosVeVtVeVtQVeVVeVQMp2V 90111110cosrQVrQVMt11111coseteVQVVQVP第五节第五节 理想流体的无旋流动理想流体的无旋流动 在第三章中，在微团运动分析的基础上，见流体的运动分为有旋流动和无旋流动。理论研究证明只有不可压缩理想流体，运动初始无旋。严格地说，
38、粘性流体的运动都是有旋流动，但在实际流动中，多有粘性的影响很小，从静止转入流动（初始无旋）的情况，诸如通风车间，用吸风装置抽气，工作区内形成的气流;水库中的静水，因闸门开启形成的闸孔出流或堰流；以及空气或水绕物体流动时，在边界层外面，广阔区域的流动等，都可视为无旋流动。一、势函数一、势函数： 根据曲线积分定理，无旋流的条件式（550）是表达式成为某一函数的全微分的必要和充分条件 （474） （475）得： ， ， （ 476）zzyyxxdudududzudyudxudzyxdzdydxdzyxxxuyyuzzugradu 函数 仿照应力场势函数，静电场势函数的定义，称为速度势函数。由此得出，
39、无旋流是有速势的流动，简称势流;反之，有速势的流动是无旋流，两者含义相同。 将式（4-37）不可压缩流体连续性微分方程 ： （478） 即： （479）式中 拉普拉斯算子式（478）是著名的拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数是调和函数。所以，调和函数的一切性质，也是速度势函数拥有的性质。),(zyxxuxyuyzuz0222222zyx022222222zyx 由以上分析可知，不可压缩流体无旋流动的问题，归结为在给定的边界条件下，求解拉普拉斯方程，一旦求得速度势 ， 就可由式（476）求得流速 ，解得压强，问题得到解决。二、流函数二、流函数对于平面运动，有连续性微分方程 ，移项得 根据曲线积
40、分定理，前式是表达式 成为某一函数 的全微分的必要和充分条件 （480）比较 （481）得 （482）),(zyxuuuuxuxyuy0 xuxyuydxudyuyxyx,dxudyudyxdydxdyxxxuyyu函数 称为流函数。由流函数的引出条件可知，凡是不可压缩流体的平面的流动，连续性微分方程成立，不论无旋流动或有旋流动，都存在流函数，而只有无旋流动才有流速势，可见流函数比流速势更具有普遍意义。 1.流函数具有以下性质： 流函数的等值线是流线证明： 流函数值相等 ，由式得流函数等值线方程 则 上式即平面流动的流线方程，故 流函数的等值线是流线，给流线以不同值，便得到族流线给流函数以不同
41、值，便得到流线族。 .两条流线的流函数的差值，等于通过该两流线间的单宽流量： yx,0,dc0dxudyuyxyxudyudx （483） 这一性质也可表述为：平面流动中，通过任一曲线的单宽流量，等于该曲线两端流函数的差值。 .平面无旋流动的等流函数线（流线）与等势线正交。 证明：对于平面无旋流动，同时存在流速势函数和流函数，由等流函数线方程 某一点的斜率 由等势线方程 dlynuxnudludqyxn,cos,cosdluudldxydldyxdxudyuyxd122121ddqqqq0dxudyudyxxyuudxdym10dyudxudyx图416流函数同一点等势线斜率 （484）等流函
42、数线与等势线正交，故等势线也就是过流断面线。 .平面无旋流动，流函数是调和函数。 证明：因为平面无旋流动 则 得 带入上式，得 （485）xyuudxdym2121yxxyuuuumm021yuxuxyzxuyuyx,0yuxuxy02222yx即： 平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。式中 拉朴拉斯算子 （486） 式即柯西黎曼条件。满足拉普拉斯方程和柯西黎曼条件，是一对共轭调和函数。三、几种常见的基本平面势流：三、几种常见的基本平面势流： 拉普拉斯方程在复杂的边界条件下，虽然难以求解，一些简单的平面势流，其流速势和流函数却不难求得。研究这些简单的平面势流的意义在于通过简单势流
43、的叠加，往往能组合成符合某些给定边界条件的复杂流场。0222222yxxyyx录像1均匀直线流均匀直线流均匀直线流是流场中各点速度大小相等，方向相同的流动，是一种最简单的平面势。速度场 ， ; 速度势 （487） （488）若均匀直线流流速平行于轴 （489） 若均匀直线流流速平行于轴 （490）auxbuydyudxuyxbyax dxudyuyxbxay ayaxuy, 0bxbyux, 0图417均匀直线流2源流源流如图418所示，在平面势流中，源流就是流体从潭点均匀地向各个方向出流的流动。组成这种流型的线，就是源点所在平面势流中i面上，从源点0出发的一族射线。速度场 速度 流函数 等势
44、线方程 等势线是以o点为圆心的同心圆。流线方程 ，流线是由o点引出的射线以直角坐标系表示。 rqru20urdudrurrdrqrqln22drurdur22qrqrdcrc, 图418平面源流cc, （491） （492）3汇流汇流 流体从四周沿经向均匀的流入的流动称之为汇流。流入汇点单位厚度流量称为汇流强度-q。汇流的速度势和流函数的表达式与源流的相同，符号相反。以直角坐标系表示： （493） （494）222ln,yxyxqxyqtgyx12,rqln22q222ln,yxyxqxyqtgyx12,图419平面汇流4.旋流旋流 流体绕固定点逆时针作圆周运动，且速度与圆周半径成反比的流动称
45、之为旋流。把坐标原点置于旋流中心，则：速度场 式中 为不随半径变化的常数，称为旋流强度， 。 速度势 流函数 等势线方程 等势线是由o点引出的射线。流线方程 流线是以o点为圆心的同心圆。以直角坐标系表示： （495） （496）0ruru202rln2cc,cc,xyyxarctanln,2222ln,yxyx5.涡流涡流 流体绕固定点顺时针作圆周运动，且速度与圆周半径成反比的流动称之为涡流。把坐标原点置于涡流中心，则：速度场 式中 为不随半径变化的常数，称为环流强度， 。 速度势 流函数 等势线方程 等势线是以o点引出的射线。流线方程 流线是由o点为圆心的同心圆。以直角坐标系表示： （497
46、 ） （498）0ruru202rln2crc,cc,xyyxarctanln,2222ln,yxyx四、势流叠加原理四、势流叠加原理 因为描述平面无旋流动的拉普拉斯方程是线性方程，几个平面无旋流动的流速势与流函数相叠加，得到新的流速势和流函数，仍满足拉普拉斯方程和柯西黎曼条件，由此得到新的平面无旋流动。 证明1：设两个基本平面势流，速度势函数和流函数分别是 满足：则： （499）令 ；得： （4100） 同理： （4101） （4102）2211,0212212yx0222222yx0212212yx0222222yx212212yx222222yx212212yx0222222yx2102
47、222yx02222yx212证明2：由柯西黎曼条件 则得 （4103）同理 （4104）速度场 （4105） （4106）yx11xy11yx22xy22yyxx2121)(2121xxyyyxxyxxux1x221xxuuyyuy1y221yyuu3均匀直线流与源的叠加： 下面讨论均匀直线流与源的叠加。设无穷远处均匀直线速度 ，平行于 轴，为简便其间，把点源放在坐标原点。已知：均匀直线流的速度势和流函数，；源流的速度势和流函数（4107） （4108）叠加后的流动 （4109） （4110）0Uxcos001rUxUsin001rUyUrqln2222q21cos0rUrqln221sin
48、0rU2q速度场： ； 驻点坐标：由得或由得；时，不可能；故驻点坐标为：，。所以，驻点的流线方程为：，；,流线以为渐进线。rrucos0Urq2ru1sin0U0u00rucos20Uqsr 0cos20Uqsr 0sr2qcos0rU2q2q22304Uqyr02 Uqssxr, 02r04Uqy 注意到通过驻点的流线在驻点一分为二，见整个流动分为两个区域：这条流以内是源的流区;以外是均匀来留的流区。如用同一形状的固体边界代替这条流线，流线图形不会因此而不同。设想“内区”固化，则这种固体的形状称为半体，半体相当于桥墩，闸墩前半部。故均匀直线流和源流的叠加，表示了半体的绕流运动 ，叠加后的速度势和流函数就是半体套流动的解。
