1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 1 讲 导数的概念及运算 一、选择题 1设 y x2ex，则 y ( ) A x2ex 2x B 2xex C (2x x2)ex D (x x2)ex 解析 y 2xex x2ex (2x x2)ex. 答案 C 2已知函数 f(x)的导函数为 f( x)，且满足 f(x) 2x f(1) ln x，则 f(1) 等于 ( ) A e B 1 C 1 D e 解析 由 f(x) 2xf(1) ln x，得 f( x) 2f(1) 1x， f(1) 2f( 1) 1，则 f(1) 1. 答案 B 3曲线 y sin x ex在点 (0,1)处的切线方程是
2、( ) A x 3y 3 0 B x 2y 2 0 C 2x y 1 0 D 3x y 1 0 解析 y cos x ex，故切线斜率为 k 2，切线方程为 y 2x 1，即 2x y 1 0. 答案 C 4 (2017 成都诊断 )已知曲线 y ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为 ( ) A e B e C.1e D 1e 解析 y ln x 的定义域 为 (0， ) ，且 y 1x，设切点为 (x0， ln x0)，则 y| x x0 1x0，切线方程为 y ln x0 1x0(x x0)，因为切线过点 (0,0)，所以 ln x0 1，解得x0 e，故此切线的斜率为 1e. 答案
3、C 5 (2017 昆明诊断 )设曲线 y 1 cos xsin x 在点 ? ? 2 ， 1 处的切线与直线 x ay 1 0 平行 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 则实数 a 等于 ( ) A 1 B.12 C 2 D 2 解析 y 1 cos xsin2 x ， 1. 由条件知 1a 1， a 1. 答案 A 二、填空题 6若曲线 y ax2 ln x 在点 (1， a)处的切线平行于 x 轴，则 a _. 解析 因为 y 2ax 1x，所以 y| x 1 2a 1.因为曲线在点 (1， a)处的切线平行于 x轴，故其斜率为 0，故 2a 1 0，解得 a 12. 答案 12 7.(
4、2017 长沙一中月考 )如图， y f(x)是可导函数，直线 l： y kx 2 是曲线 y f(x)在 x 3 处的切线，令 g(x) xf(x)，其中 g( x)是 g(x)的导函数，则 g(3) _. 解析 由图形可知： f(3) 1， f(3) 13， g( x) f(x) xf( x)， g(3) f(3) 3f(3) 1 1 0. 答案 0 8 (2015 全国 卷 )已知曲线 y x ln x 在点 (1,1)处的切线与曲线 y ax2 (a 2)x 1相切，则 a _. 解析 由 y x ln x，得 y 1 1x，得曲线在点 (1,1)处的切线的斜率为 k y| x 1 2
5、，所以切线方程为 y 1 2(x 1)，即 y 2x 1. 又该切线与 y ax2 (a 2)x 1 相切， 消去 y，得 ax2 ax 2 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = a0 且 a2 8a 0，解得 a 8. 答案 8 三、解答题 9已知点 M 是曲线 y 13x3 2x2 3x 1 上任意一点，曲线在 M 处的切线为 l，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线 l 的倾斜角 的取值范围 解 (1)y x2 4x 3 (x 2)2 1 1， 所以当 x 2 时， y 1， y 53， 所以斜率最小的切线过点 ? ?2， 53 ， 斜率 k 1，所以切线方程为 x y 113
6、 0. (2)由 (1)得 k 1， 所以 tan 1，所以 ? ?0， 2 ? ?34 ， . 10已知曲线 y x3 x 2 在点 P0处的切线 l1平行于直线 4x y 1 0，且点 P0在第三象限 (1)求 P0的坐标； (2)若直线 l l1，且 l 也过切点 P0，求直线 l 的方程 解 (1)由 y x3 x 2，得 y 3x2 1， 由已知令 3x2 1 4，解之得 x 1. 当 x 1 时， y 0；当 x 1 时， y 4. 又 点 P0在第三象限， 切点 P0的坐标为 ( 1， 4) (2) 直线 l l1， l1的斜率为 4， 直线 l 的斜率为 14. l 过切点 P
7、0，点 P0的坐标为 (1， 4)， 直线 l 的方程为 y 4 14(x 1)，即 x 4y 17 0. 11 (2016 山东卷 )若函数 y f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称 y f(x)具有 T 性质，下列函数中具有 T 性质的是 ( ) A y sin x B y ln x C y ex D y x3 解析 若 y f(x)的图像上存在两点 (x1， f(x1)， (x2， f(x2)， 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则 f( x1) f( x2) 1. 对于 A： y cos x，若有 cos x1cos x2 1，则当 x1 2k ，
8、 x2 2k ( k Z)=【 ;精品教育资源文库 】 = 时，结论成立； 对于 B： y 1x，若有 1x1 1x2 1，即 x1x2 1， x1 0， x20， 不存在 x1， x2，使得 x1x2 1； 对于 C： y ex，若有 ex1e x2 1，即 ex1 x2 1.显然不存在这样的 x1， x2； 对于 D： y 3x2，若有 3x213 x22 1，即 9x21x22 1，显然不存在这样的 x1， x2. 答案 A 12 (2017 合肥模拟 )点 P 是曲线 x2 y ln x 0 上的任意一点，则点 P 到直线 y x 2的最小距离为 ( ) A 1 B. 32 C. 52
9、 D. 2 解析 点 P 是曲线 y x2 ln x 上任意一点，当过点 P 的切线和直线 y x 2 平行时， 点 P 到直线 y x 2 的距离最小， 直线 y x 2 的斜率为 1，令 y x2 ln x， 得 y 2x 1x 1，解得 x 1 或 x 12(舍去 )， 故曲线 y x2 ln x 上和直线 y x 2 平行的切线经过的切点坐标为 (1,1)， 点 (1,1)到直线 y x 2 的距离等于 2， 点 P 到直线 y x 2 的最小距离为 2. 答案 D 13若函数 f(x) 12x2 ax ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是 _ 解析 f(x)
10、12x2 ax ln x， f( x) x a 1x(x0) f(x)存在垂直于 y 轴的切线， f( x)存在零点， 即 x 1x a 0 有解， a x 1x2( 当且仅当 x 1 时取等号 ) 答案 2， ) 14已知函数 f(x) x 2x， g(x) a(2 ln x)(a0)若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在 x 1 处的切线斜率相同，求 a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线 解 根据题意有 f( x) 1 2x2， g( x) ax. =【 ;精品教育资源文库 】 = 曲线 y f(x)在 x 1 处的切线斜率为 f(1) 3， 曲线 y g(x)在 x 1 处的切线斜率为 g(1) a， 所以 f(1) g(1) ，即 a 3. 曲线 y f(x)在 x 1 处的切线方程为 y f(1) 3(x 1) 所以 y 1 3(x 1)，即切线方程为 3x y 4 0. 曲线 y g(x)在 x 1 处的切线方程为 y g(1) 3(x 1)， 所以 y 6 3(x 1)，即切线方程为 3x y 9 0， 所以，两条切线不是同一条直线 .
