1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 6 讲 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.(2017 合肥 模拟 )在 ABC 中 ， AB 3， AC 1， B 30， ABC 的面积为 32 ， 则 C( ) A.30 B.45 C.60 D.75 解析 法一 S ABC 12 AB AC sin A 32 ， 即 12 3 1 sin A 32 ， sin A 1， 由 A(0 ， 180 )， A 90 ， C 60 .故选 C. 法二 由正弦定理 ， 得 sin BAC sin CAB ， 即 12 sin C3 ， sin C 32 ， 又 C(0 ， 180 )， C 60 或 C 12
2、0 . 当 C 120 时 ， A 30 ， S ABC 34 32 (舍去 ).而当 C 60 时 ， A 90 ， S ABC 32 ， 符合条 件 ， 故 C 60 .故选 C. 答案 C 2.在 ABC 中 ， 角 A， B， C 对应的边分别为 a， b， c， 若 A 23 ， a 2， b 2 33 ， 则 B 等于 ( ) A. 3 B.56 C. 6 或 56 D. 6 解析 A 23 ， a 2， b 2 33 ， 由正弦定理 asin A bsin B可得 ， sin B basin A2 332 32 12. A 23 ， B 6 . =【 ;精品教育资源文库 】 =
3、答案 D 3.(2017 成都诊断 )在 ABC 中 ， cos2B2 a c2c (a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边 )， 则 ABC的形状为 ( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 解 析 因为 cos2B2 a c2c ， 所以 2cos2B2 1 a cc 1， 所以 cos B ac， 所以 a2 c2 b22ac ac， 所以 c2 a2 b2. 所以 ABC 为直角三角形 . 答案 B 4. ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 则 “ a b” 是 “ cos 2A cos 2B” 的 (
4、 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 因为在 ABC 中 ， a b?sin A sin B?sin2A sin2B?2sin2A 2sin2B?1 2sin2A 1 2sin2B?cos 2A cos 2B.所以 “ a b” 是 “ cos 2A cos 2B” 的充分必要条件 . 答案 C 5.(2016 山东卷 )在 ABC 中 ， 角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 已知 b c， a2 2b2(1 sin A)， 则 A ( ) A.34 B. 3 C. 4 D. 6 解析 在 ABC 中 ， 由 b c，
5、得 cos A b2 c2 a22bc 2b2 a22b2 ， 又 a2 2b2(1 sin A)， 所以 cos A sin A， 即 tan A 1， 又知 A(0 ， )， 所以 A 4 ， 故选 C. 答案 C 二、填空题 6.(2015 重庆卷 )设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 a 2， cos C 14， 3sin A 2sin B， 则 c _. 解析 由 3sin A 2sin B 及正弦定理 ， 得 3a 2b， 又 a 2， 所以 b 3， 故 c2 a2 b2=【 ;精品教育资源文库 】 = 2abcos C 4 9 223 ? ?
6、 14 16， 所以 c 4. 答案 4 7.(2017 江西九校联考 )在 ABC 中 ， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若角 A， B， C依次成等差数列 ， 且 a 1， b 3， 则 S ABC _. 解析 因为角 A， B， C 依次成等差数列 ， 所以 B 60 .由正弦定理 ， 得 1sin A 3sin 60 ，解得 sin A 12， 因为 0 A 180 ， 所以 A 30或 150 (舍去 )， 此时 C 90 ， 所以S ABC 12ab 32 . 答案 32 8.(2016 北京卷 )在 ABC 中 ， A 23 ， a 3c， 则 bc _.
7、 解析 在 ABC 中 ， a2 b2 c2 2bc cos A， 将 A 23 ， a 3c 代入 ， 可得 ( 3c)2 b2 c2 2bc ? ? 12 ， 整理得 2c2 b2 bc. c 0， 等式两边同时除以 c2， 得 2 ? ?bc2 bc， 可解得 bc 1. 答案 1 三、解答题 9.(2015 天津卷 )在 ABC 中 ， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 ABC 的面积为 3 15， b c 2， cos A 14. (1)求 a 和 sin C 的值； (2)求 cos? ?2A 6 的值 . 解 (1)在 ABC 中 ， 由 cos A 1
8、4， 可得 sin A 154 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 S ABC 12bcsin A 3 15， 得 bc 24， 又由 b c 2， 解得 b 6， c 4. 由 a2 b2 c2 2bccos A， 可得 a 8. 由 asin A csin C， 得 sin C 158 . (2)cos? ?2A 6 cos 2A cos 6 sin 2A sin 6 32 (2cos2A 1) 12 2sin A cos A 15 7 316 . 10.(2015 全国 卷 )在 ABC 中 ， D 是 BC 上的点 ， AD 平分 BAC， BD 2DC. (1)求 sin Bs
9、in C； (2)若 BAC 60， 求 B. 解 (1)由正弦定理得 ADsin BBDsin BAD，ADsin CDCsin CAD. 因为 AD 平分 BAC， BD 2DC， 所以 sin Bsin C DCBD 12. (2)因为 C 180 ( BAC B)， BAC 60， 所以 sin C sin( BAC B) 32 cos B 12sin B. 由 (1)知 2sin B sin C， 所以 tan B 33 ， 即 B 30 . 11.(2017 郑州调研 )在 ABC 中 ， sin2A sin2B sin2C sin Bsin C， 则 A 的取值范围是( ) A.
10、? ?0， 6 B.? ? 6 ， C.? ?0， 3 D.? ? 3 ， 解析 由已知及正弦定理有 a2 b2 c2 bc， 由余弦定理可知 a2 b2 c2 2bccos A， 于是 b2 c2 2bccos A b2 c2 bc， cos A 12， 在 ABC 中 ， A (0， ). 由余弦函数的性质 ， 得 0A 3. 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 12.在 ABC 中 ， 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 S ABC 2 3， a b 6，acos B bcos Ac 2cos C， 则 c ( ) A.2 7 B.4 C.2 3 D.
11、3 3 解析 acos B bcos Ac 2cos C， 由正弦定理 ， 得 sin Acos B cos Asin B 2sin Ccos C， sin(A B) sin C 2sin Ccos C， 由于 0 C ， sin C 0， cos C 12， C 3 ， S ABC 2 3 12absin C 34 ab， ab 8， 又 a b 6， 解得?a 2，b 4 或 ?a 4，b 2， c2 a2 b2 2abcos C 4 16 8 12， c 2 3，故选 C. 答案 C 13.(2015 全国 卷 )在平面四边形 ABCD 中 ， A B C 75， BC 2， 则 AB
12、的取值范围是 _. 解析 如图所示 ， 延长 BA 与 CD 相交于点 E， 过点 C 作 CF AD 交 AB于点 F， 则 BFABBE. 在等腰三角形 CBF 中 ， FCB 30 ， CF BC 2， BF 22 22 222 cos 30 6 2. 在等腰三 角形 ECB 中 ， CEB 30 ， ECB 75 ， BE CE， BC 2， BEsin 75 2sin 30 ， BE 2 12 6 24 6 2. 6 2AB 6 2. 答案 ( 6 2， 6 2) 14.设 f(x) sin xcos x cos2? ?x 4 . (1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角 ABC
13、 中 ， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 f? ?A2 0， a 1， 求 ABC 面积=【 ;精品教育资源文库 】 = 的最大值 . 解 (1)由题意知 f(x) sin 2x2 1 cos? ?2x 22 sin 2x2 1 sin 2x2 sin 2x 12. 由 2 2k 2x 2 2k， k Z, 可得 4 k x 4 k， k Z； 由 2 2k 2x 32 2k， k Z, 可得 4 k x 34 k， k Z. 所以 f(x)的单调递增区间是 ? ? 4 k， 4 k (k Z)； 单调递减区间是 ? ? 4 k， 34 k (k Z). (2)由 f? ?A2 sin A 12 0， 得 sin A 12， 由题意知 A 为锐角 ， 所以 cos A 32 . 由余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A， 可得 1 3bc b2 c2 2bc， 即 bc2 3， 且当 b c 时等号成立 . 因此 12bcsin A 2 34 .所以 ABC 面积的最大值为 2 34 .
