1、 第第2 2章章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 11121n21222nm1m2mnaaaaaaaaaA第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 1 12 2000000n naaa第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 000000aaa11121n222nmnaaa0aa00a 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 420221013012103230第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 111112121121212222221122nnnnmmmmmnm
2、nababababababABababab第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212nnmmmnbbbbbbBbbbijijabAB若，则第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 111212122212nnmmmnaaaaaaAAaaa 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 1212a,nnbbAaaBb12121 12 21annn ni iinbbABaaababababb 11 11 2122 12 221
3、212annnnnnn nbbabababba babaBAaabba baba 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 1111,1111AB11110 011110 0111122111122ABBA第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 对于单位矩阵对于单位矩阵E, E,容易验证容易验证E EmmA Amm n n = A = Amm n n ， A Amm n nE En n = A= Amm n n 。 有了矩阵的乘法，就可以定义有了矩阵的乘法，就可以定义n n阶方阵的幂。设阶方阵的幂。设A A是是n n阶方阵，定义阶方阵，定义A A1 1 = A =
4、 A，A A2 2 = A= A1 1 A A1 1， ，A Ak+1k+1 = A = Ak kA A1 1 ，其中其中k k为正整数。这就是说，为正整数。这就是说，A Ak k就是就是k k个个A A相乘。显然，只有方阵的幂才有相乘。显然，只有方阵的幂才有意义。由于矩阵乘法适合结合律，所以方阵的幂满足以下运算规律：意义。由于矩阵乘法适合结合律，所以方阵的幂满足以下运算规律： A A A A = A = A + + ，(A(A ) ) = A = A 不过，一般不过，一般 (AB)(AB)k k A Ak kB Bk k。 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 矩阵的转置矩
5、阵的转置把矩阵把矩阵A=(aA=(aij ij) )mmn n的行换成同序数的列所得到的的行换成同序数的列所得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做A A的转置矩阵的转置矩阵(transpose)(transpose)，记作，记作A A 或或A AT T。显然，。显然，A A =(a=(aji ji) )n nmm矩阵的转置也是一种运算，易证它满足下述运算规律（假设运算矩阵的转置也是一种运算，易证它满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：都是可行的）： (i) (A(i) (A ) ) = A = A ； (ii) (A+B)(ii) (A+B) = A = A + B + B ； (iii) (iii
6、) ( A)A) = = A A ； (iv) (AB)(iv) (AB) = B = B A A 。 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 方阵的行列式方阵的行列式 由由n n阶方阵阶方阵A A的元素按原来位置不变所构成的行列式（各元素的位置不的元素按原来位置不变所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵变），叫做方阵A A的行列式，记作的行列式，记作|A| |A| 或或 detAdetA。设设 A A为为n n 阶方阵，如果阶方阵，如果 |A| |A| 0，则称，则称 为非奇异矩阵；如果为非奇异矩阵；如果 |A| |A| =0 ，则称，则称 为奇异矩阵。为奇异矩阵。 由
7、方阵由方阵A A确定行列式确定行列式|A|A|的运算满足下述运算规律（设的运算满足下述运算规律（设A A，B B为为n n阶方阵，阶方阵， 为数）：为数）： (i). |A(i). |A | = |A| = |A|（行列式性质（行列式性质1 1）；）； (ii). |(ii). | A| = A| = n n|A|A|； (iii). |AB| = |A| |B|(iii). |AB| = |A| |B|。 其它方阵其它方阵设设 A A为为 n n阶方阵，由阶方阵，由 |A| |A|的各元素的代数余子式所构成的方阵称为方阵的各元素的代数余子式所构成的方阵称为方阵 的的伴随阵伴随阵 A A *
8、*，有以下性质：，有以下性质：A A A A * * = A A * * A =A = |A| |A|E E如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵A A-1 -1 ，使得，使得A A A A -1 -1 = A A -1 -1 A =A = E E, ,则矩阵则矩阵 A A -1 -1称为称为A A 的可逆矩阵的可逆矩阵或逆阵。或逆阵。当方阵当方阵|A| |A| 0，有，有1*1AAA第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 矩阵求导矩阵求导 矩阵的元素如果为时间矩阵的元素如果为时间t t 的函数，记为的函数，记为 A Aij ij( (t t) )，该矩阵记为，该矩阵记为 A A(
9、(t t) ) 。它对时间。它对时间的导数为一同阶矩阵，其各元素为原矩阵的元素的导数为一同阶矩阵，其各元素为原矩阵的元素 对时间的导数，即对时间的导数，即( )( )()defijm ndA tdA tdtdt根据此定义与微分的基本性质，可得如下关系式：根据此定义与微分的基本性质，可得如下关系式：()defddadAaAAadtdtdt()defddAdBABdtdtdt()defddAdBABBAdtdtdt上式中：上式中： a为时间函数的标量；为时间函数的标量； A A与与B B 均为时间函数的矩阵，它们满足均为时间函数的矩阵，它们满足矩阵运算的条件。矩阵运算的条件。第二章第二章 工业机器
10、人的数学基础工业机器人的数学基础 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 XYZOXYOXYO第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段. 1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|
11、a21MM| | |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：或或或或或或第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 a aba aOMM第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 cba abcababc|bac bac|bac 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3 3）. 0)( aa2 2 减法减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab第二
12、章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平
13、行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量的平行关系两个向量的平行关系第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 例1 化简 53215abbba解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 四、向量在坐标轴上的分向量与向量四、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标设设a是是以以),(1111zyxM为为起起点点、),(2222zyxM为为终终点点的的向向量量，过过21, MM各各作作垂垂直直于于三三个个坐坐标标轴轴的的平平面面 ,这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段21MM为为对对角
14、角线线的的长长方方体体.这六个平面与这六个平面与 x , y , z 轴分别相交于轴分别相交于212121,;,;,RRQQPP第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 zxoy1M2M1P2P1Q2Q1R2RABijk第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 称有向线段称有向线段21PP的值的值12xx 为向量为向量21MM在在 x x 轴上的投影轴上的投影有向线段有向线段21QQ的值的值12yy 为向量为向量21MM在在 y y 轴上的投影轴上的投影有向线段有向线段21RR的值的值12zz 为向量为向量21MM在在 z z 轴轴 上的投影上的投影依次记作依次记作
15、zyxaaa,即即12xxax 12yyay 12zzaz x xo oy y1M2M1P2P1Q2Q1R2RABijk第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 由图上可以看出21MMa 21BMBM 21BMABAM 而211PPAM 21QQAB 212RRBM 21212121RRQQPPMM 以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.称为基本单位向量xoy1M2M1P2P1Q2Q1R2RABijk第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 iaPPx 21jaQQy 21kaRRz 21向量在三个坐标轴上的分向量向量在三个坐标轴
16、上的分向量kzzjyyixxMM)()()(12121221 kajaiazyx 向量的分解式向量的分解式向量在三个坐标轴上的投影向量在三个坐标轴上的投影zyxaaa,称为向量的坐标称为向量的坐标向量可用它的坐标表示为向量可用它的坐标表示为,zyxaaaa 向量的坐标表示式向量的坐标表示式x xo oy y1M2M1P2P1Q2Q1R2RABijk第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 以以),(1111zyxM为起点、为起点、),(2222zyxM为终点的为终点的向量的坐标表示式为：向量的坐标表示式为： ,12121221zzyyxxMM 特殊地：,zyxOM 称为向径向量的
17、加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ;)()()(kbajbaibazzyyxx 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 五、向量的模与方向余弦的坐标
18、表示式五、向量的模与方向余弦的坐标表示式第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 0222 zyxaaa当 时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式第二
19、章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba cos|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)实例两向量作这样的运算, 结果是一个数量.定义一、两向量的数量积第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 ab cos|baba ,Prcos|bjba 方方向向上上的的投投影影在在向向量量向向量量ab,Prcos|ajab 方方向向上上
20、的的投投影影在在向向量量向向量量baajbbabPr| .Pr|bjaa 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量积也称为“点积”、“内积”.第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 数量积符合下列运算规律：（1）交换律：;abba （2）分配律：;)(cbcacba （3）若 为数 ),()()(bababa 若 、 为数： ).()()(baba 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式第二章第二章 工业机器人的数学基础工
21、业机器人的数学基础 设设O为为一一根根杠杠杆杆L的的支支点点， 有有一一力力F作作用用于于这这杠杠杆杆上上P点点处处 力力F与与OP的的夹夹角角为为 ， 力力F对对支支点点O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模 |FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP与与F所所决决定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.实例二、两向量的向量积LFPQO 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac sin|bac (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合
22、，指向符合右手系右手系. .关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为“叉积”、“外积”.第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 坐标系通常由坐标系通常由3 3个互相正交的轴来表示（例如个互相正交的轴来表示（例如x x，y y和和z z）。由于在任意给定空间内可）。由于在任意给定空间内可能有多个坐标系，因此我们定义能有多个坐标系，因此我们定义o-xyzo-xyz( (简称简称 o o 系系) )来表示固定的全局参考坐标系；用来表示固定的全局参考坐标系；用o o- -x xb by yb bz zb b ( (简称简
23、称bb系系) )来表示运动的刚体坐标系。分两种情况来描述两坐标系之间位姿来表示运动的刚体坐标系。分两种情况来描述两坐标系之间位姿关系。关系。分两种情况：分两种情况：共原点共原点设设 o o 系和系和 b b 系共原点，系共原点，i i，j j和和k k是是 o o 系的三正交轴系的三正交轴单位向量，单位向量，i ib b，j jb b和和k kb b是是 b b 系的三正交轴单位向量，那系的三正交轴单位向量，那么这两个坐标系的位姿关系可以用下列么这两个坐标系的位姿关系可以用下列111213212223313233 . . . . . . . . .bbbbbbbbbAAAiii ji kAAA
24、Ajij jj kAAAk ik jk k第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 点积（余弦值）点积（余弦值）运动坐标系三正交轴单位向量运动坐标系三正交轴单位向量ibjbkb固定固定坐标系正坐标系正交交轴单位向量轴单位向量iA11(iib）A12(ijb)A13(ikb)jA21(jib)A22(jjb)A23(jkb)kA31(kib )A32(kjb )A33(kkb)方向余弦阵具有以下基本性质：方向余弦阵具有以下基本性质：1) 1) 方向余弦阵为一正交阵方向余弦阵为一正交阵. .矩阵中每行和每列中元素的平方和为矩阵中每行和每列中元素的平方和为1 1；两个不同列或不同行中对
25、应元素的；两个不同列或不同行中对应元素的乘积之和为乘积之和为0 0。2 2） A A系相对系相对 B B系的方向余弦阵与系的方向余弦阵与 B B系相对系相对 系系A A的方向余弦阵互为转置；的方向余弦阵互为转置；3) 3) 当且仅当两坐标系两两方向一致时，则它们的方向余弦阵为一三阶单位当且仅当两坐标系两两方向一致时，则它们的方向余弦阵为一三阶单位阵。阵。第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 坐标系通常由坐标系通常由3 3个互相正交的轴来表示（例如个互相正交的轴来表示（例如x x，y y和和z z）。由于在任意给定空间内可）。由于在任意给定空间内可能有多个坐标系，因此我们定义能
26、有多个坐标系，因此我们定义o-xyzo-xyz( (简称简称 o o 系系) )来表示固定的全局参考坐标系；用来表示固定的全局参考坐标系；用o o- -x xb by yb bz zb b ( (简称简称bb系系) )来表示运动的刚体坐标系。分两种情况来描述两坐标系之间位姿来表示运动的刚体坐标系。分两种情况来描述两坐标系之间位姿关系。关系。分两种情况：分两种情况：不共原点不共原点设设 o o 系和系和 b b 系不共原点，系不共原点，i i，j j和和k k是是 o o 系系的三正交轴单位向量，的三正交轴单位向量，i ib b，j jb b和和k kb b是是 b b 系的系的三正交轴单位向量
27、，那么这两个坐标系的位三正交轴单位向量，那么这两个坐标系的位姿关系可以用下列矩阵来表示：姿关系可以用下列矩阵来表示： 0 0 0 1obAoB第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 0 0 0 1obAoBbxobbybzoooo111213212223313233 . . . . . . . . .bbbbbbbbbAAAiii ji kAAAAjij jj kAAAk ik jk k例例2.1 2.1 如图所示，如图所示， o o 系为一固定坐标系，系为一固定坐标系， b b 为一运动坐标系。初始状态：运动坐为一运动坐标系。初始状态：运动坐标系标系 b b 的初始位姿与的初
28、始位姿与 o o 系重合，但经过一定时间后，系重合，但经过一定时间后， b b 系开始运动，最终系开始运动，最终 b b 系系相对于相对于 o o 系的系的y y轴逆时针旋转了轴逆时针旋转了3030 ，试用方向余弦阵，试用方向余弦阵A A分别表示出运动初始和运分别表示出运动初始和运动终了两个状态时的两坐标系的位姿关系。动终了两个状态时的两坐标系的位姿关系。1 0 00 1 00 0 1A. . .0.866 0.5 0. . .0.5 0.866 00 0 0. . .bbbbbbbbbiii ji kAjij jj kk ik jk k 解：解：1 1）运动初始状态）运动初始状态根据方向余弦
29、阵的基本性质可知，两坐标系完全重合，其方向余弦阵根据方向余弦阵的基本性质可知，两坐标系完全重合，其方向余弦阵A A就是一个就是一个 三阶单位阵三阶单位阵2 2）运动终了状态）运动终了状态根据式（根据式（2-32-3），可写出方向余弦阵），可写出方向余弦阵A A第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 在运动过程中物体内任意两点的距离保持不变的物体称为刚体。在机器人学在运动过程中物体内任意两点的距离保持不变的物体称为刚体。在机器人学里，任一刚体的位置、姿态可由其上的任一基准点（通常选作物体的质心）里，任一刚体的位置、姿态可由其
30、上的任一基准点（通常选作物体的质心）和过该点的坐标系相对于参考坐标系的相对关系来确定。和过该点的坐标系相对于参考坐标系的相对关系来确定。如如下下图所示，设有一运动椭圆刚体图所示，设有一运动椭圆刚体A A，选其上的圆心点，选其上的圆心点o ob b为基准点，长轴为为基准点，长轴为y yb b轴，短轴为轴，短轴为x xb b，椭圆面的法向为，椭圆面的法向为z zb b，置坐标系，置坐标系o ob b-x-xb by yb bz zb b。再选一固定坐标系。再选一固定坐标系oo，于是，该椭圆刚体，于是，该椭圆刚体A A的空间位置和姿态可由的空间位置和姿态可由下下式所示矩阵来表示出式所示矩阵来表示出0
31、 0 0 0 10001bbbbxobbbbyobbbbzi ii ji kdAOj ij jj kdBj ij jj kdbbbobbbbbbbi ii ji kAj ij jj kj ij jj k0bxyzdOdd，第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 设有一固定的直角坐标系设有一固定的直角坐标系o o- -xyzxyz（简称（简称oo系）和一运动的直角坐标系系）和一运动的直角坐标系o ob b- -x xb by yb bz zb b（简称（简称bb系）具有相同的方位，但系）具有相同的方位，但oo系的原点与系的原
32、点与bb系的原点不重合，用位置系的原点不重合，用位置向量向量 描述描述bb系相对系相对oo系的位置，称系的位置，称 为为bb系相对系相对oo系的平移向量，且系的平移向量，且其中其中 、 和和 是平移向量是平移向量 相对于固定坐标系相对于固定坐标系oo的的x xb b、y yb b和和z zb b轴的轴的3 3个分量。个分量。bxooyzdPdd第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 如果点如果点 P P在在bb系中的位置为系中的位置为 b bP P ，那么它相，那么它相对于对于oo系的位置向量系的位置向量o oP P 可由向量相加得出，可由向量相加得出，即即o oP=P= o
33、oPooPoob b + + b bP P上式称为：坐标平移方程上式称为：坐标平移方程 那么如何在那么如何在OO表述表述bb呢？呢？坐标余弦阵，因为两坐标系方位相同，即坐标余弦阵，因为两坐标系方位相同，即两坐标系关系为：两坐标系关系为：点积（余弦值）点积（余弦值）运动坐标系三正交轴单位向运动坐标系三正交轴单位向量量ibjbkb固定固定坐标坐标系正交系正交轴单轴单位向量位向量i100j010k001第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 而而bb系在系在oo表示应该用两个矩阵来表述，及位置矩阵和余弦矩阵，则：表示应该用两个矩阵来表述，及位置矩阵和余弦矩阵，则：1 0 0 0 1
34、0 0 0 1 0 0 0 1xyobzddTd那矩阵可看成是如下两个矩阵的乘积那矩阵可看成是如下两个矩阵的乘积：(,)oob newxyzb oldTTrans d ddT1 0 0 0 1 0 (,)0 0 1 0 0 0 1xyxyzzddTrans dddd1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1ob oldT首先可以看到，新坐标系位姿可通过在原坐标系矩阵前面左乘平移变换矩阵得首先可以看到，新坐标系位姿可通过在原坐标系矩阵前面左乘平移变换矩阵得到。其次可以看到，方向向量经过平移后保持不变。最后可以看到，这种坐标到。其次可以看到，方向向量经过平移后保持不变。最后可以看到，
35、这种坐标变换便于用矩阵乘法来进行变换计算，并使得到的新矩阵的维数与变换前相同。变换便于用矩阵乘法来进行变换计算，并使得到的新矩阵的维数与变换前相同。第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 例例2.2 2.2 初始状态：运动坐标系初始状态：运动坐标系bb在固定坐标系在固定坐标系oo的位姿为的位姿为T Tb booldoold 。经过一段时间后，。经过一段时间后，运动坐标系运动坐标系bb沿固定坐标系沿固定坐标系oo的的y y轴正向移动轴正向移动5 5个单位，沿个单位，沿z z轴正向移动轴正向移动5 5个单位。求个单位。求运动终了时运动坐标系运动终了时运动坐标系bb在固定坐标系在固定
36、坐标系oo的位姿的位姿 T Tb bo-newo-new 。0.866 0.5 0 100.5 0.866 0 -100 0 0 20 0 0 1ob oldT(,)(0,5,5)ooob newxyzb oldb oldTTrans d ddTtransT解：1 0 0 00.866 0.5 0 100 1 0 50.5 0.866 0 -100 0 1 50 0 0 0 0 1ob newT 0 20 0 0 10.866 0.5 0 100.5 0.866 0 -5 0 0 0 70 0 0 1第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 如图如图2-132-13所示，旋转前固
37、定坐标系所示，旋转前固定坐标系oo和运动坐标系和运动坐标系bb重合，显然重合，显然P P点在点在oo系和系和bb系中的坐标值都相等；经过一段时间后运动坐标系系中的坐标值都相等；经过一段时间后运动坐标系bb绕绕z z轴逆时针旋转了轴逆时针旋转了角，角，旋转后旋转后P P点在点在oo系和系和bb系中的坐标值显然不等系中的坐标值显然不等。但存在关系但存在关系cossinsincosxxbybyxbybybppppppzz第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 写成矩阵形式为写成矩阵形式为：cos -sin 0sin cos 00 0 1xxbyybzzbpppppp可见，旋转后为了得
38、到点可见，旋转后为了得到点P P在固定参考坐标系在固定参考坐标系oo里的坐标矩阵，必须在点里的坐标矩阵，必须在点P P在运在运动坐标系动坐标系bb的坐标矩阵的左边乘上一个矩阵，该矩阵也就是绕的坐标矩阵的左边乘上一个矩阵，该矩阵也就是绕z z轴旋转的旋转轴旋转的旋转矩阵矩阵 ，它可表示为，它可表示为：cos -sin 0( , )sin cos 00 0 1Rot z ( , )xxbyybzzbpppRot zppp或：第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 同理同理可推出绕可推出绕Y Y轴旋转的旋转矩阵轴旋转的旋转矩阵：cos 0 sin( , )0 1 0-sin 0 co
39、sR y可推出绕可推出绕X X轴旋转的旋转矩阵轴旋转的旋转矩阵：1 0 0( , )0 cos -sin0 sin cosRot x第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 例例2.32.3现运动坐标系中有一点现运动坐标系中有一点p p(1,2,3)(1,2,3)T T，它随运动坐标系一起绕固定坐标系的，它随运动坐标系一起绕固定坐标系的z z轴旋转轴旋转9090。求旋转后该点在固定坐标系的坐标。求旋转后该点在固定坐标系的坐标。解：解：cos -sin 0sin cos 00 0 10 1 01 = 1 0 020 0 13xxbyybzzbpppppp2 1 3 第二章第二章 工
40、业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 10( ,)OObbTRot xT21(,)OObxyzbTtrans d ddT32( ,)OObbTRot yT30( ,)(,)( , )OObxyzbTRot ytrans dddRot xT第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 例例2.4 2.4 现运动坐标系中有一点现运动坐标系中有一点p(1,2,3)p(1,2,3)T T，经历了如下变换，求出变换后该点，经历了如下变换，求出变换后该点在固定坐标系的坐标。在固定坐标系的坐标。 1 1）首先绕首先绕x x轴旋转轴旋转909
41、0角；角； 2 2）然后分别沿然后分别沿x x、y y和和z z轴平移轴平移1 1、0 0和和0 0； 3 3）最后绕最后绕z z轴旋转轴旋转9090角角解：解：( ,90 )(1,0,0)( ,90 )110 -1 0 01 0 0 0 =0 0 1 00 0 0 1xbxybyzbzppppRot ztransRot xpp 1 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 -1 00 0 1 00 1 0 00 0 0 10 0 123 0 1132 =21 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 例例2.5 2.5
42、 已知条件一样，但变换顺序发生了以下变动，求出变换后该点在固定已知条件一样，但变换顺序发生了以下变动，求出变换后该点在固定坐标系的坐标。坐标系的坐标。 1 1）首先绕首先绕Z Z轴旋转轴旋转9090角；角； 2 2）然后分别沿然后分别沿x x、y y和和z z轴平移轴平移1 1、0 0和和0 0； 3 3）最后绕最后绕X X轴旋转轴旋转9090角角解：解：( ,90 )(1,0,0)( ,90 )111 0 0 00 0 -1 0 =0 1 0 00 0 0 1xbxybyzbzppppRot xtransRot zpp 1 0 0 10 -1 0 00 1 0 01 0 0 00 0 1 0
43、0 0 1 00 0 0 10 0 123 0 1113 =11 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 从例题（从例题（2.42.4）和例题（）和例题（2.52.5）不难发现，尽管所有的变换完全相同，但由于变换的）不难发现，尽管所有的变换完全相同，但由于变换的顺序变了，该点在固定坐标系中的坐标值完全不同，可见坐标变换必须严格按照顺序变了，该点在固定坐标系中的坐标值完全不同，可见坐标变换必须严格按照变换顺序进行，也就是说矩阵的乘法一般情况下不满足交换律。变换顺序进行，也就是说矩阵的乘法一般情况下不满足交换律。第二章第二章
44、工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 例例2.6 2.6 在例在例2-42-4中，已知条件一样，但变换参照发生了以下变动，求出变换中，已知条件一样，但变换参照发生了以下变动，求出变换后该点在固定坐标系的坐标。后该点在固定坐标系的坐标。1 1）首先绕首先绕z zb b轴旋转轴旋转9090角；角；2 2）然后分别沿然后分别沿x xb b、y yb b和和z zb b轴平移轴平移1 1、0 0和和0 0；3 3）最后绕最后绕x xb b轴旋转轴旋转9090角。角。解：解：( ,90 )(1,0,0)( ,90 )110 -1 0 01 0 0 0 =0 0 1 00 0 0 1xbxybyzbz
45、ppppRot ztransRot xpp 1 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 -1 00 0 1 00 1 0 00 0 0 10 0 123 0 1132 =21 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 正如正如2.2.12.2.1节所提及的逆矩阵在机器人坐标变换中节所提及的逆矩阵在机器人坐标变换中有着十分重要的作用。根据方向余弦阵的性质可有着十分重要的作用。根据方向余弦阵的性质可知，方向余弦阵为一正交阵，其转置矩阵和逆矩知，方向余弦阵为一正交阵，其转置矩阵和逆矩阵是相等关系阵是相等关系。如图如图2-17
46、2-17，假设机器人要在零件，假设机器人要在零件P P上钻孔，则机器上钻孔，则机器人末端执行器必须向人末端执行器必须向P P处移动。一般情况下，机器处移动。一般情况下，机器人的基座是固定的，因此可用固定坐标系人的基座是固定的，因此可用固定坐标系 o o 来描来描述机器人基座，机器人末端执行器用运动坐标系述机器人基座，机器人末端执行器用运动坐标系 b b 来描述，待加工零件用另一坐标系来描述，待加工零件用另一坐标系 p p 来描述（一来描述（一般情况下它相对固定坐标系般情况下它相对固定坐标系oo而言，其位姿也是而言，其位姿也是已知的）。已知的）。第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学
47、基础 待加工零件待加工零件p p的位置可通过两条路径来获取：一条是直接通过固定坐标系的位置可通过两条路径来获取：一条是直接通过固定坐标系oo到待加工零件坐标系到待加工零件坐标系pp，正如刚才而言，其在固定坐标系，正如刚才而言，其在固定坐标系oo内的位姿内的位姿是已知的；另一条是从固定坐标系是已知的；另一条是从固定坐标系oo变换到末端执行器即运动坐标系变换到末端执行器即运动坐标系bb，然后再从运动坐标系然后再从运动坐标系bb变换到待加工零件坐标系变换到待加工零件坐标系pp。因此可写出：。因此可写出：oobpbpTT T11obobbppbppT TT T T1oboppbT TT引入逆矩阵：引入
48、逆矩阵：1bpT第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 机器人运动学涉及机器人相对于固定坐标系运动几何学关系的分析和研究，机器人运动学涉及机器人相对于固定坐标系运动几何学关系的分析和研究，而与产生该运动所需的力或力矩无关。这样，运动学就涉及机器人空间位而与产生该运动所需的力或力矩无关。这样，运动学就涉及机器人空间位移作为时间函数的解析说明，特别是机器人末端执行器位置和姿态与关节移作为时间函数的解析说明，特别是机器人末端执行器位置和姿态与关节变量之间的关系。变量之间的关系。运动学基本问题：运动学基本问题： 对于一给定的机器人，已知杆件几何参数和关节角向量，求机器人末端对于一给定的
49、机器人，已知杆件几何参数和关节角向量，求机器人末端执行器相对参考坐标系的位置和姿态。这类问题称为运动学正问题（直接执行器相对参考坐标系的位置和姿态。这类问题称为运动学正问题（直接问题）。问题）。2. 2. 已知机器人杆件的几何参数，给定了机器人末端执行器相对参考坐标系已知机器人杆件的几何参数，给定了机器人末端执行器相对参考坐标系的期望位置和姿态，求机器人各关节角向量，即机器人各关节要如何运动的期望位置和姿态，求机器人各关节角向量，即机器人各关节要如何运动才能达到这个预期的位姿？如能达到，那么机器人有几种不同形态可满足才能达到这个预期的位姿？如能达到，那么机器人有几种不同形态可满足同样的条件？这
50、类问题称为运动学逆问题（解臂形问题）。同样的条件？这类问题称为运动学逆问题（解臂形问题）。第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 由于机器人手臂的独立变量是关节变量，但作业通常是用固定坐标系来描述的，由于机器人手臂的独立变量是关节变量，但作业通常是用固定坐标系来描述的，所以常常碰到的是第二个问题，即机器人运动学逆问题。所以常常碰到的是第二个问题，即机器人运动学逆问题。19551955年年DenavitDenavit和和HartenbeHartenbe曾提出了一种采用矩阵代数方法，来描述机器人手臂杆件相对固定参考坐标系的空间曾提出了一种采用矩阵代数方法，来描述机器人手臂杆件相对固
