1、2022年全国统一高考数学试卷（新高考）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）若集合Mx|x4，Nx|3x1，则MN（）Ax|0x2Bx|13x2Cx|3x16Dx|13x162（5分）若i（1z）1，则z+z=（）A2B1C1D23（5分）在ABC中，点D在边AB上，BD2DA记CA=m，CD=n，则CB=（）A3m-2nB2m+3nC3m+2nD2m+3n4（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.
2、5m时，相应水面的面积为180.0km2将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（72.65）（）A1.0109m3B1.2109m3C1.4109m3D1.6109m35（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A16B13C12D236（5分）记函数f（x）sin（x+4）+b（0）的最小正周期为T若23T，且yf（x）的图像关于点（32，2）中心对称，则f（2）（）A1B32C52D37（5分）设a0.1e0.1，b=19，cln0.9，则（）AabcBcbaCcabDacb8（5分）已知
3、正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上若该球的体积为36，且3l33，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A18，814B274，814C274，643D18，27二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1，则（）A直线BC1与DA1所成的角为90B直线BC1与CA1所成的角为90C直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45D直线BC1与平面ABCD所成的角为45（多选）10（5分）已知函数f（x）x3x+1，则（）Af（x）有两个极值点Bf
4、（x）有三个零点C点（0，1）是曲线yf（x）的对称中心D直线y2x是曲线yf（x）的切线（多选）11（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x22py（p0）上，过点B（0，1）的直线交C于P，Q两点，则（）AC的准线为y1B直线AB与C相切C|OP|OQ|OA|2D|BP|BQ|BA|2（多选）12（5分）已知函数f（x）及其导函数f（x）的定义域均为R，记g（x）f（x）若f（32-2x），g（2+x）均为偶函数，则（）Af（0）0Bg（-12）0Cf（1）f（4）Dg（1）g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）（1-yx）（x+y）8的展开式中
5、x2y6的系数为 （用数字作答）14（5分）写出与圆x2+y21和（x3）2+（y4）216都相切的一条直线的方程 15（5分）若曲线y（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 16（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|6，则ADE的周长是 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）记Sn为数列an的前n项和，已知a11，Snan是公差为13的等差数列（1）求an的通项公式；（2）证明：1a1+1a2+1an218
6、（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B（1）若C=23，求B；（2）求a2+b2c2的最小值19（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，A1BC的面积为22（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1AB，平面A1BC平面ABB1A1，求二面角ABDC的正弦值20（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据
7、：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R（）证明：R=P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)；（）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|B）的估计值，并利用（）的结果给出R的估计值附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P（K2k）0.0500.0100.
8、001k3.8416.63510.82821（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2-y2a2-1=1（a1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0（1）求l的斜率；（2）若tanPAQ22，求PAQ的面积22（12分）已知函数f（x）exax和g（x）axlnx有相同的最小值（1）求a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线yf（x）和yg（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列2022年全国统一高考数学试卷（新高考）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5
9、分）若集合Mx|x4，Nx|3x1，则MN（）Ax|0x2Bx|13x2Cx|3x16Dx|13x16【解答】解：由x4，得0x16，Mx|x4x|0x16，由3x1，得x13，Nx|3x1x|x13，MNx|0x16x|x13x|13x16故选：D2（5分）若i（1z）1，则z+z=（）A2B1C1D2【解答】解：由i（1z）1，得1z=1i=-i-i2=-i，z1+i，则z=1-i，z+z=1+i+1-i=2故选：D3（5分）在ABC中，点D在边AB上，BD2DA记CA=m，CD=n，则CB=（）A3m-2nB2m+3nC3m+2nD2m+3n【解答】解：如图，CD=CA+AD=CA+12
10、DB=CA+12(CB-CD)=CA+12CB-12CD，12CB=32CD-CA，即CB=3CD-2CA=3n-2m故选：B4（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（72.65）（）A1.0109m3B1.2109m3C1.4109m3D1.6109m3【解答】解：140km2140106m2，180km2180106m2
11、，根据题意，增加的水量约为140106+180106+1401061801063(157.5-148.5)=(140+180+607)10639 （320+602.65）106314371061.4109m3故选：C5（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A16B13C12D23【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有C72=21种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为1421=23故选：D6（5分）记函数f（x）sin（x+4）+b（0）的最小正周期为T若23T，
12、且yf（x）的图像关于点（32，2）中心对称，则f（2）（）A1B32C52D3【解答】解：函数f（x）sin（x+4）+b（0）的最小正周期为T，则T=2，由23T，得232，23，yf（x）的图像关于点（32，2）中心对称，b2，且sin（32+4）0，则32+4=k，kZ=23(k-14)，kZ，取k4，可得=52f（x）sin（52x+4）+2，则f（2）sin（522+4）+21+21故选：A7（5分）设a0.1e0.1，b=19，cln0.9，则（）AabcBcbaCcabDacb【解答】解：构造函数f（x）lnx+1x，x0，则f（x）=1x-1x2，x0，当f（x）0时，x1，
13、0x1时，f（x）0，f（x）单调递减；x1时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）在x1处取最小值f（1）1，lnx1-1x，ln0.91-10.9=-19，ln0.919，cb；ln0.9ln1091-910=110，109e0.1，0.1e0.119，ab；0.1e0.10.11.10.11，而1n0.9ln10912（109-910）=191800.11，ac，cab故选：C8（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上若该球的体积为36，且3l33，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A18，814B274，814C274，643D18，27【解答】解：如图所示，正四棱锥P
14、ABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E，连接PE，则球心O在直线PE上，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在RtPAE中，PA2AE2+PE2，即l2=(2a2)2+h2=12a2+h2，球O的体积为36，球O的半径R3，在RtOAE中，OA2OE2+AE2，即R2=(h-3)2+(2a2)2，12a2+h2-6h=0，12a2+h2=6h，l26h，又3l33，32h92，该正四棱锥体积V（h）=13a2h=13(12h-2h2)h=-23h3+4h2，V（h）2h2+8h2h（4h），当32h4时，V（h）0，V（h）单调递增；当4h92时，V（h）0，V（h）单调
15、递减，V（h）maxV（4）=643，又V（32）=274，V（92）=814，且274814，274V(h)643，即该正四棱锥体积的取值范围是274，643，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1，则（）A直线BC1与DA1所成的角为90B直线BC1与CA1所成的角为90C直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45D直线BC1与平面ABCD所成的角为45【解答】解：如图，连接B1C，由A1B1DC，A1B1DC，得四边形DA1B
16、1C为平行四边形，可得DA1B1C，BC1B1C，直线BC1与DA1所成的角为90，故A正确；A1B1BC1，BC1B1C，A1B1B1CB1，BC1平面DA1B1C，而CA1平面DA1B1C，BC1CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90，故B正确；设A1C1B1D1O，连接BO，可得C1O平面BB1D1D，即C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，sinC1BO=OC1BC1=12，直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30，故C错误；CC1底面ABCD，C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角为45，故D正确故选：ABD（多选）10（5分）已知函数f（x）x3x+1，则（）A
17、f（x）有两个极值点Bf（x）有三个零点C点（0，1）是曲线yf（x）的对称中心D直线y2x是曲线yf（x）的切线【解答】解：f（x）3x21，令f（x）0，解得x-33或x33，令f（x）0，解得-33x33，f（x）在(-，-33)，(33，+)上单调递增，在(-33，33)上单调递减，且f(-33)=23+990，f(33)=9-2390，f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；又f（x）+f（x）x3x+1x3+x+12，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；假设y2x是曲线yf（x）的切线，设切点为（a，b），则3a2-1=22a=b，解得a=1b=
18、2或a=-1b=-2，显然（1，2）和（1，2）均不在曲线yf（x）上，故选项D错误故选：AC（多选）11（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x22py（p0）上，过点B（0，1）的直线交C于P，Q两点，则（）AC的准线为y1B直线AB与C相切C|OP|OQ|OA|2D|BP|BQ|BA|2【解答】解：点A（1，1）在抛物线C：x22py（p0）上，2p1，解得p=12，抛物线C的方程为x2y，准线方程为y=-14，选项A错误；由于A（1，1），B（0，1），则kAB=1-(-1)1-0=2，直线AB的方程为y2x1，联立y=2x-1x2=y，可得x22x+10，解得x1，故直
19、线AB与抛物线C相切，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为ykx1（k2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），联立y=kx-1y=x2，消去y并整理可得x2kx+10，则x1+x2k，x1x21，y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k2x1x2-k(x1+x2)+1=1，|OP|OQ|=x12+y12x22+y222x1y12x2y2=2x1x2y1y2=2=|OA|2，由于等号在x1x2y1y21时才能取到，故等号不成立，选项C正确；|BP|BQ|=x12+(y1+1)2x2+(y2+1)2x12+4y1x22+4y2=5x125x22=
20、5(x1x2)2=5=|BA|2，选项D正确故选：BCD（多选）12（5分）已知函数f（x）及其导函数f（x）的定义域均为R，记g（x）f（x）若f（32-2x），g（2+x）均为偶函数，则（）Af（0）0Bg（-12）0Cf（1）f（4）Dg（1）g（2）【解答】解：f（32-2x）为偶函数，可得f（32-2x）f（32+2x），f（x）关于x=32对称，令x=54，可得f（32-254）f（32+254），即f（1）f（4），故C正确；g（2+x）为偶函数，g（2+x）g（2x），g（x）关于x2对称，故D不正确；f（x）关于x=32对称，x=32是函数f（x）的一个极值点，g（32）f（
21、32）0，又g（x）关于x2对称，g（52）g（32）0，x=52是函数f（x）的一个极值点，f（x）关于x=32对称，x=-12是函数f（x）的一个极值点，g（-12）f（-12）0，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，即没一个自变量对应的函数值是确定值，故A错误故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）（1-yx）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为 28（用数字作答）【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1C8rx8ryr，当r6时，T7=C86x2y6，当r5时，T6=C85x3y5，（1-yx）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为C86-
22、C85=8!6!2!-8!5!3!=28-56=-28故答案为：2814（5分）写出与圆x2+y21和（x3）2+（y4）216都相切的一条直线的方程 x1（填3x+4y50，7x24y250都正确）【解答】解：圆x2+y21的圆心坐标为O（0，0），半径r11，圆（x3）2+（y4）216的圆心坐标为C（3，4），半径r24，如图：|OC|r1+r2，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条kOC=43，l1的斜率为-34，设直线l1：y=-34x+b，即3x+4y4b0，由|-4b|5=1，解得b=54（负值舍去），则l1：3x+4y50；由图可知，l2：x1；l2与l3关于直线y=4
23、3x对称，联立x=-1y=43x，解得l2与l3的一个交点为（1，-43），在l2上取一点（1，0），该点关于y=43x的对称点为（x0，y0），则y02=43x0-12y0x0+1=-34，解得对称点为（725，-2425）kl3=-2425+43725+1=724，则l3：y=724(x+1)-43，即7x24y250与圆x2+y21和（x3）2+（y4）216都相切的一条直线的方程为：x1（填3x+4y50，7x24y250都正确）故答案为：x1（填3x+4y50，7x24y250都正确）15（5分）若曲线y（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 （，4）（0，+）【解答
24、】解：yex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）ex0），切线的斜率k=ex0+(x0+a)ex0，切线方程为y（x0+a）ex0=（ex0+(x0+a)ex0）（xx0），又切线过原点，（x0+a）ex0=（ex0+(x0+a)ex0）（x0），整理得：x02+ax0-a=0，切线存在两条，方程有两个不等实根，a2+4a0，解得a4或a0，即a的取值范围是（，4）（0，+），故答案为：（，4）（0，+）16（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|6，则ADE的周
25、长是 13【解答】解：椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为12，不妨可设椭圆C：x24c2+y23c2=1，a2c，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，AF1F2为等边三角形，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，kDE=tan30=33，由等腰三角形的性质可得，|AD|DF2|，|AE|EF2|，设直线DE方程为y=33(x+c)，D（x1，y1），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx32c20，由韦达定理可得，x1+x2=-8c13，x1x2=-32c213，|DE|=k2+1|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=13+1(-8c13
26、)2+128c213=4813c=6，解得c=138，由椭圆的定义可得，ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|4a8c=8138=13故答案为：13四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）记Sn为数列an的前n项和，已知a11，Snan是公差为13的等差数列（1）求an的通项公式；（2）证明：1a1+1a2+1an2【解答】解：（1）已知a11，Snan是公差为13的等差数列，所以Snan=1+13(n-1)=13n+23，整理得Sn=13nan+23an，故当n2时，Sn-1=13(n-1)an-1+23an-1，得：13an=1
27、3nan-13nan-1-13an-1，故（n1）an（n+1）an1，化简得：anan-1=n+1n-1，an-1an-2=nn-2，.，a3a2=42，a2a1=31；所以ana1=n(n+1)2，故an=n(n+1)2（首项符合通项）所以an=n(n+1)2证明：（2）由于an=n(n+1)2，所以1an=2n(n+1)=2(1n-1n+1)，所以1a1+1a2+.+1an=2(1-12+12-13+.+1n-1n+1)=2(1-1n+1)218（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B（1）若C=23，求B；（2）求a2
28、+b2c2的最小值【解答】解：（1）cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，化为：cosAcosBsinAsinB+sinB，cos（B+A）sinB，cosCsinB，C=23，sinB=12，0B3，B=6（2）由（1）可得：cosCsinB0，cosC0，C（2，），C为钝角，B，A都为锐角，BC-2sinAsin（B+C）sin（2C-2）cos2C，a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22C+cos2Csin2C=(1-2sin2C)2+(1-sin2C)sin2C=2+4sin4C-
29、5sin2Csin2C=2sin2C+4sin2C5224-542-5，当且仅当sinC=142时取等号a2+b2c2的最小值为42-519（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，A1BC的面积为22（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1AB，平面A1BC平面ABB1A1，求二面角ABDC的正弦值【解答】解：（1）由直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，可得VA1-ABC=13VA1B1C1-ABC=43，设A到平面A1BC的距离为d，由VA1-ABC=VA-A1BC，13SA1BCd=43，1322d=43，解得d=2（2）由直三棱柱ABCA1B1C1
30、知BB1平面ABC，所以平面ABC平面ABB1A1，又平面A1BC平面ABB1A1，又平面ABC平面A1BCBC，所以BC平面ABB1A1，BCA1B，BCAB，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，AA1AB，BC2AB12=22，又12ABBCAA14，解得ABBCAA12，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），则BA=（0，2，0），BD=（1，1，1），BC=（2，0，0），设平面ABD的一个法向量为n=（x，y，z），则nBA=2y=0nBD=x+y+z=0，令x1，则y0，z1，平面A
31、BD的一个法向量为n=（1，0，1），设平面BCD的一个法向量为m=（a，b，c），mBC=2a=0mBD=a+b+c=0，令b1，则a0，c1，平面BCD的一个法向量为m=（0，1，1），cosn，m=122=12，二面角ABDC的正弦值为1-(12)2=3220（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫
32、生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R（）证明：R=P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)；（）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|B）的估计值，并利用（）的结果给出R的估计值附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（1）补充列联表为：不够良好良好合计病例组4060
33、100对照组1090100合计50150200计算K2=200(4090-1060)210010050150=246.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异（2）（i）证明：R=P(B|A)P(B|A)：P(B|A)P(B|A)=P(B|A)P(B|A)P(B|A)P(B|A)=P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)=P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)=P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)=P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)；（）利用调查数据，P（A|B）=40100=
34、25，P(A|B)=10100=110，P（A|B）1P（A|B）=35，P（A|B）1P（A|B）=910，所以R=2535910110=621（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2-y2a2-1=1（a1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0（1）求l的斜率；（2）若tanPAQ22，求PAQ的面积【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得 4a2-1a2-1=1，化简得a44a2+40，a22，故双曲线方程为x22-y2=1，由题显然直线l的斜率存在，设l：ykx+m，设P（x1，y1）Q（x2，y2），则联立双曲线得：（2k21）x2+4kmx+2m2+20
35、，故x1+x2=-4km2k2-1，x1x2=2m2+22k2-1，kAP+kAQ=y1-1x1-2+y2-1x2-2=kx1+m-1x1-2+kx2+m-1x2-2=0，化简得：2kx1x2+（m12k）（x1+x2）4（m1）0，故2k(2m2+2)2k2-1+(m-1-2k)(-4km2k2-1)-4(m-1)=0，即（k+1）（m+2k1）0，而直线l不过A点，故k1；（2）设直线AP的倾斜角为，由tanPAQ=22，2tanPAQ21-tan2PAQ2=22，得tanPAQ2=22，由2+PAQ，=-PAQ2，得kAP=tan=2，即y1-1x1-2=2，联立y1-1x1-2=2，及
36、x122-y12=1得x1=10-423，y1=42-53，代入直线 l得m=53，故x1+x2=203，x1x2=689，而|AP|=3|x1-2|，|AQ|=3|x2-2|，由tanPAQ=22，得sinPAQ=223，故SPAQ=12|AP|AQ|sinPAQ=2|x1x2-2(x1+x2)+4|=162922（12分）已知函数f（x）exax和g（x）axlnx有相同的最小值（1）求a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线yf（x）和yg（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列【解答】（1）解：f（x）exax，g（x）axlnx，f（x）exa，g（x）a
37、-1x，yex在xR上单调递增，函数y=-1x在x（0，+）上单调递增，函数f（x）和函数g（x）在各自定义域上单调递增，又函数f（x）exax和g（x）axlnx有最小值，当f（x）0时，xlna，当g（x）0时，x=1a，函数f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，函数g（x）在（0，1a）上单调递减，在（1a，+）上单调递增，f（x）minf（lna）aalna，g（x）min1+lna，函数f（x）exax和g（x）axlnx有相同的最小值aalna1+lna，解得：a1（2）证明：设三个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，由（1）得，函数f（x）在（，0
38、）上单调递减，在（0，+）上单调递增，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，x1（，0），x2（0，1），x3（1，+），b=ex1-x1=ex2-x2x2lnx2x3lnx3，2x2=ex2+lnx2，ex1-x1x2lnx2，ex2-x2x3lnx3，ex1-x1=elnx2-lnx2，ex2-x2=elnx3-lnx3，f（x1）f（lnx2），f（x2）f（lnx3），lnx2（，0），lnx3（0，+），x1lnx2，x2lnx3，x3=ex2，x1+x3lnx2+ex2=2x2，x1，x2，x3成等差数列，存在直线yb，其与两条曲线yf（x）和yg（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列22
