1、2/7211-1概述概述11-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分11-3叠加法叠加法11-4单位荷载法单位荷载法11-5图乘法图乘法11-6线弹性体的互等定理线弹性体的互等定理11-7结构的刚度校核结构的刚度校核第十一章第十一章 梁和结构的位移梁和结构的位移3/7211-1 概述概述4/7211-1 概述概述一、结构位移的种类一、结构位移的种类结构在荷载、温度变化、支座沉降等外界因素的影响下将会产生应力和发生变形；变形使结构原有的形状发生变化，即结构上各截面的位置发生移动和转动，这些移动和转动称之为位移。结构的位移可分为结构的位移可分为1线位移线位移：横截面位置发生
2、的：横截面位置发生的移动移动2角位移角位移：横截面位置发生的：横截面位置发生的转动转动5/7211-1 概述概述一、结构位移的种类一、结构位移的种类6/7211-1 概述概述二、使结构产生位移的因素二、使结构产生位移的因素1.荷载荷载结构在外载作用下产生内力结构在外载作用下产生内力 材料发生应变材料发生应变结构发生位移结构发生位移2.温度变化温度变化材料的热胀冷缩材料的热胀冷缩 结构发生位移结构发生位移7/7211-1 概述概述二、使结构产生位移的因素二、使结构产生位移的因素3.支座位移支座位移基础发生沉降基础发生沉降 结构支座移动、转动结构支座移动、转动 结构发生位移结构发生位移4.其他因素
3、其他因素零件在尺寸上制造误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等零件在尺寸上制造误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等8/7211-1 概述概述三、计算结构位移的目的三、计算结构位移的目的1. 结构刚度的校验结构刚度的校验结构要满足结构要满足强度、刚度、稳定性强度、刚度、稳定性要求。要求。强度要求：主应力、应变，强度要求：主应力、应变，Mises等效应力等来等效应力等来度量度量刚度要求：以其变形或位移来刚度要求：以其变形或位移来量度，量度，结构刚度校验时，需计算结结构刚度校验时，需计算结构位移。构位移。工程：桥梁，高层建筑；工程：桥梁，高层建筑；2.计算超静定结构计算超静定结构计算超静定结构：静力平衡条
4、件、计算超静定结构：静力平衡条件、变形协调条件（结构的位移）变形协调条件（结构的位移）本章内容处于静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承本章内容处于静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承上启下的作用。上启下的作用。9/7211-1 概述概述三、计算结构位移的目的三、计算结构位移的目的3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据为建筑起拱和结构架设提供位移数据(a)大跨度建筑结构中，结构变形大跨度建筑结构中，结构变形产生明显的下垂现象产生明显的下垂现象 不但影响美观，而且容易引起人们的不安全感。不但影响美观，而且容易引起人们的不安全感。(b)建筑结构起拱建筑结构起拱 (起拱起拱)：把结构做成
5、具有一定上弯度的初始弯曲：把结构做成具有一定上弯度的初始弯曲形式，用以抵消由挠度产生的下垂现象。形式，用以抵消由挠度产生的下垂现象。(需要计算结构位移需要计算结构位移)10/7211-1 概述概述三、计算结构位移的目的三、计算结构位移的目的3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据为建筑起拱和结构架设提供位移数据 大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时荷载的作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，荷载的作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，便于拼装便于拼装时使构件准确就位；时使构件准确就位； 大型结构进行吊装时，需要合大型结构进
6、行吊装时，需要合理设置起吊点，使安装部位产生理设置起吊点，使安装部位产生的位移小而且较为均匀，便于安的位移小而且较为均匀，便于安装就位。装就位。11/7211-2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程及其积分及其积分12/7211-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分FF拉伸EAlFlN13/7211-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 x wBAFCCwC 挠度转角CC1.1.度量梁变形后横截面位移的两个基本量度量梁变形后横截面位移的两个基本量（1）挠度（w）：横截面形心C 在垂直于 x 轴方向的线位移，称为该截面的挠度。（2
7、）转角（）：横截面对其原来位置的角位移，称为该截面的转角。2.2.挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定挠度：向下为正，向上为负。转角：自 x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。14 x wBAFCC3.3.挠曲线挠曲线: :梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线 。wC 挠度转角C4.4.挠度和转角的关系挠度和转角的关系C挠曲线挠曲线方程为( )wf x式中：x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标，w 为该点的挠度。小变形情况下:dtan( )dwfxx即挠曲线上任意点的斜率为该点处横截面的转角。研究梁的弯曲变形时,只要求出挠曲线方程,任意横截面的挠度和转角便都已确定。11-
8、2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分15一、梁的挠曲线近似微分方程一、梁的挠曲线近似微分方程纯弯曲时梁挠曲线上一点的曲率表达式：EIM1推广到横力弯曲时（剪力存在时）： EIxMx1数学中的曲率公式22322dd1( )d1dwxxwx整理得: 22322ddd1dwM xxEIwx11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分16一、梁的挠曲线近似微分方程 22322ddd1dwM xxEIwx2ddwx与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为: 22ddM xwxEI去掉绝对值符号则: 22ddM xwxEI11-2 梁的挠曲
9、线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分17 22ddM xwxEIMMMM22d0dwxM 0Oxw讨论2ddwx与 M(x) 正、负关系： Oxw22d0dwxM 0结论：2ddwx与 M(x) 总是相反关系！ 梁的挠曲线近似微分方程为：11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分18梁的挠曲线近似微分方程为：思考近似的原因 ？1. 略去了剪力的影响 ; 2. 略去了 项。2ddwx求解上述微分方程,即可得出挠曲线方程,从而求得挠度和转角。11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分19二、挠曲线近似微分方程的积分二、挠曲线近
10、似微分方程的积分若为等截面直梁, 其抗弯刚度 EI 为一常量。上式积分一次得转角方程: d1ddwM xxCxEI 再积分一次，得挠度方程: 1ddwM xxxCxDEI 重积分法求得挠度方程式中: C、D 是积分常数，由梁挠曲线上的已知变形条件确定。梁挠曲线的边界条件和连续条件11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分201.1.挠曲线的边界条件挠曲线的边界条件ABAB在简支梁中，左右两铰支座处的挠度 wA 和 wB 都应等于零。wA= 0wB = 0在悬臂梁中，固定端处的挠度 w和转角 A 都应等于零。wA= 0A= 011-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁
11、的挠曲线近似微分方程及其积分 1ddwM xxxCxDEI 212.2.挠曲线的连续条件挠曲线的连续条件AB在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。(错)AB(错)ABFCwC左= wC右C左= C右挠曲线的连续条件11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 1ddwM xxxCxDEI 22补充例题1:边界条件:wA= 0A= 0连续条件:wB左= wB右B左= B右补充例题2: B 处的连续条件？BwB左= wB右B左 B右23qlAB例题11-2 一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为 EI,求梁的最大挠度及 B 截面的转角。解:FABF2BAq
12、lFF1.确定梁的约束力2.建立梁的弯矩方程21( ) 22qlM xxqx3.建立梁的挠曲线近似微分方程222d( )111 d22wM xqlxqxxEIEI 4.对微分方程一次积分，得转角方程:x32d111d64wqxqlxCxEI5.再对转角方程一次积分，得挠度方程:431112412wqxqlxCxDEI11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分24qlAB解:FABFx6. 利用边界条件确定积分常数当 x =0 时，wA= 0当 x =l 时，wB= 03234624qxlxlEI433224qwxlxl xEI分别代入转角与挠度方程，得积分常数：32
13、41, 0qlCD7. 给出转角方程和挠度方程：11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分例题11-2 一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为 EI,求梁的最大挠度及 B 截面的转角。25qlAB解:FABFx3234624qxlxlEI433224qwxlxl xEI7. 给出转角方程和挠度方程：8. 求最大挠度和截面 B 转角：EIqlwwl.max3845450在跨中 x = l/2 时，有最大挠度： x = l 时，截面 B 转角：324BqlEI Bwmaxx11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分例题11-2
14、一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为 EI,求梁的最大挠度及 B 截面的转角。26/7211-3 叠加法叠加法27/725-3 叠加法叠加法qlAB弯矩方程沿轴线不变弯矩方程沿轴线分段通过挠度方程方法非常繁琐F+CBC刚度：最大挠度、最大转角28/72线性变形体系的假设及其特性线性变形体系的假设及其特性(1) 结构的变形结构的变形 (位移位移)与其作用力成正比与其作用力成正比柔度 d：施加单位力时所产生的结构位移位移：作用力为一般值时所产生的结构位移 有 K = d Fi 5-3 叠加法叠加法29/725-3 叠加法叠加法2线弹性体系的两个主要特性：线弹性体系的两个主要特性：（
15、2）计算结构的变形（位移）可应用叠加原理）计算结构的变形（位移）可应用叠加原理叠加原理：由若干因素共同作用时所产生的效果（内力、变叠加原理：由若干因素共同作用时所产生的效果（内力、变形等），等于其每个因素单独作用时所产生的效果的总和。形等），等于其每个因素单独作用时所产生的效果的总和。niPPPPPiKinKniKiKKK12211ddddd线性变形体系的假设及其特性线性变形体系的假设及其特性30/725-3 叠加法叠加法F+CBCC点垂直方向位移31表11 - 1 几种常用梁在简单荷载作用下的位移5-3 叠加法叠加法32表11 - 1 几种常用梁在简单荷载作用下的位移5-3 叠加法叠加法33
16、表11 - 1 几种常用梁在简单荷载作用下的位移5-3 叠加法叠加法34例11 4 图所示简支梁,承受均布荷载 q 和集中力 F 作用,梁的弯曲刚度为 EI。试用叠加法求跨中挠度及 A 截面的转角。解:+43115,38424CAqlqlwEIEI3222,4816CAFlFlwEIEI4312538448CCCqlFlwwwEIEI32122416AAAqlFlEIEI5-3 叠加法叠加法35例11 5 图示悬臂梁,梁的弯曲刚度为 EI，试求 C 截面的挠度。解:=+CFBC2Cw1CwBwB2Cw22CBlw332648BlqqlEIEI313CFlwEI 4428128BlqqlwEIE
17、I432241284827384CBCqlqllwwwEIEIqlEI341273384CCCFlqlwwwEIEI 5-3 叠加法叠加法36/7211-4 单位荷载法单位荷载法37/7211-4 单位荷载法单位荷载法qlAB弯矩方程沿轴线不变弯矩方程沿轴线分段通过挠度方程方法非常繁琐刚度：最大挠度、最大转角38/7211-4 单位荷载法单位荷载法一、外力实功一、外力实功线弹性体系的静力加载过程线弹性体系的静力加载过程荷载荷载: 0 P变形变形: 0 两者同步两者同步加载过程中，加载速度缓慢，不至于加载过程中，加载速度缓慢，不至于引起振动，这样的加载过程，称为引起振动，这样的加载过程，称为静静
18、力加载力加载，相应的荷载为，相应的荷载为静力荷载静力荷载 39/7211-4 单位荷载法单位荷载法一、外力实功一、外力实功单位荷载对应的变形单位荷载对应的变形: d d 当荷载到达最后数值当荷载到达最后数值: P d P加载过程中荷载的值加载过程中荷载的值: F d F外力做功增量外力做功增量图示蓝色部分的面积一、外力实功一、外力实功d2ddFFFT2dddFFdFd FFdddPPFFFTTP2121ddd20ddPT2140/7211-4 单位荷载法单位荷载法二、实变形能二、实变形能线弹性体系，受到荷载作用，发生变形，荷载卸去后，变形消失。是什么力量能使体系消除变形的呢?原因原因:加载过程
19、中，外力作功，通过体系变形，转化为变形能储存到体系内部;卸载过程中，通过消除体系的变形，释放变形能变形能变形能:因弹性变形而积储或释放的能量，称为线弹性体因弹性变形而积储或释放的能量，称为线弹性体系的变形位能系的变形位能(变形势能变形势能)，简称变形能。一般用，简称变形能。一般用U表示表示41/7211-4 单位荷载法单位荷载法二、实变形能二、实变形能从某体系的某根杆上任意截取微段ds，研究其内力变形内力在相应位移上所做的内力实功实变形能；略去二阶微量NN1dd2UFuNddFsuEAN2N1dd2d2UUFuFsEA 42/7211-4 单位荷载法单位荷载法二、实变形能二、实变形能M1dd2
20、UMddMsEI21ddd22MsUUMEI43/7211-4 单位荷载法单位荷载法二、实变形能二、实变形能d21d21d21ddddQNVMNFMuFUUUU(1)GAsFsEIsMEAsFudddddddQN将式(2)代入(1)，并在长度方向积分，得到一个杆件的实变形能(2)ddd(21dQNFMuFUUGAdsFEIsMEAsFUU22d2dd2Q22N44/7211-4 单位荷载法单位荷载法三、实功原理三、实功原理-外力实功与实变形能的关系外力实功与实变形能的关系线弹性体系，静力加载，只发生变形，不引起振动，故无动能的变化。如果不计体系内部因材料应变发生内摩擦而损耗的微小热能，则体系上
21、外力所做的实功，将全部被吸收转化为变形能(能量守恒)。UT GAsFEIsMEAsFPniii2d2d2d212Q22N145/7211-4 单位荷载法单位荷载法五五、单位载荷法单位载荷法iiiPT2111kkkPT2122ikiPT1246/7211-4 单位荷载法单位荷载法五五、单位载荷法单位载荷法NQdddiiikkkUFuMFNQ、iiiFMFkkku、ikiPT12kikikiikiFMuFPdddQN47/7211-4 单位荷载法单位荷载法五五、单位载荷法单位载荷法kikikiikiFMuFPdddQNPi = 1 kikikiikFMuFdddQNiiiFMFQN表示单位力表示单
22、位力Pi = 1所产生的内力所产生的内力kkku、48/7211-4 单位荷载法单位荷载法五五、单位载荷法单位载荷法kikikiikFMuFdddQNiiiFMFQN表示虚拟状态下单位力表示虚拟状态下单位力Pi = 1所产生的所产生的内力内力kkku、真实状态Pi = 1 虚拟状态虚拟状态49/7211-4 单位荷载法单位荷载法五五、单位载荷法单位载荷法kikikiikFMuFdddQN对线弹性体系，有对线弹性体系，有EAsFuukdddNPPEIsMkdddPPGAsFkdddQPPGAsFFEIsMMEAsFFiiiidddQPQPNPNPPi = 1 虚拟状态虚拟状态50/7211-4
23、单位荷载法单位荷载法五五、单位载荷法单位载荷法GAsFFEIsMMEAsFFiiiidddQPQPNPNPPi = 1 虚拟状态虚拟状态Pi = 1 虚拟状态虚拟状态51/7211-4 单位荷载法单位荷载法52/7211-4 单位荷载法单位荷载法一、桁架一、桁架EAlFFiiNPNP二、梁和刚架二、梁和刚架EIsMMiidPP三、组合结构三、组合结构EIsMMEAsFFiiPddPNPNi链杆链杆 受弯杆件受弯杆件GAsFFEIsMMEAsFFiiiidddQPQPNPNP53/7211-4 单位荷载法单位荷载法【例例2】图示钢桁架，图示钢桁架，P = 160kN，各杆用两个，各杆用两个 80
24、mm5mm的等边角钢的等边角钢(2L805)，A = 2791.2mm2 ， E = 210GPa，试求试求 CVGAsFFEIsMMEAsFFiiiidddQPQPNPNP54/7211-4 单位荷载法单位荷载法计算实际状态和虚拟状态下各杆的内力计算实际状态和虚拟状态下各杆的内力(轴力轴力),如图如图160KN160KN00200120120120200121258385834583858EAlFFiCNPNVlFFEAiNPN1mkN2330NPNlFFi mm012. 72 .79121021010233036VC55/7211-4 单位荷载法单位荷载法147.245 39.497 -0
25、.625 -20015.8245B-E0.000 0.625 015.8245C-E0.000 0.625 015.8245C-D39.497 -0.625 -20015.8245A-D34.125 -0.750 -12015.8246D-E17.063 0.375 12015.8246B-C17.063 0.375 12015.8246A-C轴力（kN）轴力 (kN) 截面积A(cm2) 杆长l(m)杆件名称NPFiFN2NPNcmmkNAlFFi2NPNcmmkNAlFFi56/7211-4 单位荷载法单位荷载法【例例3】图示简支梁，受到集中荷载图示简支梁，受到集中荷载FP作用，试求梁两端
26、截面作用，试求梁两端截面A、B的相对转角的相对转角 ABGAsFFEIsMMEAsFFiiiidddQPQPNPNP57/7211-4 单位荷载法单位荷载法解解BAAB虚拟状态虚拟状态,在截面在截面A,B施加一对反向单位力偶施加一对反向单位力偶确定实际状态下的弯矩方程确定实际状态下的弯矩方程(参见弯矩图参见弯矩图)lxalxaFaxxlbFM10PPP虚拟状态下的弯矩方程虚拟状态下的弯矩方程( (参见弯矩图参见弯矩图) )1MsEIMMABdPalaxlxEIaFsxEIlbF0PPd1dEIabF2P正值表示与所设的一对单位正值表示与所设的一对单位力偶方向相同。力偶方向相同。58/7211-
27、5 图乘法图乘法59/7211-5 图乘法图乘法一、图乘法一、图乘法单位荷载法计算弯曲变形引起的位移时，需要计单位荷载法计算弯曲变形引起的位移时，需要计算弯矩内力应变能时：算弯矩内力应变能时：EIsMMiidPP弯矩常常是关于轴线的函数，因此计算十分麻烦弯矩常常是关于轴线的函数，因此计算十分麻烦60/7211-5 图乘法图乘法一、图乘法的应用条件一、图乘法的应用条件(1) 杆件轴线为直线杆件轴线为直线直杆；直杆；(2) 杆件是等截面的（或分段等截面的）杆件是等截面的（或分段等截面的） EI = 常数；常数；(3) 两个弯矩图中至少有一个是直线变化的（或分段直线变化）两个弯矩图中至少有一个是直线
28、变化的（或分段直线变化） 直线图形直线图形。可用图乘法求积分运算可用图乘法求积分运算61/7211-5 图乘法图乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导BAKiKixMMEIsEIMMd1dBAKixMMdBAKxxM dtanBAKixMMdMK 图面积对图面积对 y 轴的面积静矩轴的面积静矩KCBAKxxxMdKCBAKixxMMtandiCKyEIyxEIMMiCBAKid62/7211-5 图乘法图乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导注意点注意点：(1) 两个弯矩图中，一个取面积两个弯矩图中，一个取面积 ，另一个取纵坐标另一个取纵坐标yC , 但纵坐标必须但纵坐标必须取自直线图中，
29、并与面积取自直线图中，并与面积 的形的形心相对应。心相对应。 (2) 两个弯矩图在杆件的同一侧为两个弯矩图在杆件的同一侧为正，反之为负。正，反之为负。EIyxEIMMiCBAKid63/7211-5 图乘法图乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导若弯矩图长度上由两根直线组成若弯矩图长度上由两根直线组成BAKixEIMMdEIyEIyxEIMMCCBAKi2211dEIyxEIMMCBAKi11d64/7211-5 图乘法图乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导杆件各段有不同杆件各段有不同EIBAKixEIMMd222111dEIyEIyxEIMMCCBAKi65/7211-5 图乘法图乘法
30、若两个弯矩图均为梯形时若两个弯矩图均为梯形时 将梯形分解为两个三角形，将梯形分解为两个三角形，分别与另一个弯矩图相乘后相加分别与另一个弯矩图相乘后相加2211yyy)3132(21dcal)3231(21dcbl)22(6bdbcadacly当图形的面积计算或形心位置的确定比较复杂时当图形的面积计算或形心位置的确定比较复杂时,可将复杂的图形可将复杂的图形分解为几个简单图形分解为几个简单图形, 叠加计算。叠加计算。66/7211-5 图乘法图乘法对于在均布荷载作用下的任何一对于在均布荷载作用下的任何一段直杆段直杆其弯矩图可看成是一个梯形与一个标准二其弯矩图可看成是一个梯形与一个标准二次抛物线图形
31、的叠加次抛物线图形的叠加两个简单图形两个简单图形,然后分别应用图乘法然后分别应用图乘法67/7211-5 图乘法图乘法三、几种常见图形的面积及其形心三、几种常见图形的面积及其形心注意注意:二次抛物线顶点处切线与杆件平行二次抛物线顶点处切线与杆件平行68/7211-5 图乘法图乘法【例例5】试用图乘法求简支梁试用图乘法求简支梁 C 截面截面 C69/7211-5 图乘法图乘法1) 确定虚拟状态确定虚拟状态2) 画出实际状态和虚拟状态的弯矩图画出实际状态和虚拟状态的弯矩图3) 图乘图乘EIyCCCy3840412323232qllql逆时针逆时针70/7211-5 图乘法图乘法1) 确定虚拟状态确
32、定虚拟状态2) 画出实际状态和虚拟状态的弯矩图画出实际状态和虚拟状态的弯矩图3) 图乘图乘AB 段：段：AB 段：段：2640360dcba矩形部分矩形部分310880)22(6bdbcadacly抛物线部分抛物线部分31280262140432yBC 段：段：4024340231y4013128031088041VEIEIC3mkN840EI71/7211-5 图乘法图乘法【例例8】组合结构，组合结构，CD 杆横截面杆横截面A 200200mm2，AB和和 BE杆横截面为杆横截面为 bh300600mm2， 弹性模量弹性模量 E = 30GPa，试求试求 BH72/7211-5 图乘法图乘法
33、画出组合结构的实际状态和虚拟状态内力图(ABCE-弯矩图 CD-轴力图)【分析】 ABCE 刚架，弯矩对位移有影响 CD 链杆, 轴力对位移有影响虚拟状态：在B处施加水平向右的单位力实际状态实际状态的内力图 未标单位 kNm虚拟状态虚拟状态的内力图73/7211-5 图乘法图乘法实际状态实际状态的内力图 未标单位 kNm虚拟状态虚拟状态的内力图EIyEAlFFCiiiBNPNHEAEAEAlFFi1924965 . 0NPN5 . 221105325 . 2328852111Cy3005 . 2325 . 28826522Cy33.20825 . 25053233CyEIEIyCii67.91
34、633.40874/7211-5 图乘法图乘法实际状态实际状态的内力图 未标单位 kNm虚拟状态虚拟状态的内力图mm16. 0mm200200MPa1030mmN10192192236NPNEAEAlFFiEIEIyCii67.916433312mm12600300MPa1030mmN1067.916mm658. 5EIyEAlFFCiiiBNPNHmm818. 516. 0658. 575/7211-6 线弹性体的互等定理线弹性体的互等定理 由于支座位移引起的结构位移计算由于支座位移引起的结构位移计算76/7211-6 弹性体的互等定理弹性体的互等定理一一、附加功、附加功(虚功虚功)的互等定
35、理的互等定理第一组荷载在状态所做实功iiiPT2111第二组荷载在状态所做实功kkkPT2122第一组荷载在状态所做附加功附加功ikiPT12第二组荷载在状态所做实功kkkPT2122第一组荷载在状态所做实功iiiPT2111第二组荷载在状态所做附加功附加功kikPT2177/7211-6 弹性体的互等定理弹性体的互等定理一一、附加功、附加功(虚功虚功)的互等定理的互等定理由于线性变形体系外力做的实功，与加载顺序无关，只与体系的初始状态和最终状态有关，所以两种加载次序下所得到的外力(Pi ,Pk)实功相等21TT 211122122211TTTTTT2112TT附加功互等定理: 第一状态的外力
36、在第二状态位移上所做的功，等于第二状态的外力在第一状态位移上所做的功。78/7211-6 弹性体的互等定理弹性体的互等定理 当结构支座或其他约束由于某种原因当结构支座或其他约束由于某种原因(如基础沉降如基础沉降)而发而发生位移时，结构也可能引起位移。生位移时，结构也可能引起位移。 在静定结构中，由于体系只具备满足几何不变所必要的在静定结构中，由于体系只具备满足几何不变所必要的约束数，故当某些支座或约束发生沉降或位移时，约束数，故当某些支座或约束发生沉降或位移时，结构及其结构及其各杆只可能引起位置的改变，而不会产生任何的反力和内力，各杆只可能引起位置的改变，而不会产生任何的反力和内力，因而杆件本
37、身因而杆件本身不发生变形不发生变形。79/7211-6 弹性体的互等定理弹性体的互等定理求任意点D的位移在某指定方向i-i的分量iC虚拟状态虚拟状态虚拟状态 i中的外力中的外力(包括支座反力包括支座反力)在实际状态中相应位移上所做外力虚功在实际状态中相应位移上所做外力虚功CRCRCRCRTiCyyxxiCik1静定结构在支座位移下，不会产生任何的反力和内力，杆件不发生变形，因此虚拟状态中的内力在实际状态中相应的变形上所作的内力功=0。80/7211-6 弹性体的互等定理弹性体的互等定理虚拟状态CRCRCRCRTiCyyxxiCik10CRiC(1) 不能把总和不能把总和 S S 之前的负号遗漏
38、；之前的负号遗漏；(2) S S 内正、负号：内正、负号： R与与 C方向相同时，为正，反之为负方向相同时，为正，反之为负81/7211-6 弹性体的互等定理弹性体的互等定理【例例10】静定刚架，已知支座静定刚架，已知支座A向右移动距离向右移动距离 A=10mm，向，向下移动距离下移动距离vA=20mm，并沿顺时针方向转动，并沿顺时针方向转动 A=0.3，求，求D点点的水平位移的水平位移 DH。82/7211-6 弹性体的互等定理弹性体的互等定理虚拟状态CRDH10003431AAA1803 . 030002043101)mm(07. 2)1 (583/7211-6 弹性体的互等定理弹性体的互等定理例：图示桁架，已知例：图示桁架，已知 B = C，试求杆，试求杆 BC的角位移的角位移 BC BABCBldABC解：把单位力矩换算成组成力偶的两个力解：把单位力矩换算成组成力偶的两个力 T=1/d， 分别作用在结点分别作用在结点 B、C上，并与上，并与 BC垂直。垂直。1/d1/dRA=1lRB=1l CRBC )(BBR )()1(顺顺lccl 84/72本章课后作业本章课后作业11-311-12（b）85/72本章完本章完
